【人教A版】2021-2022年高二數(shù)學(xué)A卷（解析版）

2021-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)（文）第二次《最新試題?月考卷》

人教A版?A卷

班級姓名分?jǐn)?shù)

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每個小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷

上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

4.考試范圍：選修1-1+1-2+4-4+4-5.

一、選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的）

1.若復(fù)數(shù)z的虛部小于0,9|=括，且z+1=4，則（）

A.l+3zB.2+zC.l+2zD.l-2z

【答案】C

【解析】由z+I=4，得z=2+mi（/neR）,因為|z|=J？+4=石,所以加=±1.

又z的虛部小于0,所以z=2—i,iz=l+2i.

2.設(shè)xGR,則“國＞3”是“2，＞8”的（）.

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】由國＞3,則1＜-3或x＞3,所以2、＞8或0＜2”＜：,故充分性不成立；

O

若2、＞8,則x＞3,所以|x|＞3,故必要性成立，

所以“|乂〉3”是“2、＞8”的必要不充分條件，

3.用反證法證明命題“設(shè)實數(shù)b、。滿足a+6+c=l,則“、b、c中至少有一個數(shù)不小于

3

時假設(shè)的內(nèi)容是（)

A.a、h>。都不小于一B.。、b、c都小于一

33

C.a、b、c至多有一個小于1D.a、b、c至多有兩個小于,

33

【答案】B

【解析】反證法證明命題時，要假設(shè)結(jié)論不成立.故用反證法證明命題“設(shè)實數(shù)。、b,。滿足

a+b+c^l,則b、C中至少有一個數(shù)不小于!”時的假設(shè)是“a、b、。都小丁

33

4.課堂上數(shù)學(xué)老師和同學(xué)們做游戲，隨機(jī)詢問甲、乙、丙、丁4位同學(xué)的作業(yè)完成情況，甲說：“丙

未完成作業(yè)或丁未完成作業(yè)”；乙說：“丁未完成作業(yè)”；丙說：“我完成作業(yè)了“；丁說：“我完成作業(yè)

了''.他們中恰有一個人說了謊話，請問：是誰說了謊話？（）

A.甲B.乙C.丙D.T

【答案】D

【解析】由乙說：“丁未完成作業(yè)，與丁說：“我完成作業(yè)了“，

則乙丁有一人說謊，

則甲丙說的真話，可知丙完成作業(yè)了，丁未完成作業(yè)，

進(jìn)而可以判斷丁說了假話.

5.已知命題p：VxGR,x+—>2；命題q：BxoG[0,—],使sinxo+cosxo=J5,則下列命題中為

x2

真命題的是（）

A.pV（「q）B.pA（「q）C.（->p）A（[q）D.

【答案】D

【解析】對于命題p：當(dāng)爛0時，x+，N2不成立，

x

命題P是假命題，則是真命題；

兀

對于命題<7：當(dāng)xo=一時，sinxo+cosxo=0,則g是真命題.

4

結(jié)合選項只有（「p）Ag是真命題.

6.已知一系列樣本點（七,％）"=1,2,3,…，“）的回歸直線方程為y=2x+a,若樣本點（尸,1）與（l,s）

的殘差相同，則有0

A.r=sB.s—2rC.s=—2r+3D.s=2r+l

【答案】C

【解析】樣本力（r,l）的殘差為2r+a-1,樣本點（l,s）的殘差為2+。一5,依題意

2r+。-1=2+。-s>故$=—2r+3，所以選C.

7.直線丫=履+。與曲線,=/+℃+9相切于點（3,0%則匕的值為（）.

A.-15B.-45C.15D.45

【答案】B

【解析】因為曲線y=V+ox+9過點（3,0）,所以0=33+3。+9,

所以。=一12,所以、=/一12%+9.

所以>'=3/一12,

所以曲線在點（3,0）處的切線斜率k=3x32-12=15.

因此，曲線在點（3,0）處的切線方程為y—0=15"-3）.

即y=15x-45,

所以b=T5.

8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的數(shù)S=3,那么判斷框內(nèi)可以填寫的是（）

A.kN6?B.k<61C.kN7?D.kW7?

