數(shù)學(xué)建模第二次課程市公開課金獎(jiǎng)市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

數(shù)學(xué)建模第二次課程目的：簡(jiǎn)介一些簡(jiǎn)樸數(shù)學(xué)建模問題；簡(jiǎn)介數(shù)學(xué)建模普通思想和思緒；簡(jiǎn)介簡(jiǎn)樸初等數(shù)學(xué)模型；增長(zhǎng)大家對(duì)數(shù)學(xué)建模興趣；為此后參與數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽打下良好基礎(chǔ)；第1頁第1頁初等模型簡(jiǎn)介2.1公平席位分派2.2錄像機(jī)計(jì)數(shù)器用途2.3雙層玻璃窗功效2.4汽車剎車距離2.5劃艇比賽成績(jī)第2頁第2頁2.1公平席位分派系別學(xué)生百分比20席分派人數(shù)（%）百分比結(jié)果甲10351.5乙6331.5丙3417.0總和200100.020.02021席分派百分比結(jié)果10.8156.6153.57021.00021問題三個(gè)系學(xué)生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表會(huì)議共20席，按百分比分派，三個(gè)系分別為10，6，4席?，F(xiàn)因?qū)W生轉(zhuǎn)系，三系人數(shù)為103,63,34,問20席如何分派。若增長(zhǎng)為21席，又如何分派。百分比加慣例對(duì)丙系公平嗎系別學(xué)生百分比20席分派人數(shù)（%）百分比結(jié)果甲10351.510.3乙6331.56.3丙3417.03.4總和200100.020.020系別學(xué)生百分比20席分派人數(shù)（%）百分比結(jié)果甲10351.510.310乙6331.56.36丙3417.03.44總和200100.020.02021席分派百分比結(jié)果10.815116.61573.570321.00021第3頁第3頁“公平”分派辦法衡量公平分派數(shù)量指標(biāo)人數(shù)席位A方p1

n1B方p2n2當(dāng)p1/n1=p2/n2

時(shí)，分派公平

p1/n1–p2/n2~對(duì)A絕對(duì)不公平度p1=150,n1=10,p1/n1=15p2=100,n2=10,p2/n2=10p1=1050,n1=10,p1/n1=105p2=1000,n2=10,p2/n2=100p1/n1–p2/n2=5但后者對(duì)A不公平程度已大大減少!雖兩者絕對(duì)不公平度相同若p1/n1>p2/n2，對(duì)不公平A

p1/n1–p2/n2=5第4頁第4頁公平分派方案應(yīng)使rA,rB盡也許小設(shè)A,B已分別有n1,n2席，若增長(zhǎng)1席，問應(yīng)分給A,還是B不妨設(shè)分派開始時(shí)p1/n1>p2/n2，即對(duì)A不公平~對(duì)A相對(duì)不公平度將絕對(duì)度量改為相對(duì)度量類似地定義rB(n1,n2)將一次性席位分派轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)席位分派,即“公平”分派辦法若p1/n1>p2/n2，定義第5頁第5頁1）若p1/(n1+1)>p2/n2，則這席應(yīng)給A2）若p1/(n1+1)<p2/n2，3）若p1/n1>p2/(n2+1)，應(yīng)計(jì)算rB(n1+1,n2)應(yīng)計(jì)算rA(n1,n2+1)若rB(n1+1,n2)<rA(n1,n2+1),則這席應(yīng)給應(yīng)討論下列幾種情況初始p1/n1>p2/n2

問：p1/n1<p2/(n2+1)

是否會(huì)出現(xiàn)？A否!若rB(n1+1,n2)>rA(n1,n2+1),則這席應(yīng)給B第6頁第6頁當(dāng)rB(n1+1,n2)<rA(n1,n2+1),該席給ArA,rB定義該席給A不然,該席給B定義該席給Q值較大一方推廣到m方分派席位該席給Q值最大一方Q

值辦法計(jì)算，第7頁第7頁三系用Q值辦法重新分派21個(gè)席位按人數(shù)百分比整數(shù)部分已將19席分派完畢甲系：p1=103,n1=10乙系：p2=63,n2=6丙系：p3=34,n3=3用Q值辦法分派第20席和第21席第20席第21席同上Q3最大，第21席給丙系甲系11席，乙系6席，丙系4席Q值辦法分派結(jié)果Q1最大，第20席給甲系第8頁第8頁問題在一次使用中錄像帶已經(jīng)轉(zhuǎn)過大半，計(jì)數(shù)器讀數(shù)為4450，問剩余一段還能否錄下1小時(shí)節(jié)目？要求不但回答問題，并且建立計(jì)數(shù)器讀數(shù)與錄像帶轉(zhuǎn)過時(shí)間關(guān)系。思考計(jì)數(shù)器讀數(shù)是均勻增長(zhǎng)嗎？2.2

