河北省鹿泉等名校2022年高三下學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知P：叫>l,log|Xo>3：VxeR,e*>x,則下列說法中正確的是（）

22

A.pvg是假命題B.〃八夕是真命題

C.是真命題D.p/\（—是假命題

2.若,一/二、、？則cos2二=（）

sin（E+-y）=-

A.B.C.D.

~J-J52

3.已知集合A={1,3,J碼，5={1,加},若AuB=A,則加=（）

A.?；蛴葿.0或3C.1或右D.1或3

y<x

4.已知不等式組y2-X表示的平面區(qū)域S的面積為%若點尸（蒼歷wS,則+y的最大值為（）

x<a

A.3B.6C.9D.12

5.設(shè)過定點M（0,2）的直線/與橢圓C：]+V=i交于不同的兩點/>,Q,若原點。在以PQ為直徑的圓的外部,

則直線/的斜率Z的取值范圍為（）

6.過拋物線>2=4x的焦點廠的直線交該拋物線于A,8兩點，。為坐標(biāo)原點.若|A尸|=3,則直線AB的斜率為（）

A.±72B.-V2C.272D.±20

7,執(zhí)行如下的程序框圖，則輸出的S是（）

A.36B.45

C.-36D.-45

8.設(shè)函數(shù)/(x),g(x)的定義域都為R,且/(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()

A./(x>g(x)是偶函數(shù)B.|/(x)|-g(x)是奇函數(shù)

C.〃x>|g(x)|是奇函數(shù)D.|/(x>g(x)|是奇函數(shù)

9.已知4>。>0,則下列不等式正確的是()

A.1&-目<柩_4B.|石一4〉柩

D.—A?|>|e*—

io.已知向量互=(1,加)，5=(3,-2),且(〃+6)_L6,則，〃=()

A.-8B.-6

C.6D.8

1

11.定義在R上的偶函數(shù)/(%)滿足/(x+l)=-(〃月片0),且在區(qū)間(2017,2018)上單調(diào)遞減，已知a,4是

“X)

銳角三角形的兩個內(nèi)角，則/(sinp)j(cosa)的大小關(guān)系是()

A./(sin耳)</(cosa)B./(sin/7)>/(cosa)

C./(sinp)^(cosa)D.以上情況均有可能

12.已知等差數(shù)列同｝,貝!J"a2>aj是“數(shù)列同｝為單調(diào)遞增數(shù)列”的()

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

?,/(%,)-/(x2).

13.設(shè)函數(shù)/(x)=x|x-a|,若對于任意的修，x2e[2,+s),再r々，不等式__->0恒成立,則實數(shù)a

X\~X2

的取值范圍是.

432

14.甲、乙兩人同時參加公務(wù)員考試，甲筆試、面試通過的概率分別為一和一；乙筆試、面試通過的概率分別為一和

543

若筆試面試都通過才被錄取，且甲、乙錄取與否相互獨立，則該次考試只有一人被錄取的概率是.

2

15.如圖所示梯子結(jié)構(gòu)的點數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列｛4｝,則qoo=.

??

?????

?,????..........

????????????

16.已知雙曲線的一條漸近線為y=2x,且經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知數(shù)列｛q｝滿足且%=?+擊(〃22,〃€]\*).

(1)求證：數(shù)列｛2"%｝是等差數(shù)列，并求出數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)求數(shù)列｛《,｝的前〃項和S“.

18.(12分)已知橢圓E:三+#=l(a>b〉O)的離心率為白，且過點

,點P在第一象限，A為左頂點,

8為下頂點，Q4交y軸于點C,/>5交x軸于點O.

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)若CDHAB,求點P的坐標(biāo).