【答案】C

【解析】初始S=0,加=2,Z=1,第一次運(yùn)行5=2,相=」,&=2不輸出，

2

第二次運(yùn)行S=-.m=-l.k=3不輸出,

2

3

第三次運(yùn)行5=—,加=2,k=4不輸出，

2

71

笫四次運(yùn)行5=一,機(jī)=一,左=5不輸出，

22

第五次運(yùn)行S=4,加=-1,左=6不輸出，

第六次運(yùn)行S=3,加=2次=7,停止運(yùn)行輸出5=3.

所以判斷框要填A(yù)N7?.

9.已知P是拋物線：/=4x上一動點，則點尸到直線/：2x—y+3=0和y軸的距離之和的最小值

是（）

A.73B.V5C.75-1D.2

【答案】C

【解析】由題拋物線焦點為尸。,0），準(zhǔn)線方程為x=—l，如圖，點P到直線/距離為|P4|,根據(jù)

拋物線定義P到y(tǒng)軸距離等于|尸耳t,所以尸到直線/距離和y軸距離之和等于|P4|+1P同—1,

由「IN|A尸|一1,所以當(dāng)P,A,F三點共線時，距離最小，即|EB|,經(jīng)計算點尸到直

線/的距離石，所以最小距離為6-1，故選擇C.

圍是()

A.1,亭B.［乎,+00C.(1,V5］D.［技+8)

【答案】D

【解析】因為女=、22,所以e=j+(2)>75.

11.已知P：函數(shù)y=ln(x2—ox+l)的定義域為R,q：e*>ax對任意實數(shù)x恒成立，若真,

則實數(shù)。的取值范圍是()

A.[0,2)B.[2,e)C.(―2,e)D.[(),e)

【答案】A

【解析】由于命題，人4為真命題，則命題"、4均為真命題.

若命題〃為真命題，則△=。2—4<0，解得-2vav2.

若命題9為真命題，構(gòu)造函數(shù)4%)=/-幺，則/()而>0,旦r(x)=e'-a.

(1)當(dāng)。<0時，/'(x)>0對任意的xeR恒成立，此時，函數(shù)y=/(x)單調(diào)遞增，

且當(dāng)》->-00時-，/(X)—一8,不合乎題意；

(2)當(dāng)a=0時，/(%)=">0恒成立；

(3)當(dāng)a>0時，令/'(x)=e"—。=0,得x=lna.

當(dāng)x<Ina時，fr(x)<0,當(dāng)x>Ina時，/,(x)>0.

lna

.,./(x)min-f(lna)-e-alna=a-alna=a(l-ina)>0,即l-lna>0，解得0<a<e.

所以，當(dāng)命題4為真命題時，0Wa<e.

因此，實數(shù)。的取值范圍是[0,2).

12.己知函數(shù),f(x)=x(lnx-依)有且僅有一個極值點，則實數(shù)。的取值范圍是()

I一1

A.a=—B.a<0C.。<0或。=—D.avO

22

【答案】B

【解析】?.,/(x)=x(lnx-6zx).xe(0,+oo),

=lnx—2ax+l,

函數(shù)〃x)=x(lnx-依)有且僅有一個極值點，

二.Inx—2G:+1=0在xw（0,+8）上只有一個根,

即In元+1=2方只有一個正根，

即電立1=2。只有一個正根，

X

人lnx+1

令y二------，

x

—Inx

則由y'=「一=0可得x=l,

獷

當(dāng)o<x<i時，y>o,當(dāng)1<%時，y<0,

故>=生土土1在（0,1）上遞增，在（1,卡切遞減，

X

當(dāng)x=l時，函數(shù)的極大值也是函數(shù)的最大值為1,

XG（l,+0O）時，y=Ex+1>0,

X

當(dāng)xfo時，

所以當(dāng)2a=l或2a<0時，

y=2。與丁=①比圖象只有一個交點，

x

即方程里四=2。只有一個根，

X

故或々<0,

2

當(dāng)時，/'（x）=lnx-x+l=O,可得x=l,且f（x）<0,

x=l不是函數(shù)極值點，故舍去.

所以。工0

二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

13.命題“玉>0,2%—1<0.”的否定是.

【答案】Vx>0,2x-l>0

【解析】命題為特稱命題，則命題的否定為“Vx>0，2x-l>0'\

|Q

14.曲線y=在p（2,§）點處的切線方程為.

