不完全信息博弈和貝葉斯均衡

第三章：不完全信息靜態(tài)博弈不完全信息博弈和貝葉斯均衡共57頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁!主要內(nèi)容：一、不完全信息博弈和貝葉斯納什均衡二、貝葉斯均衡的應(yīng)用三、貝葉斯博弈與混合戰(zhàn)略均衡四、機(jī)制設(shè)計(jì)理論與顯示原理不完全信息博弈和貝葉斯均衡共57頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁!思考：一、選課的問題二、看電影的問題三、制度和習(xí)俗的作用不完全信息博弈和貝葉斯均衡共57頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁!節(jié)不完全信息博弈

和貝葉斯均衡

一、貝葉斯博弈二、海薩尼轉(zhuǎn)換三、貝葉斯博弈的戰(zhàn)略式描述四、貝葉斯納什均衡不完全信息博弈和貝葉斯均衡共57頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁!前面兩章我們討論了完全信息博弈問題，但在現(xiàn)實(shí)生活中我們遇到更多的可能是不完全信息博弈問題。例如：在企業(yè)的新產(chǎn)品開發(fā)過程中，企業(yè)對(duì)市場的需求可能并不清楚；在連鎖店博弈中，潛在的進(jìn)入者可能并不知道在位者在市場上的盈利情況。不完全信息博弈和貝葉斯均衡共57頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁!在這種情形下，進(jìn)入者有關(guān)在位者的成本信息是不完全的。當(dāng)在位者具有不同的成本時(shí)，所表現(xiàn)出來的博弈情形是不一樣的，對(duì)應(yīng)的均衡也是不一樣的。高成本情形：（進(jìn)入，默許）（不進(jìn)入，斗爭）低成本情形：（不進(jìn)入，斗爭）不完全信息博弈和貝葉斯均衡共57頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁!存在兩個(gè)純戰(zhàn)略Nash均衡——(U，D)和(D，U)，也就是一個(gè)人沖上去，另一個(gè)就必須退下來。當(dāng)一個(gè)理性的參與人預(yù)測(cè)到對(duì)方將會(huì)沖上去時(shí)，明智的選擇就是退下來；而當(dāng)預(yù)測(cè)到對(duì)方將會(huì)選擇退卻時(shí)，就應(yīng)該大膽地沖上去。-4,

-42,

-2-2,

20,

0UD21UD不完全信息博弈和貝葉斯均衡共57頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁!

強(qiáng)硬軟弱

UDUD121，10，01，00，20，0-4，-40，-2-4，-40，1-2，00，0-2，22，0-4，-42，-2-4，-4

UD

UD強(qiáng)硬

軟弱

斗雞博弈：不完全信息不完全信息博弈和貝葉斯均衡共57頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁!在“斗雞博弈”中，雖然在博弈開始之前每位決斗者都知道自己的性格特征，但對(duì)對(duì)手的性格特征往往不甚了解。這意味著，當(dāng)博弈真正開始的時(shí)候，雙方對(duì)到底體現(xiàn)為哪一種博弈情形并不清楚。在這種情況下，對(duì)每位決斗者而言，存在事先的不確定性，即博弈開始之前就不知道的信息。不完全信息博弈和貝葉斯均衡共57頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁!從這一例子來看，博弈的參與人均存在兩種不同的類型，即強(qiáng)硬和軟弱；由于參與人1不知道對(duì)手究竟是“強(qiáng)硬”的還是“軟弱”的，因此，此時(shí)參與人1就好像在與兩個(gè)決斗者進(jìn)行決斗一樣，一個(gè)是“強(qiáng)硬”的，另一個(gè)是“軟弱”的；當(dāng)一個(gè)參與人并不知道在與誰博弈時(shí)，博弈的規(guī)則是無法定義的，如何處理不完全信息導(dǎo)致的這一問題？不完全信息博弈和貝葉斯均衡共57頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁!為了解釋Harsanyi轉(zhuǎn)換的具體含義，我們對(duì)“斗雞博弈”進(jìn)行簡化。假設(shè)參與人1是“強(qiáng)硬”的決斗者，參與人2可能是“強(qiáng)硬”的也可能是“軟弱”的，參與人1不知道參與人2的類型，但參與人2知道自己的類型，而且這一假設(shè)為所有的參與人所知道。