19.(12分)誠信是立身之本，道德之基，我校學(xué)生會創(chuàng)設(shè)了“誠信水站”，既便于學(xué)生用水，又推進誠信教育，并用

，，舞徽等，，表示每周，，水站誠信度”，為了便于數(shù)據(jù)分析，以四周為一周期，如表為該水站連續(xù)十二周(共三個

周期)的誠信數(shù)據(jù)統(tǒng)計:

第一周第二周第三周第四周

第一周期95%98%92%88%

第二周期94%94%83%80%

第三周期85%92%95%96%

(I)計算表中十二周“水站誠信度”的平均數(shù)，

(D)若定義水站誠信度高于90%的為“高誠信度”，90%以下為“一般信度”則從每個周期的前兩周中隨機抽取兩周

進行調(diào)研，計算恰有兩周是“高誠信度”的概率；

(山)已知學(xué)生會分別在第一個周期的第四周末和第二個周期的第四周末各舉行了一次“以誠信為本”的主題教育活動,

根據(jù)已有數(shù)據(jù)，說明兩次主題教育活動的宣傳效果，并根據(jù)已有數(shù)據(jù)陳述理由.

22

20.(12分)已知橢圓：C:=+當(dāng)=1(。>8>0)的四個頂點圍成的四邊形的面積為2厲，原點到直線二+4=1的

礦/rab

距離為粵

(1)求橢圓。的方程；

(2)已知定點P(0,2),是否存在過戶的直線/,使/與橢圓C交于A，B兩點,且以為直徑的圓過橢圓C的左

頂點？若存在，求出/的方程：若不存在，請說明理由.

21.(12分)如圖，在直三棱柱ABC—中，AB=BC=AA,=1,AC=6點DE分別為AC和gG的中點.

(I)棱A4上是否存在點P使得平面平面ME?若存在，寫出物的長并證明你的結(jié)論；若不存在，請說

明理由.

(II)求二面角A—BE—。的余弦值.

22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知平行于x軸的動直線/交拋物線C：產(chǎn)=4》于點尸，點尸為C的焦點.圓

心不在y軸上的圓M與直線/,PF,x軸都相切，設(shè)M的軌跡為曲線E.

(1)求曲線E的方程；

(2)若直線4與曲線E相切于點。(SJ),過。且垂直于4的直線為4,直線4，4分別與y軸相交于點A，B.當(dāng)線

段48的長度最小時，求S的值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.D

【解析】

舉例判斷命題p與g的真假，再由復(fù)合命題的真假判斷得答案.

【詳解】

當(dāng)與〉1時，l°gl/<°，故，命題為假命題；

2

記/(x)的導(dǎo)數(shù)為r(X)=*一1,

易知/(x)=b-x在(-8,0)上遞減，在(0,4-00)上遞增，

.*./(x)>/(0)=1>0,即故4命題為真命題；

:.p/\(F)是假命題

故選D

【點睛】

本題考查復(fù)合命題的真假判斷，考查全稱命題與特稱命題的真假，考查指對函數(shù)的圖象與性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.

2.B

【解析】

由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和倍角公式化簡即可.

【詳解】

因為,一、7由誘導(dǎo)公式得-所以一

Sin(z+^)=YCOSL=-ycos?二=2COS72

故選B

【點睛】

本題考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和倍角公式，靈活掌握公式是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

3.B

【解析】

因為=A，所以BqA,所以加=3或根=詬.

若m=3,則A={1,3,百},B={1,3},滿足ADB=A.

若m=Gi,解得m=0或m=1.若加=0,則A={1,3,0},8={1,3,0},滿足ADB=A.若加=1,

A={1,3,1},8={1,1}顯然不成立，綜上加=0或〃7=3,選B.

4.C

【解析】

分析：先畫出滿足約束條件對應(yīng)的平面區(qū)域，利用平面區(qū)域的面積為9求出。=3,然后分析平面區(qū)域多邊形的各個頂

點，即求出邊界線的交點坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)求得最大值.

詳解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖所示：

則A(a,a),,所以平面區(qū)域的面積S='?a?2a=9,

2

解得a=3,此時A(3,3),B(3,-3),

由圖可得當(dāng)z=2x+y過點A(3,3)時，z=2x+)，取得最大值9,故選C.

點睛：該題考查的是有關(guān)線性規(guī)劃的問題，在求解的過程中，首先需要正確畫出約束條件對應(yīng)的可行域，之后根據(jù)目

標(biāo)函數(shù)的形式，判斷z的幾何意義，之后畫出一條直線，上下平移，判斷哪個點是最優(yōu)解，從而聯(lián)立方程組，求得最

優(yōu)解的坐標(biāo)，代入求值，要明確目標(biāo)函數(shù)的形式大體上有三種：斜率型、截距型、距離型；根據(jù)不同的形式，應(yīng)用相

應(yīng)的方法求解.