【答案】12x—3y—16=0

【解析】曲線y=

所以>'=/

Q

點P(2,1)在曲線上，所以々=2?=4

Q

所以由點斜式可得y-|=4(x-2)

化簡可得12x—3y—16=0

22

xy

15.設(shè)雙曲線二的半焦距為c,直線/過(〃，0),(0,b)兩點，已知原點到

CT

直線/的距離為立C，則雙曲線的離心率為一;漸近線方程為.

4

【答案】2y=±6x

【解析】由題可設(shè)直線/方程為：二+==1，^bx-ay-ab^O,則原點到直線的距離

ab

d=,''=—=-^-c,解得4az?=Ke?，兩式同時平方可得16a為2=3/,乂萬!=。2一片,

c4、

代換可得16。202一。2)=3。4,展開得：16a2c2—16/=2,4，同時除以/得：16e?-16=3e4，

整理得(302一4)卜2-4)=0,解得或4,又匕〉a〉0,所以

b2>a2=^>c2-a2>a2^>c2>2a2=e?>2，所以e?=4,e=￡=2；

a

2=Jc-2=5所以漸近線方程為：y^±-x=±^3x

aaaa

16.定義域為R的偶函數(shù)/(x)滿足〃l+x)+/(l-x)=O,當(dāng)xe[(M)時，〃x)=si喙，給

出下列四個結(jié)論：

①|(zhì)小)|<1;

②若/(5)+/(%)=(),則為+工2=0;

③函數(shù)/(%)在(0,4)內(nèi)有且僅有3個零點；

其中，正確結(jié)論的序號是.

【答案】①③

【解析】由/(l+x)+〃l—力=0得函數(shù)"》)關(guān)于點(1,0)中心對稱,

又/(1+X)=-/(1-x),：.f(x+2)=-/(-x),

為R上的偶函數(shù)，=,

.-./(x+2)=-/(x),/(x+4)=-/(x+2)=/(x),

.../(x)的周期為4,

當(dāng)x=0時，/(1+0)+/(1_。)=()得/(l)=0，

又當(dāng)xe[O,l)時，/(x)=siny,所以函數(shù)圖象如圖:

由圖知，-1</（X）<1,.,.|/（^）|<1,故①正確；

又/（1）+/（2）=0,從而可知②不正確；

當(dāng)xw（O,4）時，/（1）=/（2）=/（3）=0,故③正確.

三、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.（本小題滿分12分）

2

己知：/?:Vxe/?,2x>mG+1）,q:3xoeR,+2x0-m-1=0,

（1）若q是真命題，求實數(shù)〃?的取值范圍；

（2）若〃△（［4）為真命題，求實數(shù)，〃的取值范圍.

【解析】（1）因為4：%）eR,X：+2%一加一1=0為真命題，

所以方程￡+2%一〃-I=。有實根，

所以判別式八=4+4（機(jī)+1）20,

所以實數(shù)，〃的取值范圍為m>-2.

(2)2x>m(^x2+1)可化為/n——2x+fn<0，

若〃：VxwR,2%>m(工2+])為真命題，

則me—2x+mv0對任意的xeR恒成立,

當(dāng)機(jī)=0時，不等式可化為—2x<0,顯然不恒成立;

m<0

當(dāng)加。0時，有〈/.m<—1,

4-4m2<0

ili(1)知，若r為真命題，則加<一2,

又〃A(-I4)為真，故〃、r均為真命題，

m<-1

所以實數(shù)用需滿足《…解得相<一2,

m<-2

所以實數(shù)廢的取值范圍為加<一2.

18.(本小題滿分12分)

2+4/

已知復(fù)數(shù)2=。+初(〃/￡/?),若存在實數(shù)乙使彳=-------3。，成立.

t

(1)求證：2a+b定值；

(2)若|z—2|<5,求|z|的取值范圍.

2+4i

【解析】(1),??復(fù)數(shù)z=Q+〃(a/￡R),且存在實數(shù)"吏"一次=-------3成i成立,

t

：.ta—thi=2+(4-3a/)i,

*0?tci—2,—tb=4-—3。廣，

24

，一匕?一二4一3。?一^,

aa

：.-2b=4a-12,

A2a+b=6,即2。+〃為定值.

