初中數(shù)學(xué)-四邊形（二）

初中數(shù)學(xué)要掌握各種特殊四邊形的概念、性質(zhì)和判定定理，知道這些圖形之間的聯(lián)系與區(qū)別，并能運(yùn)用有關(guān)知識進(jìn)行證明和計(jì)算．判斷題：1）兩條對角線相等且互相垂直的四邊形是矩形.()2）兩條對角線互相垂直平分的四邊形是菱形.()3）兩條對角線互相垂直的矩形是正方形.()4）兩條對角線相等的菱形是正方形.()5）兩條對角線垂直且相等的平行四邊形是正方形.()√╳√√√如圖，以△ABC的三邊為邊在BC的同一側(cè)分別作三個(gè)等邊三角形，即△ABD、△BCE、△ACF.請回答下列問題（不要求證明）（1）四邊形ADEF是什么四邊形？（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADEF是矩形？（3）當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADEF是菱形？(4)當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADEF是正方形？

(5)當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，以A、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形不存在？（1）四邊形ADEF是平行四邊形；（2）當(dāng)△ABC滿足∠BAC=150o時(shí)，四邊形ADEF是矩形；（3）當(dāng)△ABC滿足AB=AC,且∠BAC≠60o時(shí)，四邊形ADEF是菱形；（4）當(dāng)△ABC是頂角為∠BAC=150o等腰三角形時(shí)，四邊形ADEF是正方形；（5）當(dāng)△ABC滿足∠BAC＝60o時(shí)，以A、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形不存在例、已知:如圖，矩形ABCD中，E是BC上一點(diǎn)，DFAE于F，若AE＝BC，求證:CE＝FE.分析：從求證入手，要證CE＝FE，由已知AE＝BC可知，只要證AF＝BE即可，而AF、BE分別在△AFD、△EBA中，即要證明△AFD≌△EBA.證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝AE，B＝90o，AD∥BC．∴DAE＝AEB．又∵DFAE于F，∴AFD＝90o＝B．∴

△AFD≌△EBA.∴AF＝BE,∵AE＝BC

∴AE－AF＝BC－BE即CE＝FE

矩形和三角形的緊密關(guān)系由于矩形的對角線相等且互相平分，所以矩形被兩條對角線分成了兩對全等的等腰三角形．之一定理：直角三角形中，如果有一個(gè)銳角等于30度，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.應(yīng)用格式之二定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.應(yīng)用格式之三菱形和三角形的緊密關(guān)系菱形的兩條對角線把菱形分成了4個(gè)全等的直角三角形.若菱形有一個(gè)內(nèi)角為60度，則菱形被較短的對角線分成了2個(gè)全等的等邊三角形.菱形的兩條鄰邊和一條對角線構(gòu)成了等腰三角形.菱形的面積等于兩條對角線長的乘積的一半.用兩個(gè)全等的等邊△ABC和△ACD拼成菱形ABCD.把一個(gè)含60°角的三角尺與這個(gè)菱形疊合，使三角尺的60°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)A重合，兩邊分別與AB，AC重合.將三角尺繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn).（1）當(dāng)三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC，CD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)時(shí)，（如圖1），通過觀察或測量BE，CF的長度，你能得出什么結(jié)論？并證明你的結(jié)論；ABCDEF圖2（2）當(dāng)三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC，CD的延長線相交于點(diǎn)E，F(xiàn)時(shí)（如圖2），你在（1）中得到的結(jié)論還成立嗎？簡要說明理由.

ABCDEF圖1變式訓(xùn)練以正方形為基礎(chǔ)的旋轉(zhuǎn)變換例、（05山東臨沂市實(shí)驗(yàn)區(qū)）如圖（l），已知正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E是AC上一點(diǎn)，連結(jié)EB，過點(diǎn)A作AM⊥BE，垂足為M，AM交BD于點(diǎn)F．(1)求證：OE=OF；(2)如圖（2），若點(diǎn)E在AC的延長線上，AM⊥BE于點(diǎn)M，交DB的延長線于點(diǎn)F，其它條件不變，則結(jié)論“OE=OF”還成立嗎?如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由．例、（05棗莊實(shí)驗(yàn)）如圖，四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥DC．由4個(gè)這樣的等腰梯形可以拼出右圖所示的平行四邊形.(1)求四邊形ABCD四個(gè)內(nèi)角的度數(shù)；(2)試探究四邊形ABCD四條邊之間存在的等量關(guān)系，并說明理由；(3)現(xiàn)有左圖中的等腰梯形若干個(gè)，利用它們你能拼出一個(gè)菱形嗎?若能，請你畫出大致的示意圖.解：(1)如圖，∠1=∠2=∠3，∠1+∠2+∠3=360°，所以3∠1=360°，即∠1=120°．所以梯形的上底角均為120°，下底角均為60°.(2)如圖，由于EF既是梯形的腰，又是梯形的上底，所以梯形的腰等于上底．連接MN，則∠FMN=∠FNM=30°．從而∠HMN=30°，∠HNM=90°．所以NH=MH．因此，梯形的上底等于下底的一半