不完全信息博弈和貝葉斯均衡共57頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁!Harsanyi轉(zhuǎn)換“自然”首先行動(dòng)決定參與人2的性格特征(即選擇參與人2是“強(qiáng)硬”的還是“軟弱”的)，“自然”的選擇參與人1不知道，但參與人2知道。參與人2的特征不完全信息博弈和貝葉斯均衡共57頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁!在新構(gòu)造的三人博弈中，“自然”的支付不必考慮。參與人1和2的支付由“斗雞博弈”決定。不完全信息博弈和貝葉斯均衡共57頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁!如果“自然”選擇參與人2的性格特征是“軟弱”的，則意味著參與人1與“軟弱”的參與人2進(jìn)行決斗，博弈進(jìn)入決策結(jié)x2。不完全信息博弈和貝葉斯均衡共57頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁!在Harsanyi轉(zhuǎn)換中規(guī)定：參與人關(guān)于“自然”選擇的推斷為共同知識(shí)。也就是說，兩個(gè)決斗者不僅同時(shí)一起看到了“自然”隨機(jī)選擇參與人2的性格特征，而且同時(shí)一起看到了“自然”以一定的概率分布隨機(jī)選擇參與人2的性格特征。不完全信息博弈和貝葉斯均衡共57頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁!用ti表示參與人i的一個(gè)特定的類型，Ti表示參與人i所有類型的集合(亦稱類型空間，typespace)，即，t=(t1,…,tn)表示所有參與人的類型組合，t-i=(t1,…,ti-1,…,tn)表示除參與人i之外其他參與人的類型組合。所以，t=(ti,t-i)。不完全信息博弈和貝葉斯均衡共57頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁!假設(shè)pss=0.2，psw=0.3，pws=0.25，pww=0.25。其中，pss：決斗者1和決斗者2同時(shí)強(qiáng)硬的概率；

psw：決斗者1強(qiáng)硬、決斗者2軟弱的概率；

pws：決斗者1軟弱、決斗者2強(qiáng)硬的概率；

pww：決斗者1軟弱、決斗者2軟弱的概率；雖然決斗者1不知道決斗者2的類型，但由于決斗者1知道自己的類型，因此他可以根據(jù)貝葉斯公式推知決斗者2的類型分布。不完全信息博弈和貝葉斯均衡共57頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁!不完全信息博弈：完全信息博弈在不完全信息上的拓展，我們又將其稱為貝葉斯博弈；貝葉斯博弈：靜態(tài)貝葉斯博弈和動(dòng)態(tài)貝葉斯博弈；三、貝葉斯博弈的戰(zhàn)略式描述不完全信息博弈和貝葉斯均衡共57頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁!貝葉斯博弈中的戰(zhàn)略在貝葉斯博弈中，參與人i的一個(gè)戰(zhàn)略是從參與人的類型集Ti到其行動(dòng)集的一個(gè)函數(shù)si(ti)；它包含了當(dāng)自然賦予i的類型為ti時(shí)，i將從可行的行動(dòng)集Ai(ti)中選擇的行動(dòng)。不完全信息博弈和貝葉斯均衡共57頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁!貝葉斯博弈的時(shí)間順序如下：“自然”選擇參與人的類型組合t=(t1,…,tn)，其中，參與人i觀測(cè)到“自然”關(guān)于自己類型ti的選擇；雖然參與人i觀測(cè)不到“自然”關(guān)于其他參與人類型t-i的選擇，但參與人i具有關(guān)于其他參與人類型的推斷；參與人同時(shí)選擇行動(dòng)，每個(gè)參與人i從行動(dòng)集Ai(ti)中選擇行動(dòng)ai(ti)；參與人i得到。不完全信息博弈和貝葉斯均衡共57頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁!在貝葉斯博弈中，對(duì)于一個(gè)理性的參與人i，當(dāng)他只知道自己的類型ti而不知道其他參與人的類型時(shí)，給定其他參與人的戰(zhàn)略s-i

，他將選擇使自己期望效用(支付)最大化的行動(dòng)，其中四、貝葉斯納什均衡不完全信息博弈和貝葉斯均衡共57頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第21頁!

