平面向量的分解

關(guān)于平面向量的分解第1頁，共72頁，2023年，2月20日，星期三2.3.1平面向量的基本定理第2頁，共72頁，2023年，2月20日，星期三

問題1：在物理中，我們學(xué)習(xí)了力的分解，即一個(gè)力可以分解為兩個(gè)不同方向的力，試想平面內(nèi)的任一向量是否可以分解為其他兩個(gè)向量的和？提示：可以．

問題2：如圖，以a為平行四邊形的一條對角線作平行四邊形，四邊形確定嗎？提示：不確定．新課講解第3頁，共72頁，2023年，2月20日，星期三

問題3：如果e1，e2是兩個(gè)不共線的確定向量，那么與e1，e2在同一平面內(nèi)的任一向量a能否用e1，e2表示？根據(jù)是什么？提示：可以，根據(jù)是數(shù)乘向量和平行四邊形法則．

問題4：如果e1，e2是共線向量，那么向量a能否用e1，e2表示？為什么？提示：不一定，當(dāng)a與e1共線時(shí)可以表示，否則不能表示．第4頁，共72頁，2023年，2月20日，星期三

一、平面向量基本定理

(1)定理：如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)

向量，那么對于這一平面內(nèi)的

向量a，

實(shí)數(shù)λ、u，使a＝

.(2)基底：

的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)

向量的一組基底.不共線任意有且只有一對不共線所有λe1＋ue2第5頁，共72頁，2023年，2月20日，星期三1.

如果e1、e2是平面α內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，判斷下列說法是否正確．①λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α內(nèi)的所有向量；②對于平面α內(nèi)任一向量a，使a＝λe1＋μe2的實(shí)數(shù)對(λ，μ)有無窮多個(gè)；③若向量λ1e1＋μ1e2與λ2e1＋μ2e2共線，則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；④若實(shí)數(shù)λ，μ使得λe1＋μe2＝0，則λ＝μ＝0.分析思考第6頁，共72頁，2023年，2月20日，星期三

解：由平面向量基本定理可知，①④是正確的；②不正確，由平面向量基本定理可知，一旦一個(gè)平面的基底確定，那么任意一個(gè)向量在此基底下的實(shí)數(shù)對是唯一的；③不正確，當(dāng)兩向量的系數(shù)均為零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0時(shí)，這樣的λ有無數(shù)個(gè)．第7頁，共72頁，2023年，2月20日，星期三2．設(shè)e1，e2是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下列四組向量中，不能作為基底的是(

)A．e1＋e2和e1－e2

B．3e1－4e2和6e1－8e2C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2解析：∵6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，∴(6e1－8e2)∥(3e1－4e2)，∴3e1－4e2和6e1－8e2不能作為平面的基底．答案：B第8頁，共72頁，2023年，2月20日，星期三問題1：兩條直線存在夾角，那么兩個(gè)向量也有夾角嗎？提示：有．

問題2：兩條直線在什么情況下互相垂直？提示：所成的角為90°時(shí)．二、平面向量的夾角第9頁，共72頁，2023年，2月20日，星期三非零向量∠AOB0°≤θ≤180°同向反向90°a⊥b第10頁，共72頁，2023年，2月20日，星期三

1．關(guān)于平面向量的基底，下面三種說法正確嗎？①一個(gè)平面內(nèi)有且只有一對不共線的向量可以作為表示該平面所有向量的基底；②一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)多對不共線向量可以作為表示該平面所有向量的基底；③基底中的向量一定不是零向量．提示：平面內(nèi)任何不共線的兩個(gè)向量都可以作為一組基底，故①不正確，②③正確．提示：不對，是π－B.分析思考第11頁，共72頁，2023年，2月20日，星期三概念理解第12頁，共72頁，2023年，2月20日，星期三例題講解第13頁，共72頁，2023年，2月20日，星期三[答案]

30°

120°第14頁，共72頁，2023年，2月20日，星期三答案：120°跟蹤練習(xí)第15頁，共72頁，2023年，2月20日，星期三第16頁，共72頁，2023年，2月20日，星期三例題講解第17頁，共72頁，2023年，2月20日，星期三第18頁，共72頁，2023年，2月20日，星期三跟蹤練習(xí)第19頁，共72頁，2023年，2月20日，星期三第20頁，共72頁，2023年，2月20日，星期三例題講解第21頁，共72頁，2023年，2月20日，星期三第22頁，共72頁，2023年，2月20日，星期三跟蹤練習(xí)第23頁，共72頁，2023年，2月20日，星期三第24頁，共72頁，2023年，2月20日，星期三第25頁，共72頁，2023年，2月20日，星期三第26頁，共72頁，2023年，2月20日，星期三2.3.2-3平面向量的正交分解及坐標(biāo)運(yùn)算第27頁，共72頁，2023年，2月20日，星期三1．平面向量的正交分解把一個(gè)向量分解成兩個(gè)

的向量，叫做把向量正交分解．

2．平面向量的坐標(biāo)表示

(1)向量的坐標(biāo)表示：在直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)

i、j作為基底，對于平面內(nèi)的一個(gè)向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對實(shí)數(shù)x，y使得a＝