(2)由(1)有〃=6—2a

'/z=a+bi(a,beR),|z-2|<5

??J(a-2)~+(6—2a)~<5

，整理得5〃2—28Q+15<0

：.-<a<5

5

'**|z|=\/a2+b2=yja24-(6—2iz)2

??z=5a2-24。+36

=5(咤)j+電，九”5

I55

?苧忖<41

，|Z|的取值范圍為

19.(本小題滿分12分)

用分析法證明：當(dāng)x為時Jx-34-yJx-2>yJx-4+\jx-l

【解析】當(dāng)x24時：耍證Jx一3+>/%-2>Jx-4+Jx-l

只需證(Jx-3+Jx-2)->(>/x—4+Jx-1『

需證x-3+2yl(x—3)(十一2)+x-2>x-4+2J(x-4)(%-1)+x-1

即證y/(x-3)(x-2)>-J(x-4)(x-l)，只需證x2-5x+6>x2-5x+4

即證,6〉4顯然上式成立，所以原不等式成立，即：J二一J有A二4一五與

20.(本小題滿分12分)

22

如圖，橢圓C:工+匕=1的右焦點為F,過點尸的直線/與橢圓交于A，5兩點，直線〃:無=4與

43

x軸相交于點E,點M在直線〃上，且滿足BM//X軸.

(1)當(dāng)直線/與x軸垂直時，求直線AM的方程;

(2)證明：直線AM經(jīng)過線段EF的中點.

【解析】(1)由c=14一3=1，二/(1,0)，,??直線/與％軸垂直，；.x=l，

（2）設(shè)直線/的方程為％=沖+1,

r22

土r+匕=]

由彳43得3（陽+iy+4y2=12,

x=my+1

（3m2+4）y24-6m>,—9=0.

設(shè)A（x”x）,,則要必=公W,,

jm+45m+4

??,￡7?的中點'住,01,點“（4,必），

...福=（x「|,y?!，%）,兩=（”2）,

3)3-9m3-6m

叫一石尸%一尹=町％一|(乂+%)=---------x-------=0.

3m之+423m2+4

所以A，N,M三點共線,

所以直線AM經(jīng)過線段EF的中點.

21.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)/(x)=mlnx+/u在x處有極值-ln3-l.

(1)求/(x)的解析式；

(2)若關(guān)于x的不等式(%一8)%―i恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

/ZZ

【解析】(1)f(x)=m\nx+nx,=——\-n,

因為函數(shù)y=/(x)在x處有極值-M3-1,

得/(g)=3m+〃=0,=wln|+|n=-ln3-l,解得加=1,〃=一3，

所以/(x)=Inx-3x；

(2)不等式2/(x)W6ix~+(2a—8)x—1恒成立，

即不等式2/(x)-［加+(2。一8)》一1］〈0恒成立，

則不等式g(x)<0對任意的xe(O,??)恒成立，則8口入穌4()?

8，(》)=2_2辦+2-2”-2潑+(2-2辦+2=小四)(上)

XXX

又：函數(shù)y=g(x)的定義域為(0,+8).

①當(dāng)°40時，對任意的%>0,g'(x)>0,則函數(shù)y=g(x)在(0,+。)上單調(diào)遞增.

又g⑴=3(l-a)>0,所以不等式2/(兀卜0?+(0一8)%-1不恒成立；

②當(dāng)a>0時，“、可尤-加+1)

g(%)=---------------

令g'(x)=0,得x=L當(dāng)時，gf(x)>0；當(dāng)>寸，g'(x)<0.

因此，函數(shù)y=g(x)在(0,［)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

(1A1(1A1

故函數(shù)y=g(x)的最大值為g-=-21n〃+--1,由題意得需g-=-21n?+--l<0.

\a)a\aJa

令〃(a)=-21na+'-l,?.?函數(shù)y=〃(a)在(0,+a?)上單調(diào)遞減，

又「〃(。二。，由〃(a)<0,得〃(a)4〃(l),.?.aZl,

因此，實數(shù)。的取值范圍是［1,+8）；

請考生在第22、23兩題中任選一題作答.注意：只能做所選定的題目.如果多做，則按所做的第一

個題目計分.

22.（本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

x=2/+1

已知平面直角坐標(biāo)系中，曲線G的參數(shù)方程為，21(，為參數(shù)，teR),以原點。為

y=2t2+2t+-

2

極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為夕=2sin8,（0<6><2^-）.

（i）求曲線G的極坐標(biāo)方程；

（2）射線/的極方程為e=a（0WaW%,QZ0）,若射線/與曲線G，G分別交于異于原點的A3

兩點，且|。4|=4|0用，求a的值.