2021-2022學(xué)年廣東省佛山市南海區(qū)高二年級(jí)下冊(cè)學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年廣東省佛山市南海區(qū)高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)，則（

）A． B． C．4 D．8【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，得到，然后計(jì)算即可求解.【詳解】故選：C2．教學(xué)大樓共有4層，每層都有東西兩個(gè)樓梯，由一樓到4樓共有走法種數(shù)為（

）A．6 B．23 C．42 D．43【答案】B【分析】根據(jù)分步計(jì)數(shù)法進(jìn)行計(jì)算.【詳解】解：由題意得可知：由一層走到二層有兩種選擇，由二層走到三層有兩種選擇，由三層走到四層有兩種選擇，根據(jù)分步計(jì)數(shù)法的原則可知共有種走法.故選：B3．已知雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)過(guò)圓的圓心，則C的離心率為（

）A． B． C． D．3【答案】C【分析】求出圓心坐標(biāo)，代入漸近線(xiàn)方程求出，然后求解雙曲線(xiàn)的離心率．【詳解】解：圓的圓心，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為：，雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)過(guò)圓的圓心，可得，所以，，則，則的離心率．故選：C．4．函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能是A． B．C． D．【答案】D【詳解】原函數(shù)先減再增，再減再增，且位于增區(qū)間內(nèi)，因此選D．【名師點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)圖象與原函數(shù)圖象的關(guān)系：若導(dǎo)函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)為，且圖象在兩側(cè)附近連續(xù)分布于軸上下方，則為原函數(shù)單調(diào)性的拐點(diǎn)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)來(lái)討論函數(shù)單調(diào)性時(shí)，由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，得出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．5．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由并項(xiàng)求和結(jié)合等比數(shù)列求和即可得解【詳解】由題

故選D【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列求和，等比數(shù)列求和公式，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題6．設(shè)是R上的可導(dǎo)函數(shù)，且滿(mǎn)足，對(duì)任意的正實(shí)數(shù)，下列不等式恒成立的是A．； B．；C．； D．【答案】B【分析】根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論．【詳解】解：設(shè)，則，∵，，即函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增．任意正實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，（a），即，∴故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷和應(yīng)用，根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．7．若函數(shù)在區(qū)間(0，1)上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】對(duì)求導(dǎo)并將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在(0,1)上存在變號(hào)零點(diǎn)，再應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理列不等式求參數(shù)范圍.【詳解】由題設(shè)，，又在(0,1)上不單調(diào)，所以在(0,1)上存在變號(hào)零點(diǎn)，而，則在(0,1)上遞增，只需，即.故選：B8．對(duì)于一切實(shí)數(shù)x，令為不大于x的最大整數(shù)，則函數(shù)稱(chēng)為高斯函數(shù)或取整函數(shù).若，，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)高斯函數(shù)的性質(zhì)以及數(shù)列求和公式進(jìn)行計(jì)算.【詳解】解：由題意，當(dāng)，，時(shí)，均有，故可知：.故選：A二、多選題9．現(xiàn)有不同的紅球4個(gè)，黃球5個(gè)，綠球6個(gè)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．從中任選1個(gè)球，有15種不同的選法B．若每種顏色選出1個(gè)球，有120種不同的選法C．若要選出不同顏色的2個(gè)球，有31種不同的選法D．若要不放回地依次選出2個(gè)球，有210種不同的選法【答案】ABD【分析】利用排列知識(shí)計(jì)算得到選項(xiàng)ABD正確；若要選出不同顏色的2個(gè)球，有種不同的選法，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤.【詳解】解：A.從中任選1個(gè)球，有15種不同的選法，所以該選項(xiàng)正確；B.若每種顏色選出1個(gè)球，有120種不同的選法，所以該選項(xiàng)正確；C.若要選出不同顏色的2個(gè)球，有種不同的選法，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.若要不放回地依次選出2個(gè)球，有210種不同的選法，所以該選項(xiàng)正確.故選：ABD10．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，若數(shù)列是遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)k不能取的值是（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】AB【分析】根據(jù)數(shù)列單調(diào)性的性質(zhì)可知，然后可得，根據(jù)不等式恒成立的條件可知得取值范圍.【詳解】解：由題意得：數(shù)列是遞減數(shù)列對(duì)于一切的恒成立即對(duì)于一切的恒成立故對(duì)于一切的恒成立，當(dāng)時(shí)，有最大值故，所以故選：AB11．下列命題中正確的是（

