2021-2022學年上海市靜安區(qū)高二年級上冊期末數(shù)學試題【含答案】

2021-2022學年上海市靜安區(qū)高二上期末數(shù)學試題一、填空題（本大題滿分30分，本大題共有10題）1.直線的傾斜角為．【解析】直線的斜率，則傾斜角為.2.設直線的一個方向向量，平面的一個法向量則直線與平面的位置關系為．【解析】因為，所以．所以直線與平面的位置關系是直線在平面內(nèi)或平行于平面．3.正方體,棱長為，則棱所在直線與直線間的距離為．【解析】取中點，則是異面直線和的公垂線，.4.正方體中，為中點，則所成的角為．【解析】以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，設正方體中棱長為2，則，，設異面直線與所成角為，則，所以所成的角為．5.在三棱錐中和都是邊長為的正三角形，二面角的大小為，當_____時，該三棱錐的全面積最大.【解析】取中點，連接，則和都是正三角形，是二面角的平面角，，又，且當時，和面積最大，此時，在中，由余弦定理得當時，該三棱錐的全面積最大.6.一個四面體的頂點在空間直角坐標系中的坐標分別是，則該四面體的體積為．【解析】滿足條件的四面體為正方體的內(nèi)接正四面體．所以該四面體的體積．7.某校從高二年級期中考試的學生中抽取60名學生，其成績（均為整數(shù)）的頻率分布直方圖如圖所示，現(xiàn)從成績70分以上的學生中任選兩人，則他們的分數(shù)在同一分數(shù)段的概率為．【解析】由頻率分布直方圖得，分數(shù)在上的有，分數(shù)在上的有，分數(shù)在上的有，分數(shù)在上的有人，則他們的分數(shù)在同一分數(shù)段的概率．8.如圖，在棱長為2的正方體中，點是平面上一動點，且滿足，則滿足條件的所有點所圍成的平面區(qū)域的面積是．【解析】法一：如圖，以的交點為原點，為軸，軸，垂直平面于的直線為軸建立坐標系，此時，設，，，所以點運動軌跡為圓，所以.法二：在平面中，滿足的軌跡為一個圓，在空間中自然是一個球；又規(guī)定點是平面上一動點，所以的軌跡為平面與該球的截面即小圓，設球心為，球的半徑為，在平面中，小圓的圓心為，半徑為，則，得，則，所以.法三：,在空間中，其軌跡是以為直徑的一個球，而在平面上的截面為圓，我們可以抽象出這個球如下右圖所示，很顯然，球的半徑，球心到平面的距離為的中點到平面的距離，所以截面圓的半徑滿足,所以.9.氣象意義上從春季進入夏季的標志為:連續(xù)5天的日平均溫度均不低于22度，現(xiàn)有甲，乙，丙三地的連續(xù)5天日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)(記錄數(shù)據(jù)都是正整數(shù))甲:5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24，眾數(shù)為22;乙:5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為27,平均值為24;丙:5個數(shù)據(jù)中有一個數(shù)據(jù)是32，平均值為26，方差為10.8;則肯定能進入夏季的地區(qū)是____【解析】①甲地：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24，眾數(shù)為22，甲地連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)可能為22，22，24，25，26，其連續(xù)5天的日平均溫度均不低于22，故甲地進入夏季，②乙地：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為27，總體均值為27，比如這5個數(shù)據(jù)從小到大排列為20，21，27，33，34滿足條件，但是有低于22的數(shù)，故不確定．③丙地：5個數(shù)據(jù)中有一個數(shù)據(jù)是32，總體均值為26，若有低于22，則取21，此時方差就超出了10.8，得其連續(xù)5天的日平均溫度均不低于22．則肯定進入夏季的地區(qū)有甲、丙兩地，10.