應力狀態(tài)分析

關于應力狀態(tài)分析第1頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四第九章應力狀態(tài)分析和強度理論

§9–1應力狀態(tài)的概念§9–2平面應力狀態(tài)分析——解析法§9–3平面應力狀態(tài)分析——圖解法§9–4

梁的主應力及其主應力跡線§9–5

三向應力狀態(tài)研究——應力圓法§9–6

平面內(nèi)的應變分析§9–7

復雜應力狀態(tài)下的應力--應變關系

——（廣義虎克定律）§9–8

復雜應力狀態(tài)下的變形比能第2頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四§9–１應力狀態(tài)的概念應力狀態(tài)與應變狀態(tài)一、引言1、鑄鐵與低碳鋼的拉、壓、扭試驗現(xiàn)象是怎樣產(chǎn)生的？M低碳鋼鑄鐵PP鑄鐵拉伸P鑄鐵壓縮2、組合變形桿將怎樣破壞？MP第3頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四四、普遍狀態(tài)下的應力表示

三、單元體：單元體——構件內(nèi)的點的代表物，是包圍被研究點的無限小的幾何體，常用的是正六面體。單元體的性質(zhì)——a、平行面上，應力均布；

b、平行面上，應力相等。二、一點的應力狀態(tài)：

過一點有無數(shù)的截面，這一點的各個截面上應力情況的集合，稱為這點的應力狀態(tài)（StateofStressataGivenPoint）。xyzs

xsz

s

y應力狀態(tài)與應變狀態(tài)txy第4頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四xyzs

xsz

s

y應力狀態(tài)與應變狀態(tài)txy五、剪應力互等定理（TheoremofConjugateShearing

Stress):

過一點的兩個正交面上,如果有與相交邊垂直的剪應力分量,則兩個面上的這兩個剪應力分量一定等值、方向相對或相離。第5頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四tzx六、原始單元體（已知單元體）：例1

畫出下列圖中的A、B、C點的已知單元體。

應力狀態(tài)與應變狀態(tài)PPAAsxsxMPxyzBCsxsxBtxztxytyx第6頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四七、主單元體、主面、主應力：主單元體(Principalbidy)：各側面上剪應力均為零的單元體。主面(PrincipalPlane)：剪應力為零的截面。主應力(PrincipalStress

）：主面上的正應力。主應力排列規(guī)定：按代數(shù)值大小，應力狀態(tài)與應變狀態(tài)s1s2s3xyzsxsysz第7頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四單向應力狀態(tài)（UnidirectionalStateofStress）：一個主應力不為零的應力狀態(tài)。

二向應力狀態(tài)（PlaneStateofStress）：一個主應力為零的應力狀態(tài)。應力狀態(tài)與應變狀態(tài)三向應力狀態(tài)（Three—DimensionalStateof

Stress）：三個主應力都不為零的應力狀態(tài)。AsxsxtzxsxsxBtxz第8頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四§9–2

平面應力狀態(tài)分析——解析法應力狀態(tài)與應變狀態(tài)sxtxysyxyzxysxtxysyO第9頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四規(guī)定：截面外法線同向為正；

ta繞研究對象順時針轉(zhuǎn)為正；

a逆時針為正。圖1設：斜截面面積為S，由分離體平衡得：一、任意斜截面上的應力應力狀態(tài)與應變狀態(tài)xysxtxysyOsytxysxsataaxyOtn圖2第10頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四圖1應力狀態(tài)與應變狀態(tài)xysxtxysyOsytxysxsataaxyOtn圖2考慮剪應力互等和三角變換，得：同理：第11頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四二、極值應力′′應力狀態(tài)與應變狀態(tài)xysxtxysyO第12頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四xysxtxysyO在剪應力相對的項限內(nèi)，且偏向于x

及y大的一側。應力狀態(tài)與應變狀態(tài)222xyyxminmaxtsstt+-±=?íì￠￠）（第13頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四例2

分析受扭構件的破壞規(guī)律。解：確定危險點并畫其原始單元體求極值應力應力狀態(tài)與應變狀態(tài)txyCtyxMCxyOtxytyx第14頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四破壞分析應力狀態(tài)與應變狀態(tài)低碳鋼鑄鐵第15頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四§9–3