錄像機(jī)計(jì)數(shù)器用途經(jīng)試驗(yàn)，一盤標(biāo)明180分鐘錄像帶從頭走到尾，時(shí)間用了184分，計(jì)數(shù)器讀數(shù)從0000變到6061。第9頁第9頁錄像機(jī)計(jì)數(shù)器工作原理積極輪壓輪0000左輪盤右輪盤磁頭計(jì)數(shù)器錄像帶錄像帶運(yùn)動(dòng)方向錄像帶運(yùn)動(dòng)右輪盤半徑增大右輪變慢錄像帶運(yùn)動(dòng)速度是常數(shù)計(jì)數(shù)器讀數(shù)增長(zhǎng)變慢問題分析觀測(cè)計(jì)數(shù)器讀數(shù)增長(zhǎng)越來越慢！第10頁第10頁模型假設(shè)

錄像帶運(yùn)動(dòng)速度是常數(shù)

v；

計(jì)數(shù)器讀數(shù)

n與右輪轉(zhuǎn)數(shù)

m成正比，記

m=kn；

錄像帶厚度（加兩圈間空隙）為常數(shù)

w；

空右輪盤半徑記作r

；

時(shí)間

t=0時(shí)讀數(shù)n=0.建模目建立時(shí)間t與讀數(shù)n之間關(guān)系（設(shè)v,k,w,r為已知參數(shù)）第11頁第11頁模型建立建立t與n函數(shù)關(guān)系有各種辦法1.右輪盤轉(zhuǎn)第

i圈半徑為r+wi,

m圈總長(zhǎng)度等于錄像帶在時(shí)間t內(nèi)移動(dòng)長(zhǎng)度vt,因此第12頁第12頁2.考察右輪盤面積改變，等于錄像帶厚度乘以轉(zhuǎn)過長(zhǎng)度，即3.考察t到t+dt錄像帶在右輪盤纏繞長(zhǎng)度，有模型建立第13頁第13頁思考3種建模辦法得到同一結(jié)果但仔細(xì)推算會(huì)發(fā)覺稍有差別，請(qǐng)解釋。模型中有待定參數(shù)一個(gè)擬定參數(shù)辦法是測(cè)量或調(diào)查，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)測(cè)量辦法。思考第14頁第14頁參數(shù)預(yù)計(jì)另一個(gè)擬定參數(shù)辦法——測(cè)試分析將模型改記作只需預(yù)計(jì)a,b理論上，已知t=184,n=6061,再有一組(t,n)數(shù)據(jù)即可事實(shí)上，由于測(cè)試有誤差，最好用足夠多數(shù)據(jù)作擬合既有一批測(cè)試數(shù)據(jù)：

t020406080n0000114127603413

t

100120140160184n40044545505155256061最小二乘法(大家編程序?qū)崿F(xiàn))第15頁第15頁程序t=[020406080100120140160184];n=[000011412760341340044545505155256061];R=[(n.^2)'n'];A=R\t'第16頁第16頁模型檢驗(yàn)應(yīng)當(dāng)另外測(cè)試一批數(shù)據(jù)檢查模型：模型應(yīng)用回答提出問題：由模型算得n=4450時(shí)t=116.4分，剩余錄像帶能錄184-116.4=67.6分鐘節(jié)目。揭示了“t與n之間呈二次函數(shù)關(guān)系”這一普遍規(guī)律，當(dāng)錄像帶狀態(tài)改變時(shí)，只需重新預(yù)計(jì)a,b即可。第17頁第17頁2d墻室內(nèi)T1室外T2dd墻l室內(nèi)T1室外T2問題雙層玻璃窗與同樣多材料單層玻璃窗相比，減少多少熱量損失假設(shè)熱量傳播只有傳導(dǎo)，沒有對(duì)流T1,T2不變，熱傳導(dǎo)過程處于穩(wěn)態(tài)材料均勻，熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù)建模熱傳導(dǎo)定律Q1Q2Q~單位時(shí)間單位面積傳導(dǎo)熱量T~溫差,d~材料厚度,k~熱傳導(dǎo)系數(shù)2.3雙層玻璃窗功效第18頁第18頁dd墻l室內(nèi)T1室外T2Q1TaTb記雙層玻璃窗傳導(dǎo)熱量Q1Ta~內(nèi)層玻璃外側(cè)溫度Tb~外層玻璃內(nèi)側(cè)溫度k1~玻璃熱傳導(dǎo)系數(shù)k2~空氣熱傳導(dǎo)系數(shù)建模第19頁第19頁記單層玻璃窗傳導(dǎo)熱量Q22d墻室內(nèi)T1室外T2Q2雙層與單層窗傳導(dǎo)熱量之比k1=410-3~810-3,k2=2.510-4,

