任意性及存在性問題探究

函數(shù)中任意性和存在性問題研究2011-12-22高考中全稱命題和存在性命題與導數(shù)的結合是近來幾年高考的一大亮點，下面結合高考試題對此類問題進行歸納研究一、相關結論:結論1:X1[a,b],結論2:X1[a,b],結論1:X1[a,b],結論2:X1[a,b],結論3:X1[a,b],結論4:X1[a,b],結論5：x1[a,b],x2[c,d],f(x1)x2[c,d],f(x1)x2[c,d],f(x1)x2[c,d],f(x1)x2[c,d],f(x1)g(x2)[f(x)]ming(x2)[f(x)]maxg(x2)[f(x)]ming(x2)[f(x)]maxg(x2)[g(x)]max；【如圖一】[g(x)]min；【如圖二】[g(x)]min；【如圖三】[g(x)]max；【如圖四】f(x)的值域和g(x)的值域交集不為空;【如圖五】【例題1】：已知兩個函數(shù)f(x)8x216xk,g(x)2x35x24x,x[3,3],kR;⑴若對x[3,3],都有f(x)g(x)成立，求實數(shù)k的取值范圍;(2)若x[3,3],使得f(x)g(x)成立，求實數(shù)k的取值范圍;若對x1,x2[3,3],都有f(x])g(x2)成立，求實數(shù)k的取值范圍;解：(1)設h(x)g(x)f(x)2x33x212xk(,1)中的問題可轉變成：x[3,3]時，h(x)0恒成立，即[h(x)]min0。解：(1)設h(x)g(x)f(x)h'(x)6x26x126(x2)(x1)；當x變化時，h(x),h'(x)的變化情況列表以下:x-3(-3,-1)-1(-1,2)2(2,3)3h(x)+0—0+h(x)k-45增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)k-9

由于h(1)k7,h(2)k20,因此，由上表可知[h(x)]mink45，故k-45N0，得kN45,即k￡[45,+8).小結：①對于閉區(qū)間I,不等式f(x)<k對x￡I時恒成立[f(x)]max<k,x￡I;不等式f(x)>k對x￡I時恒成Af(x)]min>k,x￡I.②此題常有的錯誤解法：由[f(x)]maxW[g(x)]min解出k的取值范圍.這種解法的錯誤在于條件"[f(x)]maxW[g(x)]min”可是原題的充分不用要條件，不是充要條件，即不等價^(2)依照題意可知，(2)中的問題等價于h(x)=g(x)—f(x)N0在x￡[-3,3]時有解，故[h(x)]maxN0.由(1)可知[h(x)]max=k+7，因此k+7N0，即k￡[7,+8).小結：①對于閉區(qū)間I，不等式f(x)vk對x￡I時有解[f(x)]min<k,x￡I；不等式f(x)>k對x￡I時有解[f(x)]max>k,x￡I.②此題常有的錯誤解法：由[f(x)]minW[g(x)]min解出k的取值范圍.這種解法的錯誤在于條件"[f(x)]minW[g(x)]min”既不是是原題的充分要條件，也不是必要條件.[f(x)]max^[g(x)]min，乂￡[-3,3].吐[f(x)]max=120-k.[-3,3]時，[g(x)]min=—21.8).(3)依照題意可知，(3)中的問題等價于[f(x)]max^[g(x)]min，乂￡[-3,3].吐[f(x)]max=120-k.[-3,3]時，[g(x)]min=—21.8).說明：這里的x1,x2是兩個互不影響的獨立變量.從上面三個問題的解答過程可以看出，對于一個不等式必然要看清是對“還是“x”使之成立，同時還要看清不等式兩邊是同一個變量，還是兩個獨立的變量再依照不同樣的情況采用不同樣的等價條件，千萬不要無緣無故的去猜..【例題2】：(2010年山東理科22)已知函數(shù)f(X)Inxaxx”恒成立，，爾后1(aR);⑴當a一^時，談論f(x)的單調性;2)設g(x)x22bx4，當ar時，若對4x1(0,2)，x2[1,2],使f(X1)g(X)設g(x)x22bx4，當ar時，若對4x1(0,2)，x2[1,2],使f(X1)g(X2)，求實數(shù)b的取值范圍;解:(1)(解答過程略去，只給出結論)當f0時，函數(shù)f(x)在(0,1)上單調遞減a=時，函數(shù)可乂)在(0，+8)上單調遞減；當0vav一時，函數(shù)f(x)在(0,1)上單調遞減2上單調遞減；(2)函數(shù)的定義域為(a11—a++8)上單調遞加；當1在(1,1)上單調遞加，a在(1,)f(x)0，+8)，ax2x11a=時，由f(x)=0可得x]=1,x2=3.xx2\o"CurrentDocument"11由于a=—￡(0,一)，x2=3\o"CurrentDocument"42x2(0,2),結合1)可知函數(shù)f(x)^(0,1)上單調遞減，在(1,2)上單調遞加，因此f(x)在(0,2)上的最小值為f(1)=一.一2由于“對x1e(0,2)，x2e[1,2],使fg)Ng(x2)”等價于“g(x)在[1,2]上的最小值不大于f(x)在(0,2)上的最小值f⑴=一_”.3)2又g(x)=(x—b)2+4—b2,xe[1,2],因此當b<1時，由于[g(x)]min=g(1)=5—2b>0,此時與(淤)矛盾；當be[1,2]時，由于[g(x)]min=4—b2N0，同樣與(淤)矛盾；當be(2，+8、時，由于[g(xHn=g(2)=8—4b.解不等式8—4bW—_，可得bN_.2178綜上，b的取值范圍是[—，+8).8二、相關種類題：〈一〉、"af(x)”型；形如"af(x)”,"af(x)"型不等式，是恒成立問題中最基本的種類，它的理論基礎是"f(x)在上恒成立，則在e上恒成立，則TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"af(xmin(xD)；.例1：已知二次函數(shù)f(x)ax2x，若x[0,1]時，恒有If(x)I1，求實數(shù)a的取值范圍.\o"CurrentDocument"解：QIf(x)I1，.?.1ax2x1；即1xax21x；111111彩三a彩三，而(了瑚/，綜上得a的范圍是a2,2a0xR，都有"f111111彩三a彩三，而(了瑚/，綜上得a的范圍是a2,2a0xR，都有"f(x1)f(x)fE)"成\o"CurrentDocument"當0x時，由1xax21x得：11.a0.又LxL2,a[2,0]。〈二〉、"f(為)f(x)f(秘)”型例2已知函數(shù)f(x)2sin(_x—)，立，則Ix1x2I的最小值為.解..?對任意xeR，不等式f(x[)f(x)f(x2)恒成立，.??f(x]),f(x2)分別是f(x)的最小值和最大值.對于函數(shù)ysmx，獲取最大值和最小值的兩點之間最小距離是n，即半個周期又函數(shù)J)fx〈三〉、2sin(x_)的周期為4，二25Ix]xxf(x),,1.”f(12)f(x)2型\o"CurrentDocument"22的最小值為2.x2|0x1x2(2005湖北)在y2x,ylog22x,yxxf(x)1時，使"f(12)f，八2"2x2,ycosx這四個函數(shù)中，當解：此題實質就是察看函數(shù)的數(shù)，應是凸函數(shù)的性質，畫草圖即知)f(x1)2恒成立的函數(shù)的個數(shù)是()凸凹性，即滿足條件"f(12)2f(x1)2"的函2log22x吻合題意;〈四〉、.”")f(為)0"型