）A．在等比數(shù)列中，，則B．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則C．已知數(shù)列滿(mǎn)足，，則的最小值為D．已知數(shù)列滿(mǎn)足，且，則數(shù)列前9項(xiàng)的和【答案】BCD【分析】對(duì)于A，根據(jù)，求得公比，即可判斷；對(duì)于B，利用等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)即可判斷；對(duì)于C，利用累加法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而可判斷；對(duì)于D，根據(jù)遞推公式求出，即可判斷.【詳解】解：對(duì)于A，設(shè)公比為，因?yàn)椋?，所以，故，所以，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則成等差數(shù)列，所以,即，解得，故B正確；對(duì)于C，由，當(dāng)時(shí)，得，，，，累加得，所以，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，根據(jù)雙鉤函數(shù)得性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，取得最小值為，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)椋?，則，，，，，，，，所以，故D正確.故選：BCD.12．已知函數(shù)，實(shí)數(shù)滿(mǎn)足不等式，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性結(jié)合不等式可得所滿(mǎn)足的關(guān)系式，再利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性以及特殊值法逐項(xiàng)判斷.【詳解】因?yàn)?，所以為奇函?shù)，因?yàn)?，所以上單調(diào)遞增，由，得，所以，即，，因?yàn)樵赗上是增函數(shù)，所以，故A正確；因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，所以，故C正確；因?yàn)樵赗上是增函數(shù)，所以，故D錯(cuò)誤；令，可驗(yàn)證B錯(cuò)誤.故選：AC三、填空題13．過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)作直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于兩點(diǎn)，如果，那么＝__________.【答案】12【分析】根據(jù)給定條件，求出拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程，再結(jié)合拋物線(xiàn)定義計(jì)算作答.【詳解】拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)為：，設(shè)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，由拋物線(xiàn)定義得：，所以.故答案為：14．函數(shù)過(guò)原點(diǎn)的切線(xiàn)方程是_______.【答案】.【分析】設(shè)切點(diǎn)為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)切點(diǎn)為的切線(xiàn)方程，再根據(jù)切線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)求出，即可得解.【詳解】解：設(shè)切點(diǎn)為，，則，故切點(diǎn)為的切線(xiàn)方程為，又因此切線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，所以，解得，所以函數(shù)過(guò)原點(diǎn)的切線(xiàn)方程是，即.故答案為：.15．設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則的值為_(kāi)_________.【答案】【分析】根據(jù)求出公差,又即可求解【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為,因?yàn)?所以所以，又故答案為：四、雙空題16．中國(guó)最早的化妝水是年在香港開(kāi)設(shè)的廣生行生產(chǎn)的花露水，其具有保濕、滋潤(rùn)、健康皮膚的功效.已知該化妝水容器由一個(gè)半球和一個(gè)圓柱組成（其中上半球是容器的蓋子，化妝水儲(chǔ)存在圓柱中），容器軸截面如圖所示，上部分是半圓形，中間區(qū)域是矩形，其外周長(zhǎng)為.則當(dāng)圓柱的底面半徑___________時(shí)，該容器的容積最大，最大值為_(kāi)__________.【答案】

【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為，圓柱的高為，根據(jù)已知條件可得出，根據(jù)柱體的體積公式可得，利用導(dǎo)數(shù)可求得的最大值及其對(duì)應(yīng)的的值，即為所求.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，圓柱的高為.則由題意可得，所以.由，得.故容器的容積，容易忽略上半球是容器的蓋子，化妝水儲(chǔ)存在圓柱中.，令，解得（舍）或.顯然當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)，.故答案為：；.五、解答題17．已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率為4，且在處取得極值.(1)求函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值.【答案】(1)；(2)11.【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合極值的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】(1)，由題意得即解得，，.所以，，令，得或.＋0－0＋↗2↘↗符合題意；(2)由（1）可知：，而，所以.18．已知數(shù)列中，，.(1)求，并證明為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由遞推公式化簡(jiǎn)，根據(jù)等比數(shù)列的定義證明（2）由分組求和法求解【詳解】(1)，，，故是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列．(2)由（1）得，即，19．已知函數(shù)f(x)＝ax－2lnx．(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)設(shè)函數(shù)g(x)＝x－2，若存在，使得f(x)≤g(x)，求a的取值范圍．【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）根據(jù)實(shí)數(shù)a的正負(fù)性，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)分類(lèi)討論求解即可；（2）利用常變量分離法，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】(1)當(dāng)a≤0時(shí)，在(0，＋∞)上恒成立；當(dāng)a＞0時(shí)，令得；令得；綜上：a≤0時(shí)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；a＞0時(shí)，f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；(2)由題意知ax－2lnx≤x－2在(0，＋∞)上有解則ax≤x－2＋2lnx，．令，xg'(x)＋0－g(x)↗極大值↘所以，因此有所以a的取值范圍為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：運(yùn)用常變量分離法利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.20．已知正項(xiàng)數(shù)列的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和滿(mǎn)足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）化簡(jiǎn)數(shù)列的遞推公式，得，進(jìn)而可求解數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用裂項(xiàng)法，求解，列出不等式，即求.【詳解】(1)當(dāng)時(shí)，，∴，即，又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，故，又由（），當(dāng)時(shí)，也適合，所以.(2)∵，∴，又∵對(duì)任意的，不等式恒成立，，∴，解得或.即所求實(shí)數(shù)的范圍是或.21．如圖，已知四邊形為菱形，對(duì)角線(xiàn)與相交于O，，平面平面直線(xiàn)，平面，（1）求證：；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【解析】（1）根據(jù)四邊形為菱形，得到，利用線(xiàn)面平行的判定定理得到平面，然后利用線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理證明.（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)、OA，OB，OF為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，取CD中點(diǎn)M，連EM，OM，分別求得平面一個(gè)法向量為，平面一個(gè)法向量為，然后由求解.【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以，平面，平面平面，因?yàn)槠矫嫫矫嬷本€(xiàn)平面，所以；（2）因?yàn)樗倪呅螢榱庑危?，因?yàn)槠矫妫砸設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)、OA，OB，OF為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，取CD中點(diǎn)M，連EM，OM，，，為正三角形，，，，從而，設(shè)平面一個(gè)法向量為，則，即，令，設(shè)平面一個(gè)法向量為，則，即，令，，因此二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個(gè)面所在平面的法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角．22．已知函數(shù).(1)求證：；(2)若函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，求a的取值范圍.【答案】(1)證明見(jiàn)解