冪級(jí)數(shù)及其收斂性

關(guān)于冪級(jí)數(shù)及其收斂性1第1頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三21.定義如下形式的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱(chēng)為的冪級(jí)數(shù),的冪級(jí)數(shù).定義稱(chēng)為冪級(jí)數(shù)第2頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三32.收斂半徑和收斂域級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)的收斂域第3頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4證阿貝爾(Abel)(挪威)1802–1829定理1（阿貝爾第一定理）則它在滿(mǎn)足不等式絕對(duì)收斂;發(fā)散.收斂,發(fā)散,如果級(jí)數(shù)則它在滿(mǎn)足不等式的一切x處如果級(jí)數(shù)的一切x處從而數(shù)列有界,即有常數(shù)M>0,使得第4頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三5冪級(jí)數(shù)由(1)結(jié)論,這與所設(shè)矛盾.使級(jí)數(shù)收斂,則級(jí)數(shù)時(shí)應(yīng)收斂,但有一點(diǎn)x1適合第5頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三6推論也不是在整個(gè)數(shù)軸上都收斂,則必有一個(gè)完全確冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂;冪級(jí)數(shù)發(fā)散.冪級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.冪級(jí)數(shù)幾何說(shuō)明收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域如果冪級(jí)數(shù)不是僅在

x=0一點(diǎn)收斂,定的正數(shù)R存在,它具有下列性質(zhì):第6頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三7正數(shù)R稱(chēng)為冪級(jí)數(shù)的規(guī)定問(wèn):如何求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑?定義收斂半徑.收斂區(qū)間.冪級(jí)數(shù)(1)冪級(jí)數(shù)只在

x=0處收斂,收斂區(qū)間(2)冪級(jí)數(shù)對(duì)一切x都收斂,收斂區(qū)間收斂區(qū)間連同收斂端點(diǎn)稱(chēng)為冪級(jí)數(shù)的收斂域.第7頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三8證且定理2設(shè)冪級(jí)數(shù)的所有系數(shù)冪級(jí)數(shù)由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法,第8頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三9收斂半徑冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂;發(fā)散,從而發(fā)散.

比值判別法則第9頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三10冪級(jí)數(shù)收斂,從而級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.收斂半徑發(fā)散.收斂半徑則第10頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三11例求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂域:解冪級(jí)數(shù)第11頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三12收斂.

調(diào)和級(jí)數(shù),發(fā)散.收斂域?yàn)榻鈨缂?jí)數(shù)收斂域收斂半徑第12頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三13解冪級(jí)數(shù)第13頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三14級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)因?yàn)樗詫?duì)應(yīng)的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)也發(fā)散.當(dāng)x=4時(shí),故收斂域?yàn)閮缂?jí)數(shù)第14頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三15發(fā)散;收斂.故收斂域?yàn)榻膺€有別的方法嗎?(0,1].即亦即時(shí)原級(jí)數(shù)收斂.冪級(jí)數(shù)第15頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三16解是缺偶次冪的冪級(jí)數(shù).例求函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域.去掉第一項(xiàng),所以,去掉第一項(xiàng),級(jí)數(shù)處處收斂.定義域?yàn)橐驗(yàn)榈谝豁?xiàng)lnx的所以,原級(jí)數(shù)的收斂域是冪級(jí)數(shù)比值判別法第16頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三17例設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑分別為則冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為()分析冪級(jí)數(shù)第17頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三18討論冪級(jí)數(shù)的收斂域.解此級(jí)數(shù)是缺項(xiàng)的冪級(jí)數(shù),作變換,令級(jí)數(shù)變?yōu)樗氖諗堪霃疆?dāng)y=3時(shí),級(jí)數(shù)為發(fā)散.不滿(mǎn)足定理2的條件.冪級(jí)數(shù)第18頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三19故y(≥0)的冪級(jí)數(shù)收斂域?yàn)橐虼?原冪級(jí)數(shù)收斂域?yàn)槭諗堪霃郊磧缂?jí)數(shù)第19頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三20思考確定函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域.解對(duì)任意固定的x,即用比較審斂法的極限形式:而級(jí)數(shù)是p=x的p–級(jí)數(shù),所以,當(dāng)n充分大時(shí),有發(fā)散.故級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)閮缂?jí)數(shù)收斂.第20頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三21

解冪級(jí)數(shù)練習(xí)第21頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三22冪級(jí)數(shù)處處收斂.收斂發(fā)散第22頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三231.代數(shù)運(yùn)算性質(zhì)(1)加減法冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)的收斂半徑各為R1和R2,第23頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三24(2)乘法(其中(3)除法(相除后的收斂區(qū)間可能比原來(lái)兩級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間小得多)冪級(jí)數(shù)第24頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三252.和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì)冪級(jí)數(shù)定理3（阿貝爾第二定理）內(nèi)閉一致收斂證第25頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三26則其和函數(shù)的端點(diǎn)處收斂,則其和函數(shù)在該端點(diǎn)單側(cè)連續(xù).冪級(jí)數(shù)如果冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間證第26頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三27則其和函數(shù)冪級(jí)數(shù)第27頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三28冪級(jí)數(shù)則其和函數(shù)第28頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三29解(1)求收斂域發(fā)散;收斂.故級(jí)數(shù)的求收斂域?yàn)槔齼缂?jí)數(shù)收斂半徑第29頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三30(2)求和函數(shù)冪級(jí)數(shù)第30頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三31或者冪級(jí)數(shù)第31頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三32例求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù).解容易知道級(jí)數(shù)的收斂域冪級(jí)數(shù)設(shè)和函數(shù)為s(x),即則有第32頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三33因此,此外,顯然有綜上,冪級(jí)數(shù)第33頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三34解例冪級(jí)數(shù)第34頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三35逐項(xiàng)求導(dǎo)積分得冪級(jí)數(shù)第35頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三36冪級(jí)數(shù)第36頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三37解容易知道,例冪級(jí)數(shù)第37頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三38練習(xí)求的收斂域與和函數(shù).提示解令收斂域?yàn)楫?dāng)時(shí),收斂,當(dāng)時(shí),收斂,冪級(jí)數(shù)第38頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三39又設(shè)(逐項(xiàng)求導(dǎo)即可得)和函數(shù)為(逐項(xiàng)求導(dǎo)即可得)設(shè)設(shè)冪級(jí)數(shù)第39頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三40

小結(jié)再對(duì)和函數(shù)積分(求導(dǎo)),求出原級(jí)數(shù)的和函數(shù).求和函數(shù)的一般過(guò)程是:首先找收斂半徑,再利用在收斂區(qū)間上冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)可逐項(xiàng)求導(dǎo)(積分),求得新的冪級(jí)數(shù)和函數(shù);最后冪級(jí)數(shù)第40頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三41冪級(jí)數(shù)常用已知和函數(shù)的冪級(jí)數(shù)第41頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期三42冪級(jí)數(shù)及其收斂性收斂半徑R冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算代數(shù)、分析運(yùn)算性質(zhì)

函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念冪級(jí)數(shù)四、小結(jié)收斂點(diǎn)、收斂域、和函數(shù)