5.D

【解析】

設(shè)直線/：y=kx+2,P（x”x）,。（看，必），由原點。在以PQ為直徑的圓的外部，可得麗?麗>0,聯(lián)立直線

/與橢圓C方程，結(jié)合韋達定理，即可求得答案.

【詳解】

顯然直線x=0不滿足條件，故可設(shè)直線/：y=kx+2,

4+2]

P（3，X），。（工2，必），由"2+'一，得（1+2/）爐+8h+6=0,

y=kx+2

A=64-一24（1+2公）>0,

???解得人當(dāng)或—坐

8k6

.?％+X-j-9X,X2-T

1+2女2121+2公

n

???0<ZPOQ<y,

■-OPOQ>0,

OPOQ=%丹+，1%=%%2+（煙+2）（5+2）

60+父）16k210-2公

（1+攵2）%%2+2攵（%+勺）+4+4=>0,

1+2-1+2公l+2k2

解得Y<k<#，

，直線/的斜率Z的取值范圍為左e$當(dāng)Li]乎.

<27k2）

故選：D.

【點睛】

本題解題關(guān)鍵是掌握橢圓的基礎(chǔ)知識和圓錐曲線與直線交點問題時，通常用直線和圓錐曲線聯(lián)立方程組，通過韋達定

理建立起目標(biāo)的關(guān)系式，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.

6.D

【解析】

根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合|AF|=3,求出A的坐標(biāo)，然后求出AE的斜率即可.

【詳解】

解：拋物線的焦點廠（L0）,準(zhǔn)線方程為x=—l,

設(shè)A(x,y),貝！||AF|=x+l=3,故x=2,此時y=±2&,即4(2,±2近).

則直線AF的斜率k=絲也=±272,

2-1

故選：D.

【點睛】

本題考查了拋物線的定義，直線斜率公式，屬于中檔題.

7.A

【解析】

列出每一步算法循環(huán)，可得出輸出結(jié)果S的值.

【詳解】

i=lW8滿足,執(zhí)行第一次循環(huán)，S=0+(-l)'xl2=-l,i=l+l=2

i=2?8成立,執(zhí)行第二次循環(huán),S=—1+(—1)x22=3,i=2+1=3；

i=3W8成立,執(zhí)行第三次循環(huán),S=3+(-l/x32=-6,z=3+l=4；

i=448成立,執(zhí)行第四次循環(huán),S=-6+(-l)4x42=10,i=4+l=5

52

i=5W8成立,執(zhí)行第五次循環(huán),S=1O+(-1)X5=-15,Z=5+1=6

62

，=6?8成立,執(zhí)行第六次循環(huán),S=-15+(-1)X6=21,i=6+1=7；

i=7W8成立,執(zhí)行第七次循環(huán),S=21+(-l)7x72=-28,i=7+l=8；

82

i=8W8成立,執(zhí)行第八次循環(huán),S=-28+(-1)X8=36,Z=8+1=9；

i=9W8不成立，跳出循環(huán)體，輸出S的值為36,故選：A.

【點睛】

本題考查算法與程序框圖的計算，解題時要根據(jù)算法框圖計算出算法的每一步，考查分析問題和計算能力，屬于中等

題.

8.C

【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：???/(X)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù),

???f(-x)=-/(x),g(-x)=g(x),

f(-x)?g(-x)=-/(x).g(x),故函數(shù)是奇函數(shù)，故A錯誤，

l/(-x)卜g(-幻=1/(x)卜g(x)為偶函數(shù)，故3錯誤，

/(-x)dg(-x)1=-/(x)4g(x)I是奇函數(shù)，故C正確.

|/(-x).g(-x)Rf(x)?g(x)|為偶函數(shù)，故。錯誤，

故選：C.

【點睛】

本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義是解決本題的關(guān)鍵.

9.D

【解析】

利用特殊值代入法，作差法，排除不符合條件的選項，得到符合條件的選項.