貝葉斯博弈納什均衡的存在性定理一個(gè)有限的貝葉斯博弈一定存在貝葉斯Nash均衡。不完全信息博弈和貝葉斯均衡共57頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第22頁!乙：如果為1，有占優(yōu)戰(zhàn)略為“左”；如果為2，有占優(yōu)戰(zhàn)略為“右”甲：由于甲相信對(duì)方為兩種類型的可能性各為1/2，故甲考慮選“上”和“下”分別給他帶來的期望收益；結(jié)果選“上”，期望支付為5/2，選“下”，期望支付為2，因而甲的最優(yōu)選擇是“上”。納什均衡為s1*=上；s2*(1)=左，s2*(2)=右。不完全信息博弈和貝葉斯均衡共57頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第23頁!-4,

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20,

0U21UD

2，0DD0，1不完全信息博弈和貝葉斯均衡共57頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第24頁!用p表示決斗者1關(guān)于決斗者2的類型的推斷，即決斗者1認(rèn)為決斗者2為強(qiáng)硬的概率為p。(x,(y,z))：x表示當(dāng)決斗者2選擇該方格所對(duì)應(yīng)的戰(zhàn)略時(shí)，決斗者1選擇該方格所對(duì)應(yīng)的戰(zhàn)略規(guī)定的行動(dòng)所得到的期望支付；y和z分別表示當(dāng)決斗者1選擇該方格所對(duì)應(yīng)的戰(zhàn)略時(shí)，“強(qiáng)硬”決斗者2和“軟弱”決斗者2選擇該方格所對(duì)應(yīng)的戰(zhàn)略規(guī)定的行動(dòng)所得到的期望支付。不完全信息博弈和貝葉斯均衡共57頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第25頁!下面根據(jù)p的大小，求解博弈的純戰(zhàn)略貝葉斯Nash均衡。情形1：，無論決斗者2選擇戰(zhàn)略(U,D)還是(D,D)，決斗者1的最優(yōu)行動(dòng)都是U。給定決斗者1的選擇U

，“強(qiáng)硬”決斗者2的最優(yōu)行動(dòng)為D。所以，博弈存在惟一的純戰(zhàn)略貝葉斯Nash均衡——決斗者1選擇行動(dòng)U，“強(qiáng)硬”決斗者2選擇行動(dòng)D，“軟弱”決斗者2選擇行動(dòng)D。不完全信息博弈和貝葉斯均衡共57頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第26頁!求解另一種情形下“斗雞博弈”的

貝葉斯Nash均衡

強(qiáng)硬軟弱

UDUD1，10，01，00，20，0-4，-40，-2-4，-40，1-2，00，0-2，22，0-4，-42，-2-4，-4

UD

UD強(qiáng)硬

軟弱不完全信息博弈和貝葉斯均衡共57頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第27頁!

強(qiáng)硬軟弱

UDUD1，10，01，00，20，0-4，-40，-2-4，-40，1-2，00，0-2，22，0-4，-42，-2-4，-4

U

DUD強(qiáng)硬

軟弱

強(qiáng)硬軟弱

UDUD1，10，01，00，20，1-2，00，0-2，22，0-4，-42，-2-4，-4

U

DD強(qiáng)硬

軟弱不完全信息博弈和貝葉斯均衡共57頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第28頁!

強(qiáng)硬軟弱

UDD1，11，00，20，10，0-2，22，02，-2-4，-4

U

DD強(qiáng)硬

軟弱

強(qiáng)硬軟弱

UDD1，11，00，22，02，-2-4，-4

U

D強(qiáng)硬

軟弱以上推導(dǎo)說明，U是強(qiáng)硬的決斗者1的占優(yōu)策略，為什么？不完全信息博弈和貝葉斯均衡共57頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第29頁!

強(qiáng)硬軟弱

UDD1，11，00，22，02，-2-4，-4

U

D強(qiáng)硬

軟弱因此，強(qiáng)硬的決斗者2選擇U和D無差別。對(duì)于強(qiáng)硬的決斗者2而言，有不完全信息博弈和貝葉斯均衡共57頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第30頁!一、貝葉斯博弈完全信息（pleteinformation）：不存在事前的不對(duì)稱信息，每個(gè)參與人對(duì)其他參與人的支付函數(shù)有準(zhǔn)確的了解；完美信息（perfectinformation）：在博弈過程的任何時(shí)點(diǎn)，每個(gè)參與人都能觀察到并記憶之前各參與人所選擇的行動(dòng)。不完全信息博弈和貝葉斯均衡共57頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第31頁!40，50-10，030，80-10，1000，3000，3000，400

0，400

高成本低成本默許斗爭默許斗爭進(jìn)入不進(jìn)入進(jìn)入者

在位者市場進(jìn)入博弈：不完全信息在位者的成本有兩種類型，而進(jìn)入者并不知道在位者的成本類型。不完全信息博弈和貝葉斯均衡共57頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第32頁!