k1/k2=16~32對(duì)Q1比Q2減少許作最保守預(yù)計(jì)，取k1/k2=16建模第20頁第20頁hQ1/Q24200.060.030.026模型應(yīng)用取h=l/d=4,則Q1/Q2=0.03即雙層玻璃窗與同樣多材料單層玻璃窗相比，可減少97%熱量損失。結(jié)果分析Q1/Q2因此如此小，是由于層間空氣極低熱傳導(dǎo)系數(shù)k2,而這要求空氣非常干燥、不流通。房間通過天花板、墻壁……損失熱量更多。雙層窗功效不會(huì)如此之大大家畫出圖形第21頁第21頁2.4

汽車剎車距離美國(guó)一些司機(jī)培訓(xùn)課程中駕駛規(guī)則：背景與問題正常駕駛條件下,車速每增10英里/小時(shí)，后面與前車距離應(yīng)增一個(gè)車身長(zhǎng)度。實(shí)現(xiàn)這個(gè)規(guī)則簡(jiǎn)便辦法是“2秒準(zhǔn)則”：后車司機(jī)從前車通過某一標(biāo)志開始默數(shù)2秒鐘后到達(dá)同一標(biāo)志，而無論車速如何判斷“2秒準(zhǔn)則”與“車身”規(guī)則是否同樣；建立數(shù)學(xué)模型，尋求更加好駕駛規(guī)則。第22頁第22頁問題分析常識(shí)：剎車距離與車速相關(guān)10英里/小時(shí)(16公里/小時(shí))車速下2秒鐘行駛29英尺(9米)>>車身平均長(zhǎng)度15英尺(=4.6米)“2秒準(zhǔn)則”與“10英里/小時(shí)加一車身”規(guī)則不同剎車距離反應(yīng)時(shí)間司機(jī)情況制動(dòng)系統(tǒng)靈活性制動(dòng)器作用力、車重、車速、道路、氣候……最大制動(dòng)力與車質(zhì)量成正比，使汽車作勻減速運(yùn)動(dòng)。車速常數(shù)反應(yīng)距離制動(dòng)距離常數(shù)第23頁第23頁假設(shè)與建模1.剎車距離d等于反應(yīng)距離d1與制動(dòng)距離d2之和2.反應(yīng)距離d1與車速v成正比3.剎車時(shí)使用最大制動(dòng)力F，F(xiàn)作功等于汽車動(dòng)能改變;Fd2=mv2/2F

mt1為反應(yīng)時(shí)間且F與車質(zhì)量m成正比第24頁第24頁反應(yīng)時(shí)間t1經(jīng)驗(yàn)預(yù)計(jì)值為0.75秒?yún)?shù)預(yù)計(jì)利用交通部門提供一組實(shí)際數(shù)據(jù)擬合k模型最小二乘法k=0.06計(jì)算剎車距離、剎車時(shí)間車速(英里/小時(shí))(英尺/秒)實(shí)際剎車距離（英尺）計(jì)算剎車距離（英尺）剎車時(shí)間（秒）2029.342（44）39.01.53044.073.5（78）76.61.84058.7116（124）126.22.15073.3173（186）187.82.56088.0248（268）261.43.070102.7343（372）347.13.680117.3464（506）444.84.3第25頁第25頁“2秒準(zhǔn)則”應(yīng)修正為“t秒準(zhǔn)則”模型車速(英里/小時(shí))剎車時(shí)間（秒）201.5301.8402.1502.5603.0703.6804.3車速（英里/小時(shí)）0~1010~4040~6060~80t（秒）1234第26頁第26頁2.5劃艇比賽成績(jī)賽艇米成績(jī)t(分)種類1234平均單人7.167.257.287.177.21雙人6.876.926.956.776.88四人6.336.426.486.136.32八人5.875.925.825.735.84艇長(zhǎng)l

艇寬b(米)(米)l/b7.930.29327.09.760.35627.411.750.57421.018.280.61030.0空艇重w0(kg)

漿手?jǐn)?shù)n

16.313.618.114.7對(duì)四種賽艇（單人、雙人、四人、八人）4次國(guó)際大賽冠軍成績(jī)進(jìn)行比較，發(fā)覺與漿手?jǐn)?shù)有某種關(guān)系。試建立數(shù)學(xué)模型揭示這種關(guān)系。問題準(zhǔn)備調(diào)查賽艇尺寸和重量l/b,w0/n

基本不變第27頁第27頁問題分析邁進(jìn)阻力~浸沒部