【詳解】

已知4＞人＞0,賦值法討論。＞人＞0的情況：

(1)當(dāng)時，令a=2,b=l,貝揚—4，卜―W，排除B、C選項；

(2)當(dāng)0＜》＜aWl時，令4=3,b,貝!]]6一目＞|逐-a],排除A選項.

故選：D.

【點睛】

比較大小通常采用作差法，本題主要考查不等式與不等關(guān)系，不等式的基本性質(zhì)，利用特殊值代入法，排除不符合條

件的選項，得到符合條件的選項，是一種簡單有效的方法，屬于中等題.

10.D

【解析】

由已知向量的坐標(biāo)求出d+5的坐標(biāo)，再由向量垂直的坐標(biāo)運算得答案.

【詳解】

Va=(1,m),b=(3,-2),:.a+b=(4,m-2),又(汗+5)J_5,

A3x4+(-2)x(m-2)=0,解得m=L

故選D.

【點睛】

本題考查平面向量的坐標(biāo)運算，考查向量垂直的坐標(biāo)運算，屬于基礎(chǔ)題.

11.B

【解析】

由已知可求得函數(shù)的周期，根據(jù)周期及偶函數(shù)的對稱性可求/(X)在(0,1)上的單調(diào)性，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可比較.

【詳解】

由/(x+1)=一1可得/(x+2)=/［(尤+1)+1］=1—=/(%),即函數(shù)的周期7=2,

f(x)/(x+1)

因為在區(qū)間(2017,2018)上單調(diào)遞減，故函數(shù)在區(qū)間(-1,0)上單調(diào)遞減，

根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知，/(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，

因為a,夕是銳角三角形的兩個內(nèi)角，

所以見￡w(0,g乃)且a+/?>g乃即<7〉:萬-尸，

所以cosa<cos(；萬一6)即0<cosa<sin2<1,

/(cos?)</(sin/?).

故選：B.

【點睛】

本題主要考查函數(shù)值的大小比較，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

12.C

【解析】

試題分析：根據(jù)充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.

解：在等差數(shù)列伯力中，若a2>a”則d>0,即數(shù)列｛a0｝為單調(diào)遞增數(shù)列，

若數(shù)列｛a”｝為單調(diào)遞增數(shù)列，則a2>a”成立，

即“a2>ai”是“數(shù)列｛aj為單調(diào)遞增數(shù)列”充分必要條件，

故選C.

考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.a<2

【解析】

試題分析：由題意得函數(shù)/(x)=x|x-a］在［2,+8)上單調(diào)遞增，當(dāng)時/(x)=x(x-a)在［2,+?。)上單調(diào)遞增;

當(dāng)。>2時/(x)=x|x-4在團,+8)上單調(diào)遞增；在⑵。)上單調(diào)遞減，因此實數(shù)a的取值范圍是a<2

考點：函數(shù)單調(diào)性

8

14.

15

【解析】

分別求得甲、乙被錄取的概率，根據(jù)獨立事件概率公式可求得結(jié)果.

【詳解】

433211

甲被錄取的概率Pi=^X]=4；乙被錄取的概率p?=

32]2R

二只有一人被錄取的概率〃=巧（1_〃2）+〃2（1_四）=彳*4+々、]=記.

Q

故答案為：

【點睛】

本題考查獨立事件概率的求解問題，屬于基礎(chǔ)題.

15.5252

【解析】

根據(jù)圖像歸納%=2+3+4+...+〃+2,根據(jù)等差數(shù)列求和公式得到答案.

【詳解】

根據(jù)圖像：4=2+3,^=2+3+4,故4=2+3+4+...+〃+2,

石（2+102）x101

故4=2+3+4+…+102=^---------=5252.

coa

故答案為：5252.

【點睛】

本題考查了等差數(shù)列的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.

16.-工=1

4

【解析】

、,2

設(shè)以直線y=為漸近線的雙曲線的方程為--3=/1（/1*0）,再由雙曲線經(jīng)過拋物線＞2=4x焦點"1,0）,能

求出雙曲線方程.

【詳解】

解：設(shè)以直線y=為漸近線的雙曲線的方程為一一上_="a70）,

?.?雙曲線經(jīng)過拋物線丁=4x焦點以1,0），

:.1=2,

.?.雙曲線方程為無2-21=1,

4

2

故答案為：X2——=1.