平面應力狀態(tài)分析——圖解法對上述方程消去參數(shù)（2），得：一、應力圓（

StressCircle）應力狀態(tài)與應變狀態(tài)xysxtxysyOsytxysxsataaxyOtn此方程曲線為圓—應力圓（或莫爾圓，由德國工程師：OttoMohr引入）第16頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四建立應力坐標系，如下圖所示，（注意選好比例尺）二、應力圓的畫法在坐標系內(nèi)畫出點A(x，xy)和B(y，yx)

AB與sa

軸的交點C便是圓心。以C為圓心，以AC為半徑畫圓——應力圓；應力狀態(tài)與應變狀態(tài)sxtxysyxyOnsataaOsataCA(sx,txy)B(sy,tyx)x2anD(sa,

ta)第17頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四應力狀態(tài)與應變狀態(tài)sxtxysyxyOnsataaOsataCA(sx,txy)B(sy,tyx)x2anD(sa,

ta)三、單元體與應力圓的對應關系面上的應力(，)

應力圓上一點(，)面的法線應力圓的半徑兩面夾角兩半徑夾角2

；且轉(zhuǎn)向一致。第18頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四四、在應力圓上標出極值應力應力狀態(tài)與應變狀態(tài)OCsataA(sx,txy)B(sy,tyx)x2a12a0s1s2s3第19頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四s3例3

求圖示單元體的主應力及主平面的位置。(單位：MPa)AB

12解：主應力坐標系如圖AB的垂直平分線與sa

軸的交點C便是圓心，以C為圓心，以AC為半徑畫圓——應力圓0應力狀態(tài)與應變狀態(tài)s1s2BAC2s0sata(MPa)(MPa)O20MPa在坐標系內(nèi)畫出點第20頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四s3應力狀態(tài)與應變狀態(tài)s1s2BAC2s0sata(MPa)(MPa)O20MPa主應力及主平面如圖

102AB第21頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四解法2—解析法：分析——建立坐標系如圖60°應力狀態(tài)與應變狀態(tài)xyO第22頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四§9–4

梁的主應力及其主應力跡線應力狀態(tài)與應變狀態(tài)12345P1P2q如圖，已知梁發(fā)生剪切彎曲（橫力彎曲），其上M、Q>0，試確定截面上各點主應力大小及主平面位置。單元體：第23頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四應力狀態(tài)與應變狀態(tài)21s1s3s33s1s34s1s1s35a0–45°a0stA1A2D2D1COsA2D2D1CA1Ot2a0stD2D1CD1O2a0=–90°sD2A1Ot2a0CD1A2stA2D2D1CA1O第24頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四拉力壓力主應力跡線（StressTrajectories)：主應力方向線的包絡線——曲線上每一點的切線都指示著該點的拉主應力方位（或壓主應力方位）。實線表示拉主應力跡線；虛線表示壓主應力跡線。應力狀態(tài)與應變狀態(tài)1313第25頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四qxy主應力跡線的畫法：11截面22截面33截面44截面ii截面nn截面bacd13應力狀態(tài)與應變狀態(tài)31第26頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四§9–5

三向應力狀態(tài)研究——應力圓法應力狀態(tài)與應變狀態(tài)s2s1xyzs31、空間應力狀態(tài)第27頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四2、三向應力分析彈性理論證明，圖a單元體內(nèi)任意一點任意截面上的應力都對應著圖b的應力圓上或陰影區(qū)內(nèi)的一點。圖a圖b整個單元體內(nèi)的最大剪應力為：tmax應力狀態(tài)與應變狀態(tài)s2s1xyzs3第28頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四例4

求圖示單元體的主應力和最大剪應力。（MPa）解：由單元體圖知：yz面為主面建立應力坐標系如圖，畫應力圓和點1′,得:應力狀態(tài)與應變狀態(tài)5040xyz3010(M

Pa)sa（M

Pa）taABCABs1s2s3tmax第29頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四§9–6