x1x2例4已知函數(shù)f(x)定義域為［1,1］，1，若m,n[1,1]時，都有"f(m)f(n)0"若f(x)t22at1對所有x［1,1]1,1］恒成立，求實數(shù)t解：任取x1x21，則f(x1)f(x2)fCM2x1x2f(少(x1x2)，f(X1)f(X2)又x1x20，..?f(X1)f(x2)0f，即f(x)在［1,1］上為增函數(shù).x1x2?.?f(1)1，.?.x[1,1]，恒有f(x)1；.?.要使f(x)t22at1對所有x[1,1]，a[1,1］恒成立，即要t22at11恒成立，故t22at0恒成立，令g(a)2att2，只須g(1)0且g(1)0解得t評注:形如不等式”f(x1)f(x2)x1x20”或"—)0"恒成立，實際上是函x1x2數(shù)的單調性的另一種表現(xiàn)形式，在解題時要注意此各種類不等式所蘊涵的重要信息〈五〉、.”f(x)g(x)"型：例5:已知f(x)__ig(x1)，g(x)2恒成立，求實數(shù)t的取值范圍.lg(2xt)，若當x[0,1]時f(x)g(x))解：f(x)g(x)在x[0,1]恒成立，即..x12xt0在x[0,1]■x12xt在[0,1]上的最大值小于或等于零._1廠2xt，F(xiàn)'(x)14x，Vx[0,1]2—1令F(x).x???F'(x)0，???f(x)F(0)〈六〉、1t0，即t即F(x)在[0,1]上單調遞減，F(xiàn)(0)是最大值."f(x)g(x2)"型例6：已知函數(shù)f(x)lx33x29x，若對任意2x1,x2[2,2]，都有f(xi)g(x2)，求C的范圍.解：由于對任意的X[,x2[2,2]都有f(xi)g(x2)成立，[f(x)kax[g(x)]min,Vf'(x)x22x3，令f'(x)03,xix>3或xV-1；f'(x)0得1x3；.??f(x)在[2,1]為增函數(shù)，在[1,2]18cVf(1)3,f(2)6，二[f(x)]max3,..?.3，二c〈七〉、"If(x1)f(乂2)It”(t為常數(shù))型;例7：已知函數(shù)f(x)x42x3，則對任意t1,t2,2](t1t2)都有If(x1)f(x2)I恒成立當且僅當t1=，解：由于If(田)由f(x)[f(x)]minf(D2例8：已知函數(shù)f(x2)II[f(x)]jmax[f(x)]minI恒成立，x42x3,x[―,2]3，.??If(x1)f(秘)I2。16yf(x)滿足：⑴定義域為[1,1]；(2)方程f(x)0最少有兩個實根3易求得[f(x)Laxf')X2161和1；⑶過f(x)圖像上任意兩點的直線的斜率絕對值不大于1.⑴證明|f(0)|1|;(2)證明：對任意x1,x2[1,1]，都有If(Xi)f(x2)I證明（1）略；(2)由條件(2)知f(1)f(1)0，不如設1X1X21，由⑶知If(X1)f(X2)IIX1x2Ix2X1，又?..If(為)f(x)IIf(x1)IIf(x2)IIf(X1)f(1)IIf(X2)f(1)IX]11x22(X2X[)2If(x1)f(X2)I；???If(X1)f(x2)I1〈八〉、"If(X1)f(X2)IIX1X2I"型函數(shù)f(x)x3axb，對于X],X2(0,函數(shù)f(x)x3axb3If(x1)f(x2)IIX1X2I成立，求實數(shù)a的范圍.解