高等數(shù)學(xué)第五章向量代數(shù)與空間解析幾何

第章向代與間析何數(shù)一§．1向代一空直坐系從空間某定點(diǎn)O作三條互相垂直的數(shù)軸，都以O(shè)為點(diǎn)，有相同的長(zhǎng)度單位，分別稱為軸，軸軸，符合右手法則，這樣就建立了空間直角坐標(biāo)系，稱O為標(biāo)原點(diǎn)。．點(diǎn)距設(shè)點(diǎn)

Mz1

1

M

2

y,z2

2

為空間兩點(diǎn)，則這兩點(diǎn)間的距離可以表示為M2

1

1

．點(diǎn)式設(shè)

My,111

2

y,z2

2

聯(lián)線的中點(diǎn)，則

yy1,12,

2二向的念．量既有大小又有方向的量稱為向量。方向是一個(gè)幾何性質(zhì)，它反映在兩點(diǎn)之間從一點(diǎn)到另一點(diǎn)的序關(guān)系，而兩點(diǎn)間又有一個(gè)距離。常用有向線段

表示向量。

A

點(diǎn)叫起點(diǎn)，

B

點(diǎn)叫終點(diǎn)，向量

的長(zhǎng)度叫做模，記為

AB

。模為

的向量稱為單位向量。．量坐表若將向量的始點(diǎn)放在坐標(biāo)原點(diǎn)，其終點(diǎn)M，且點(diǎn)在給定坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為

坐軸正向?yàn)榉较虻膯挝幌蛄恳来斡洖?/p>

i,jk

，則向量

OM

可以表示為

OMxiyj稱之為向量的標(biāo)表達(dá)式，也可以表示為

OM

稱

xi,

分別為向量

OM

在

軸，

y

軸，

軸上的分量稱

,z

分別為向量

OM

在

軸，

y

軸，

軸上的投影。記

OM

與

軸、

y

軸、

軸正向的夾角分別為

，則

y

22

z22方向余弦間滿足關(guān)系

2

2

描述了向量

OM

的方向，常稱它們?yōu)橄蛄康姆较蚪恰?/p>

OM

的?？梢员硎緸?/p>

OM

x2y2與向量

OMz

同方向的單位向量可以表示為

1OM

OM

。與向量

OM

平行的單位向量可以表示為

babbbabb1

OM

。向

a

同方向上的單位向量常記為

a

。OM三向的算aaijaka1

3

bijkb12313

cij,c131

3

．加法。

a,12233

減法。

a,,1223

．?dāng)?shù)乘。

1

2

3

是常數(shù)）

向量的加、減和數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱線性運(yùn)算。．?dāng)?shù)量積。

a

bbb其12

為向量

b

間夾角

為數(shù)量也稱點(diǎn)乘。表向a在量上投，即

a

j．向量積

也稱為叉乘。

sini

j

的方向按右手法則垂直于,b所平面，且

11

22

33

是向量，

。

a

等于以

,b

為鄰邊的平行四邊形的面積。．混合積：定義

c

，坐標(biāo)公式

c11

222

333幾何意義

c

表示以

a,,c

為棱的平行大面體的體積。四兩量的系設(shè)

a,b12

關(guān)系

向量表示

向量坐標(biāo)表示,b

間夾角

cos

aa

abbb1233a2b2232a與b垂直與b平

a

ab0112aa13b1§5．2平與線一空解幾．空間解析幾何研究的基本問(wèn)題（1）知曲面（線）作為點(diǎn)的幾何軌跡，建立這曲面（線）的方程。

（2）知坐標(biāo)

x,

和z

間的一個(gè)方程（組究這方（組）所表示的曲面（線．距離公式空兩點(diǎn)

z1

1

y,2

2

間的距離

為d

1

1

1

．定比分點(diǎn)公式

M

AB

的分點(diǎn)：

AMMB

，點(diǎn)

A,B

的坐標(biāo)為

z11

y,2

則

y12,y2z1

2當(dāng)M為中點(diǎn)時(shí)，

xy12,,z

2二平及方．法（線）向量，法（線）方向數(shù)。與平面垂直的非零向量，稱為平面法量，通常記成n。向量于給定的平面它的法向量有無(wú)窮多個(gè)，但它所指的方向只有兩個(gè)。

p為法（線）方向數(shù)。對(duì)．點(diǎn)法式方程已平面

過(guò)

,z0

0

量

n

的方程為A00

0

或

其中

r,0

．一般式方程

AxCz0其中

ABC不為零。x,z

前的系數(shù)表示的法線方向數(shù)，

n量。特別情形：AxByCz0

，表示通過(guò)原點(diǎn)的平面。Ax0平行于z軸平。Ax

，平行

yOz

平面的平面。x0

表示

yOz

平面。．三點(diǎn)式方程設(shè)

zy,111

2

33

3

三點(diǎn)不在一條直線上，則通過(guò)

,BC

的平面方程為1213．平面束

1213

z1z2z31設(shè)直線

L

的一般式方程為

AxByD1AxByD

，則通過(guò)

L

的所有平面方程為yzBy12

，其中

1

2

．有關(guān)平面的問(wèn)題兩平面為

12

:xyzD0111:xyzD22與間夾角垂直條件平行條件重合條件

C21222221122C212ABC11ABCD2CD111CD22設(shè)平面方為ByD，而點(diǎn)My,1AxCz11d222三直及方．方向向量、方向數(shù)

1

一，則M到面的離d：與直線平行的非零向量

，稱為直線

L

的方向向量，方向向量的坐標(biāo)稱為方向數(shù)。．直線的標(biāo)準(zhǔn)方程（對(duì)稱式方程x0lm

0

其中

y,00

點(diǎn)

l,n

為直線的方向數(shù)。．參數(shù)式方程

00znt0sn．兩點(diǎn)式

為參變量。設(shè)

z,1

2

為不同的兩點(diǎn)，則通過(guò)A和B直線方程為xyz111xy212．一般式方程（作為兩平面的交線

AxByD011AxByD022

，方向向量

SB,C11122

．有關(guān)直線的問(wèn)題兩直線為:1

xyz111lmn1

:2

xyz222l22L與L間角

llmmn2l222l2112垂直條件平行條件四平與線互系

llm02112lmn11l22平面方為：直線L的程為：

Byx0lm

0L與夾角（

AlCn22l2LLL

與與與

垂直條件平行條件重合條件

lnBmCn0BmCn0L上一點(diǎn)在上§．3曲與間線一曲方．般程F,．?dāng)?shù)程

yz

（平面區(qū)域）二空曲方．般程

,,

．?dāng)?shù)程

z

三常的面程

．面程設(shè)

Pz00

0

是球心，

是半徑，

,z

是球面上任意一點(diǎn)，則

PP

，即

0

0

0

2．轉(zhuǎn)面方（1）設(shè)

L

是

xOz

平面上一條曲線，其方程是

fy

L

繞z

軸旋轉(zhuǎn)得到旋轉(zhuǎn)曲面，設(shè)

,

是旋轉(zhuǎn)面上任一點(diǎn)，由點(diǎn)

Pz0

0

點(diǎn)

Mz

由

xMP

x