平面內(nèi)的應變分析xyO一、疊加法求應變分析公式abcdaAOB剪應變：直角的增大量?。ㄖ挥羞@樣，前后才對應）應力狀態(tài)與應變狀態(tài)DD1EE1第30頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四應力狀態(tài)與應變狀態(tài)xyOabcdaAOBDD2EE2第31頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四DD3EE3應力狀態(tài)與應變狀態(tài)xyOabcdaAOB第32頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四應力狀態(tài)與應變狀態(tài)第33頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四2、已知一點A的應變（），畫應變圓二、應變分析圖解法——應變圓（StrainCircle）1、應變圓與應力圓的類比關系建立應變坐標系如圖在坐標系內(nèi)畫出點

A(x，xy/2)

B(y，-yx/2)AB與a

軸的交點C便是圓心以C為圓心，以AC為半徑畫圓——應變圓。應力狀態(tài)與應變狀態(tài)eaga/2ABC第34頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四eaga/2三、方向上的應變與應變圓的對應關系maxmin20D(，/2)2n應力狀態(tài)與應變狀態(tài)方向上的應變(，/2)

應變圓上一點(，/2)

方向線應變圓的半徑兩方向間夾角兩半徑夾角2

；且轉(zhuǎn)向一致。ABC第35頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四四、主應變數(shù)值及其方位應力狀態(tài)與應變狀態(tài)第36頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四例5

已知一點在某一平面內(nèi)的1、2、3、方向上的應變1、2、3，三個線應變，求該面內(nèi)的主應變。解：由i=1,2,3這三個方程求出

x，y，xy；然后在求主應變。應力狀態(tài)與應變狀態(tài)第37頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四例6用45°應變花測得一點的三個線應變后，求該點的主應變。xyu45o0max應力狀態(tài)與應變狀態(tài)第38頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四§9–7

復雜應力狀態(tài)下的應力--應變關系

——（廣義虎克定律）一、單拉下的應力--應變關系二、純剪的應力--應變關系應力狀態(tài)與應變狀態(tài)xyzsxxyz

x

y第39頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四三、復雜狀態(tài)下的應力---應變關系依疊加原理,得:應力狀態(tài)與應變狀態(tài)

xyzszsytxysx第40頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四主應力---主應變關系四、平面狀態(tài)下的應力---應變關系:方向一致應力狀態(tài)與應變狀態(tài)s1s3s2第41頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四主應力與主應變方向一致?應力狀態(tài)與應變狀態(tài)第42頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四五、體積應變與應力分量間的關系體積應變：體積應變與應力分量間的關系:應力狀態(tài)與應變狀態(tài)s1s3s2a1a2a3第43頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四例7已知一受力構件自由表面上某一點處的兩個面內(nèi)主應變分別為：1=24010-6，

2=–16010-6，彈性模量E=210GPa，泊松比為=0.3，試求該點處的主應力及另一主應變。所以，該點處的平面應力狀態(tài)應力狀態(tài)與應變狀態(tài)第44頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四me3342.-=應力狀態(tài)與應變狀態(tài)第45頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四例8

圖a所示為承受內(nèi)壓的薄壁容器。為測量容器所承受的內(nèi)壓力值，在容器表面用電阻應變片測得環(huán)向應變t

=350×l06，若已知容器平均直徑D=500mm，壁厚=10mm，容器材料的E=210GPa，=0.25，試求:1.導出容器橫截面和縱截面上的正應力表達式；2.計算容器所受的內(nèi)壓力。應力狀態(tài)與應變狀態(tài)pppxs1smlpODxABy圖a第46頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四1、軸向應力:(longitudinalstress)解：容器的環(huán)向和縱向應力表達式用橫截面將容器截開，受力如圖b所示,根據(jù)平衡方程應力狀態(tài)與應變狀態(tài)psmsmxD圖b第47頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四用縱截面將容器截開，受力如圖c所示2、環(huán)向應力：(hoopstress)3、求內(nèi)壓（以應力應變關系求之）應力狀態(tài)與應變狀態(tài)t

m外表面ypststDqdqz圖cO第48頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四§9－8復雜應力狀態(tài)下的變形比能23