4

【點睛】

本題主要考查雙曲線方程的求法，考查拋物線、雙曲線簡單性質(zhì)的合理運用，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)證明見解析，4=今史；(2)5“=5-2|號.

【解析】

(1)將等式/=智+擊變形為2"a"=2"%T+2,進而可證明出｛2"。"｝是等差數(shù)列，確定數(shù)列｛2%｝的首項

和公差，可求得2"4的表達式，進而可得出數(shù)列｛q｝的通項公式；

(2)利用錯位相減法可求得數(shù)列｛q｝的前〃項和S”.

【詳解】

（1）因為%=首L+F（/N2,“eN*）,所以2"。，=：尸％+2,即2a_2"T%=2,

所以數(shù)列｛2"/｝是等差數(shù)列，且公差d=2,其首項2%=3

c.1

所以2%“=3+（〃—l）x2=2〃+l,解得%=-^-；

,、。3572n-l2n+l右

“222232“T2"

S?3572n-\2n+l人

22223242"2'向

GG爾S“3C.111、2〃+132?+1_52”+5

①一②，1#-=-+2x—+—+???+-------=-

22<22232"J2M212"T22"+,

1---

2

所以5.=5-竽?

【點睛】

本題考查利用遞推公式證明等差數(shù)列，同時也考查了錯位相減法求和，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.

爐，(r

18.(1)---Fy-=1；(2)v2,--

42

【解析】

(1)由題意得"=〃+c2,求出/,從,進而可得到橢圓后的方程;

79

--7----7

4a216b2

(2)由(1)知點A，B坐標(biāo)，設(shè)直線AP的方程為y=%(x+2),易知可得點。的坐標(biāo)為(0,2%),聯(lián)立方

y^k(x+2)

程f，得到關(guān)于丁的一元二次方程，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系，可用〃表示P的坐標(biāo)，進而由。,民。三點共線,

—+/=1

I4

即心。=A/>B，可用攵表示。的坐標(biāo)，再結(jié)合七可建立方程，從而求出k的值，即可求得點P的坐標(biāo).

【詳解】

/=4

(1)由題意得+c?解得

b2=1

79

4?+16^-

v-2

所以橢圓E的方程為工+y2=i.

4-

(2)由⑴知點A(—2,0),B(0,-1),

由題意可設(shè)直線AP的斜率為％,則0<Z<g,所以直線AP的方程為y=%(x+2),則點C的坐標(biāo)為(0,24，

y=Z(x+2)

聯(lián)立方程丫2,消去》得：(1+4%2)/+1622》+16攵2—4=0.

—+/=1

I4-

16^-48k2-2

設(shè)P(無1,X),則一21%所以玉=

1+4/1+4-

山川，,8^—2i4Z28女2-2

所以％=k(--------+2)=-----,所以P(--------

'l+4k21+4/71+4公

設(shè)。點的坐標(biāo)為(與,0),因為點「,民。三點共線，所以kRD=kpB，即

4k,

i-----7+1

1二1+4二..2—4k?2—4k.

,所以%=,c,，所以。（，c,,0）.

8k2-2

x0―\+2k1+2女

-l+4%2

2k_1

因為CD〃AB,所以氏8=%相，即2-4k2?

-1+2%

所以4公+4左一1=0,解得〃=二1士也

2

又0〈人〈:，所以&=立二1符合題意,

22

01,2_Q

計算可得—竺三=啦,4k

1+4公1+4火2-T

故點P的坐標(biāo)為(友,*).

【點睛】

本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查平行線的性質(zhì)，考查學(xué)生的計算求解能力，屬于難

題.

2

19.(I)91%；(D)y;(ID)兩次活動效果均好，理由詳見解析.

【解析】

(I)結(jié)合表中的數(shù)據(jù)，代入平均數(shù)公式求解即可；

(H)設(shè)抽至1卜高誠信度”的事件為4,則抽至!!“一般信度”的事件為8,則隨機抽取兩周，則有兩周為“高誠信度”事件

為C,利用列舉法列出所有的基本事件和事件C所包含的基本事件，利用古典概型概率計算公式求解即可；

(ni)結(jié)合表中的數(shù)據(jù)判斷即可.