斗雞博弈兩個(gè)所謂的勇士舉著長槍，準(zhǔn)備從獨(dú)木橋的兩端沖上橋中央進(jìn)行決斗。每位勇士都有兩種選擇：沖上去(用U表示)，或退下來(用D表示)。若兩人都沖上去，則兩敗俱傷；若一方上去而另一方退下來，沖上去者取得勝利，退下來的丟了面子(至少心理上是這樣的)；若兩人都退下來，兩人都丟面子。不完全信息博弈和貝葉斯均衡共57頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第33頁!現(xiàn)在考慮這樣的情形：假設(shè)參與人可能有這樣的兩種性格特征(類型)——“強(qiáng)硬”(用s表示)或“軟弱”(用w表示)。“強(qiáng)硬”的參與人：爭強(qiáng)好勝、不達(dá)目的誓不罷休的決斗者；“軟弱”的參與人：膽小怕事、遇事希望息事寧人的決斗者。斗雞博弈：不完全信息不完全信息博弈和貝葉斯均衡共57頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第34頁!(1)參與人都為強(qiáng)硬者(2)

參與人1為強(qiáng)硬者參與人2為軟弱者(3)

參與人1為軟弱者參與人2為強(qiáng)硬者(4)參與人都為軟弱者不完全信息博弈和貝葉斯均衡共57頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第35頁!例如，對(duì)于“強(qiáng)硬”的參與人1來講，雖然他知道自己的類型，但他不知道對(duì)手是“強(qiáng)硬”的還是“軟弱”的，所以博弈開始之前他無法確定博弈是根據(jù)(1)還是(2)進(jìn)行，這意味著“強(qiáng)硬”的參與人1面臨著事前無法確定的信息。同樣，“軟弱”的參與人1也會(huì)面臨類似的問題。此時(shí)，“斗雞博弈”就是一個(gè)不完全信息博弈問題。不完全信息博弈和貝葉斯均衡共57頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第36頁!為了解決該問題，海薩尼提出了Harsanyi轉(zhuǎn)換。海薩尼提出的解決辦法：引入虛擬參與人——自然，由自然首先決定參與人的不同類型，從而將不完全信息博弈轉(zhuǎn)換為不完美信息博弈。二、海薩尼（Harsanyi）轉(zhuǎn)換不完全信息博弈和貝葉斯均衡共57頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第37頁!Harsanyi轉(zhuǎn)換對(duì)于簡化的“斗雞博弈”，Harsanyi轉(zhuǎn)換是這樣處理的：在原博弈中引入一個(gè)“虛擬”的參與人——“自然”(nature，用N表示)，構(gòu)造一個(gè)參與人為兩個(gè)決斗者和“自然”的三人博弈。不完全信息博弈和貝葉斯均衡共57頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第38頁!在“自然”選擇后，參與人1和2再進(jìn)行“斗雞博弈”。

不完全信息博弈和貝葉斯均衡共57頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第39頁!如果“自然”選擇參與人2的性格特征是“強(qiáng)硬”的，則意味著參與人1與“強(qiáng)硬”的參與人2進(jìn)行決斗，博弈進(jìn)入決策結(jié)x1；不完全信息博弈和貝葉斯均衡共57頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第40頁!海薩尼通過引入“虛擬”參與人，將博弈的起始點(diǎn)由x1或x2提前至x0

，從而將原博弈中參與人的事前不確定性轉(zhuǎn)變?yōu)椴┺拈_始后的不確定性。這種通過引入“虛擬”參與人，來處理不完全信息博弈問題的方法稱為Harsanyi轉(zhuǎn)換。不完全信息博弈和貝葉斯均衡共57頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第41頁!在應(yīng)用Harsanyi轉(zhuǎn)換時(shí)，需要注意以下問題：

1)“自然”的選擇。在一般的不完全信息博弈問題中，Harsanyi轉(zhuǎn)換規(guī)定“自然”選擇的是參與人的類型(type)。除了根據(jù)參與人的支付來劃分參與人的類型以外，還可以根據(jù)參與人的行動(dòng)空間，甚至根據(jù)參與人掌握信息的多少(或?qū)π畔⒌牧私獬潭?來劃分參與人的類型。不完全信息博弈和貝葉斯均衡共57頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第42頁!用表示參與人i在知道自己類型為ti的情況下，關(guān)于其他參與人類型的推斷(即條件概率)，則2)參與人關(guān)于“自然”選擇的推斷。用p(t1,…,tn)表示定義在參與人類型組合上的一個(gè)聯(lián)合分布概率函數(shù)。不完全信息博弈和貝葉斯均衡共57頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第43頁!例如根據(jù)貝葉斯規(guī)則，“強(qiáng)硬”的決斗者1可以推知：決斗者2是“強(qiáng)硬”的概率為決斗者2是“軟弱”的概率為“軟弱”的決斗者1可以推知：決斗者2是“強(qiáng)硬”的概率為決斗者2是“軟弱”的概率為不完全信息博弈和貝葉斯均衡共57頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第44頁!