已知實數(shù)滿足，則的最大值為_____【解析】作出圓，與直線，由題意得，都在圓上，，則，表示和到直線的距離和，由圖形得只有當、都在直線的左側距離之和才會取得最大值．取、的中點，過作，垂足為，則，因為為等邊三角形，為的中點，所以，則在圓上運動，故到直線距離的最大值為，所以的最大值為．二、選擇題（本大題滿分12分，本大題共有4題）11.給定空間中的直線及平面，條件“直線與平面內(nèi)無數(shù)條直線都垂直”是“直線與平面垂直”的條件．A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要【解析】直線與平面內(nèi)的無數(shù)條平行直線垂直，但該直線未必與平面垂直；即“直線與平面內(nèi)無數(shù)條直線都垂直”“直線與平面垂直”為假命題；但直線與平面垂直時，與平面內(nèi)的每一條直線都垂直，即“直線與平面垂直”“直線與平面內(nèi)無數(shù)條直線都垂直”為真命題；故為必要非充分條件，故選．12.已知平面平面，直線點，平面，間的距離為4，則在內(nèi)到點的距離為5且到直線的距離是的點的軌跡是A．一個圓 B．兩條平行直線 C．四個點 D．兩個點【解析】設滿足條件的點為，過點做平面的垂線，則．平面內(nèi)一點到點的距離為，，所以，即為平面上以垂足為圓心，半徑的圓上，在內(nèi)到直線的距離是的點的軌跡是兩條平行線，點到它們的距離為．這兩條平行線與圓錐底面產(chǎn)生4個交點，故選．13.設集合，，如果命題“存在，”是真命題，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【解析】因為，表示平面坐標系中以為圓心，半徑為1的圓，，表示以為圓心，半徑為1的圓，且其圓心在直線上，如圖．如果命題“，”是真命題，即兩圓有公共點，則圓心到直線的距離不大于2，即，解得．所以實數(shù)的取值范圍是，故選．14.設、、、是半徑為1的球面上的四個不同點，且滿足，，，用、、分別表示、、的面積，則的最大值是A． B．2 C．4 D．8【解析】設，，，因為、、兩兩互相垂直，擴展為長方體，它的對角線為球的直徑，所以所以即最大值為2，故選．三、解答題（本大題滿分58分，本大題共有5題）15.已知直線和，（1）若與平行，求的值；（2）若與垂直，求的值.【解析】（1）當時，即時，與垂直，即時，與垂直．（2）當時，與平行，即時，與平行．16.在正方體中，是棱的中點.（1）求直線和平面所成角的正弦值;（2）在棱上是否存在一點使平面，證明你的結論.【解析】（1）如圖(a)，取的中點，連接，因為是棱的中點，四邊形為正方形，所以.在正方體中，面，所以面，從而為直線在平面上的射影，是直線和平面所成角，設正方體的棱長為2，則，，于是在中，，則直線和平面所成角的正弦值為；（2）在棱上存在點，使平面，事實上，如圖(b)所示，分別取和的中點，連接，因為，且，所以四邊形為平行四邊形，因此，又分別為和的中點，所以，這說明共面，所以平面，因為四邊形與皆為正方形，分別為和的中點，所以且，因此四邊形為平行四邊形，所以，而平面,平面，故平面.17.如圖所示為兩點間的電路，在時間內(nèi)不同元件發(fā)生故障的事件是相互獨立的，他們發(fā)生故障的概率如下表所示:元件概率0.60.50.40.50.7（1）求在時間內(nèi)，與同時發(fā)生故障的概率；（2）求在時間內(nèi)，，至少一個發(fā)生故障的概率；（3）求在時間內(nèi)，電路不通的概率.【解析】（1）設表示發(fā)生故障，則，在時間內(nèi)與同時發(fā)生故障的概率；（2）在時間內(nèi)，與至少一個發(fā)生故障的概率；（3）設表示發(fā)生故障，則，在時間內(nèi)，電路不通的概率.18.由曲線圍成的封閉圖形繞軸旋轉一周所得的旋轉體的體積為;滿足的點所組成的封閉圖形繞軸旋轉一周所得的旋轉體的體積為（1）當時，分別求出兩旋轉體的水平截面的面積;（2）求與的關系，并說明理由.【解析】（1），；（2）因為，由祖恒原理得兩個幾何體體積相等.19.如圖，已知定圓，定直線，過的一條動直線與直線相交于，與圓相交于，兩點，是中點．（1）當時，求直線的方程；（2）設，試問是否為定值，若為定值，請求出的值；若不為定值，請說明理由．【解析】（1）當直線與軸垂直時，易得符合題意；當直線與軸不垂直時，設直線的方程為，由于，所以．由，解得