【詳解】

(I)表中十二周“水站誠信度”的平均數(shù)

_95+98+92+88+94+94+83+80+85+92+95+961

x=---------------------------------------------x——=91%.

12100

(n)設(shè)抽至心高誠信度”的事件為則抽至u“一般信度”的事件為8,則隨機抽取兩周均為“高誠信度”事件為c,總

的基本事件為44、AA、44、AA、A2A3、AA'4A、A/QAA、44、A^、&B、A3B,4a、共15種,

事件C所包含的基本事件為A4、AA3、AAPAA、人出、44、AM共IO種，

由古典概型概率計算公式可得，P(C)=-1^0=-2

153

(Ill)兩次活動效果均好.

理由：活動舉辦后，“水站誠信度，由88%—94%和8()%-85%看出，后繼一周都有提升.

【點睛】

本題考查平均數(shù)公式和古典概型概率計算公式；考查運算求解能力；利用列舉法正確列舉出所有的基本事件是求古典

概型概率的關(guān)鍵；屬于中檔題、?？碱}型.

=

20.⑴f+f⑵存在'且方程為二￥"2或k竽X+2.

【解析】

(1)依題意列出關(guān)于a,b,c的方程組，求得a,b,進而可得到橢圓方程；(2)聯(lián)立直線和橢圓得到

(3+5公卜2+20依+5=0,要使以為直徑的圓過橢圓C的左頂點。卜百,0),則力4.詼=0,結(jié)合韋達定理

可得到參數(shù)值.

【詳解】

(1)直線上+2=1的一般方程為法+取一。8=0.

ab

lab=2V15

ab病“

依題意L，故橢圓C的方程式為二+8=1.

y/a2+b24b—V353

a2=b2+c2

(2)假若存在這樣的直線/,

當(dāng)斜率不存在時，以|A可為直徑的圓顯然不經(jīng)過橢圓C的左頂點,

所以可設(shè)直線/的斜率為左，則直線/的方程為y=^+2.

y=kx+2

由《）o得（3+5/?卜2+20.+5=0.

3%2+5/=15

記A，B的坐標(biāo)分別為(石,y),(x2,y2),

,20k5

則n…“二友

而yxy2=（依+2）（優(yōu)+2）=儲石9+22（%+9）+4.

要使以|為直徑的圓過橢圓C的左頂點。卜6,0),貝!I方.詼=0,

即y必+=(Z"+1，％/+(2%+5/^)(%]+/)+9=0,

所以(右)春傘+同春+9=°，

整理解得上=述或左=述

55

所以存在過P的直線/,使/與橢圓。交于A,B兩點,且以|A@為直徑的圓過橢圓。的左頂點，直線/的方程為

27586c

y——-―尤+2或y-—-—x+2?

【點睛】

本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系，所使用方法為韋達定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次

的，故直線與圓錐曲線的問題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題，故用韋達定理及判別式是解

決圓錐曲線問題的重點方法之一，尤其是弦中點問題，弦長問題，可用韋達定理直接解決，但應(yīng)注意不要忽視判別式

的作用.

311

21.(I)存在點P滿足題意，且以=巳，證明詳見解析；(II)—.

419

【解析】

(I)可考慮采用補形法，取4G的中點為F，連接印，AF,DF,可結(jié)合等腰三角形性質(zhì)和線面垂直性質(zhì)，先證

平面ACC-即若能證明則可得證，可通過W△皿)sRf我們反推出點P對

應(yīng)位置應(yīng)在幺=3=處，進而得證；

4

(II)采用建系法，以。為坐標(biāo)原點，以DB,DC,OF分別為石丫，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出兩平面對應(yīng)

法向量，再結(jié)合向量夾角公式即可求解；

【詳解】

3

(I)存在點P滿足題意，且小=；

4

證明如下：

取4G的中點為尸，連接EF,AF,DF.

貝!!斯〃44〃A8,所以AFu平面ABE.

因為45=BC,。是AC的中點，所以BO_LAC.

在直三棱柱ABC-A4G中，平面ABC,平面ACG，且交線為AC,

所以平面A