，則把有序數(shù)對

叫做向量a的坐標(biāo)．記作

，此式叫做向量的坐標(biāo)表示．

(2)在直角坐標(biāo)平面中，i＝

，j＝

，0＝

．

互相垂直向量(x，y)xi＋yja＝(x，y)(1,0)(0,1)(0,0)單位新課講解第28頁，共72頁，2023年，2月20日，星期三3．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算向量的加、減法若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝

，a－b＝

．即兩個(gè)向量和(差)的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量

的和(差)實(shí)數(shù)與向量的積若a＝(x，y)，λ∈R，則λa＝

，即實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的向量的坐標(biāo)已知向量的起點(diǎn)A(x1，y1)，終點(diǎn)B(x2，y2)，則＝

，即向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)相應(yīng)坐標(biāo)(λx，λy)相應(yīng)坐標(biāo)(x2－x1，y2－y1)第29頁，共72頁，2023年，2月20日，星期三1．與坐標(biāo)軸平行的向量的坐標(biāo)有什么特點(diǎn)？提示：與x軸平行的向量的縱坐標(biāo)為0，即a＝(x,0)；與y軸平行的向量的橫坐標(biāo)為0，即b＝(0，y)．2．已知向量＝(－1，－2)，M點(diǎn)的坐標(biāo)與的坐標(biāo)有什么關(guān)系？提示：坐標(biāo)相同但寫法不同；＝(－1，－2)，而M(－1，－2)．分析思考第30頁，共72頁，2023年，2月20日，星期三

3．在基底確定的條件下，給定一個(gè)向量．它的坐標(biāo)是唯一的一對實(shí)數(shù)，給定一對實(shí)數(shù)，它表示的向量是否唯一？提示：不唯一，以這對實(shí)數(shù)為坐標(biāo)的向量有無窮多個(gè)，這些向量都是相等向量．

4．向量可以平移，平移前后它的坐標(biāo)發(fā)生變化嗎？提示：不發(fā)生變化。向量確定以后，它的坐標(biāo)就被唯一確定，所以向量在平移前后，其坐標(biāo)不變．第31頁，共72頁，2023年，2月20日，星期三例題講解第32頁，共72頁，2023年，2月20日，星期三第33頁，共72頁，2023年，2月20日，星期三第34頁，共72頁，2023年，2月20日，星期三跟蹤練習(xí)第35頁，共72頁，2023年，2月20日，星期三第36頁，共72頁，2023年，2月20日，星期三第37頁，共72頁，2023年，2月20日，星期三第38頁，共72頁，2023年，2月20日，星期三例題講解第39頁，共72頁，2023年，2月20日，星期三第40頁，共72頁，2023年，2月20日，星期三答案：B跟蹤練習(xí)第41頁，共72頁，2023年，2月20日，星期三例題講解第42頁，共72頁，2023年，2月20日，星期三思考：保持例題條件不變，問t為何值時(shí)，B為線段AP的中點(diǎn)？第43頁，共72頁，2023年，2月20日，星期三1．已知向量u＝(x，y)和向量v＝(y,2y－x)的對應(yīng)關(guān)系用v＝f(u)表示．(1)若a＝(1,1)，b＝(1,0)，試求向量f(a)及f(b)的坐標(biāo)．(2)求使f(c)＝(4,5)的向量c的坐標(biāo)．解：(1)由v＝f(u)可得當(dāng)u＝(x，y)時(shí)，有v＝(y,2y－x)＝f(u)，從而f(a)＝(1,2×1－1)＝(1,1)，f(b)＝(0,2×0－1)＝(0，－1)．跟蹤練習(xí)第44頁，共72頁，2023年，2月20日，星期三2.若向量|a|＝|b|＝1，且a＋b＝(1,0)，求a與b的坐標(biāo)．第45頁，共72頁，2023年，2月20日，星期三第46頁，共72頁，2023年，2月20日，星期三第47頁，共72頁，2023年，2月20日，星期三第48頁，共72頁，2023年，2月20日，星期三[例4]已知a＝(－1,2)，b＝(1，－1)，c＝(3，－2)，且有c＝pa＋qb.試求實(shí)數(shù)p，q的值．第49頁，共72頁，2023年，2月20日，星期三1.已知A(3,2)、B(5,4)、C(6,7)，求以A、B、C為頂點(diǎn)的平行四邊形的另一個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．[錯(cuò)因分析]

只考慮了一種情況，還有另外兩種情況沒有考慮．跟蹤練習(xí)第50頁，共72頁，2023年，2月20日，星期三第51頁，共72頁，2023年，2月20日，星期三可得(6－3,7－2)＝(5－x,4－y)，解得x＝2，y＝－1.故所求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為D(2，－1)．綜上可得，以A、B、C為頂點(diǎn)的平行四邊形的另一個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是(4,5)或(8,9)或(2，－1)．第52頁，共72頁，2023年，2月20日，星期三2.3.4平面向量共線的坐標(biāo)表示第53頁，共72頁，2023年，2月20日，星期三

提示：(1)、(2)中，b＝2a，(3)中，b＝－2a，(4)中，b＝－a.

新課講解第54頁，共72頁，2023年，2月20日，星期三問題2：以上幾組向量中a，b共線嗎？提示：共線．問題3：當(dāng)a∥b時(shí)a，b的坐標(biāo)成比例嗎？提示：坐標(biāo)不為0時(shí)成比例．第55頁，共72頁，2023年，2月20日，星期三(1)設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)，向量a與b共線．

(2)設(shè)a＝(x1，