貝葉斯博弈的定義貝葉斯博弈包含以下五個(gè)要素：參與人集合；參與人的類型集合T1,…,T2；參與人關(guān)于其他參與人類型的推斷

…,；(4)參與人類型相依的行動(dòng)集A(t1),…,A(tn)；(5)參與人類型相依的支付函數(shù)

,…,。不完全信息博弈和貝葉斯均衡共57頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第45頁!用表示給定其他參與人的戰(zhàn)略，類型為ti的參與人i選擇行動(dòng)ai時(shí)的期望效用，則其中，對(duì)，為給定t-i時(shí)由s-i所確定的其他參與人的行動(dòng)組合不完全信息博弈和貝葉斯均衡共57頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第46頁!“斗雞博弈”的貝葉斯模型參與人為決斗者1和2；用s表示決斗者是“強(qiáng)硬”的，w表示決斗者是“軟弱”的，所以T1=T2={s,w}。用pxy表示“自然”選擇類型組合(x,y)的概率，并假設(shè)pxy為共同知識(shí)，則決斗者1關(guān)于其對(duì)手類型的推斷為p1(y|x)。決斗者1類型相依的行動(dòng)空間A1(x)={U,D}，決斗者2類型相依的行動(dòng)空間A2(y)={U,D}。每位決斗者i的支付由前面的圖決定。不完全信息博弈和貝葉斯均衡共57頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第47頁!純戰(zhàn)略貝葉斯Nash均衡貝葉斯博弈的純戰(zhàn)略貝葉斯Nash均衡是一個(gè)類型相依的行動(dòng)組合，其中每個(gè)參與人在給定自己的類型ti和其他參與人類型相依的行動(dòng)的情況下，最大化其期望效用。也就是，行動(dòng)組合是一個(gè)純戰(zhàn)略貝葉斯Nash均衡，如果對(duì)，不完全信息博弈和貝葉斯均衡共57頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第48頁!類型1類型2左右左右3，12，03，02，10，14，00，04，1上下甲乙靜態(tài)貝葉斯博弈均衡舉例：表中甲、乙同時(shí)行動(dòng)，甲只有一種類型，但乙有兩種類型：2={1，2}；甲不了解對(duì)方是哪一種類型，但他相信對(duì)方為1、2的概率各為1/2。求解均衡。不完全信息博弈和貝葉斯均衡共57頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第49頁!貝葉斯Nash均衡的求解：簡化的“斗雞博弈”：

強(qiáng)硬軟弱

UDUD120，1-2，00，0-2，22，0-4，-42，-2-4，-4

UD

強(qiáng)硬不完全信息博弈和貝葉斯均衡共57頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第50頁!在上述博弈中參與人2的戰(zhàn)略可定義為戰(zhàn)略——“強(qiáng)硬”的決斗者選擇行動(dòng)U，“軟弱”的決斗者選擇行動(dòng)U

，即(U,U)；戰(zhàn)略——“強(qiáng)硬”的決斗者選擇行動(dòng)U

，“軟弱”的決斗者選擇行動(dòng)D，即(U,D)；戰(zhàn)略——“強(qiáng)硬”的決斗者選擇行動(dòng)D，“軟弱”的決斗者選擇行動(dòng)U

，即(D,U)；戰(zhàn)略——“強(qiáng)硬”的決斗者選擇行動(dòng)D，“軟弱”的決斗者選擇行動(dòng)D，即(D,D)。不完全信息博弈和貝葉斯均衡共57頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第51頁!-4,

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0U21UD

2，0DD0，1不完全信息博弈和貝葉斯均衡共57頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第52頁!情形2：：博弈存在如下兩個(gè)純戰(zhàn)略貝葉斯Nash均衡：(1)決斗者1選擇行動(dòng)U，“強(qiáng)硬”決斗者2選擇行動(dòng)D，“軟弱”決斗者2選擇行動(dòng)D；(2)決斗者1選擇行動(dòng)D，“強(qiáng)硬”決斗者2選擇行動(dòng)U，“軟弱”決斗者2選擇行動(dòng)D。不完全信息博弈和貝葉斯均衡共57頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第53頁!求解另一種情形下“斗雞博弈”的

貝葉斯Nash均衡假設(shè)“強(qiáng)硬”決斗者1關(guān)于決斗者2的類型推斷；“軟弱”決斗者1關(guān)于決