1圖a圖

c3-m

1-m2-m應力狀態(tài)與應變狀態(tài)m圖bmm第49頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四稱為形狀改變比能或歪形能。應力狀態(tài)與應變狀態(tài)圖

c3-m

1-m2-m第50頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四例9

用能量法證明三個彈性常數(shù)間的關系。純剪單元體的比能為：純剪單元體比能的主應力表示為：應力狀態(tài)與應變狀態(tài)txyA13第51頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四§9–9強度理論的概念§9–10四個強度理論及其相當應力§9–11莫爾強度理論及其相當應力§9-12強度理論的應用第52頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四一、引子：§9–9

強度理論的概念強度理論1、鑄鐵與低碳鋼的拉、壓、扭試驗現(xiàn)象是怎樣產(chǎn)生的？M低碳鋼鑄鐵PP鑄鐵拉伸P鑄鐵壓縮2、組合變形桿將怎樣破壞？MP第53頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四二、強度理論：是關于“構件發(fā)生強度失效（failurebylost

strength）起因”的假說。1、伽利略播下了第一強度理論的種子；三、材料的破壞形式：⑴屈服；⑵斷裂。2、馬里奧特關于變形過大引起破壞的論述，是第二強度理論的萌芽；3、杜奎特（C.Duguet)提出了最大剪應力理論；4、麥克斯威爾最早提出了最大畸變能理論（maximumdistortionenergytheory）；這是后來人們在他的書信出版后才知道的。強度理論第54頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四§9–10

四個強度理論及其相當應力一、最大拉應力（第一強度）理論：認為構件的斷裂是由最大拉應力引起的。當最大拉應力達到單向拉伸的強度極限時，構件就斷了。1、破壞判據(jù)：2、強度準則：3、實用范圍：實用于破壞形式為脆斷的構件。強度理論第55頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四二、最大伸長線應變（第二強度）理論：

認為構件的斷裂是由最大拉應力引起的。當最大伸長線應變達到單向拉伸試驗下的極限應變時，構件就斷了。1、破壞判據(jù)：2、強度準則：3、實用范圍：實用于破壞形式為脆斷的構件。強度理論第56頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四三、最大剪應力（第三強度）理論：認為構件的屈服是由最大剪應力引起的。當最大剪應力達到單向拉伸試驗的極限剪應力時，構件就破壞了。1、破壞判據(jù)：3、實用范圍：實用于破壞形式為屈服的構件。2、強度準則：強度理論第57頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四四、形狀改變比能（第四強度）理論：認為構件的屈服是由形狀改變比能引起的。當形狀改變比能達到單向拉伸試驗屈服時形狀改變比能時，構件就破壞了。1、破壞判據(jù)：2、強度準則3、實用范圍：實用于破壞形式為屈服的構件。強度理論第58頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四§9–11

莫爾強度理論及其相當應力

莫爾認為：最大剪應力是使物體破壞的主要因素，但滑移面上的摩擦力也不可忽略（莫爾摩擦定律）。綜合最大剪應力及最大正應力的因素，莫爾得出了他自己的強度理論。強度理論第59頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四近似包絡線極限應力圓的包絡線O

ts

極限應力圓一、兩個概念：1、極限應力圓：2、極限曲線：極限應力圓的包絡線（envelope）。強度理論第60頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四[y]saaot[

L]O1O2莫爾理論危險條件的推導2、強度準則：1、破壞判據(jù)：O3

1

3MKLPN二、莫爾強度理論：任意一點的應力圓若與極限曲線相接觸，則材料即將屈服或剪斷。強度理論第61頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四三、相當應力：（強度準則的統(tǒng)一形式）。其中，

*—相當應力。強度理論3、實用范圍：實用于破壞形式為屈服的構件及其拉壓極限強度不等的處于復雜應力狀態(tài)的脆性材料的破壞（巖石、混凝土等）。第62頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四§9–12

強度理論的應用一、強度計算的步驟：1、外力分析：確定所需的外力值。2、內(nèi)力分析：畫內(nèi)力圖，確定可能的危險面。3、應力分析：畫危面應力分布圖，確定危險點并畫出單元體，