特殊函數(shù)的應(yīng)用及證明題

特殊函數(shù)的應(yīng)用及證明題第一頁，共二十三頁，2022年，8月28日（2011?鹽城）如圖，放置在水平桌面上的臺燈的燈臂AB長為40cm，燈罩BC長為30cm，底座厚度為2cm，燈臂與底座構(gòu)成的∠BAD=60°．使用發(fā)現(xiàn)，光線最佳時(shí)燈罩BC與水平線所成的角為30°，此時(shí)燈罩頂端C到桌面的高度CE是多少cm？

（結(jié)果精確到0.1cm，參考數(shù)據(jù)：≈1.732）第二頁，共二十三頁，2022年，8月28日∵燈罩BC長為30cm，光線最佳時(shí)燈罩BC與水平線所成的角為30°，∵CM⊥MB，即三角形CMB為直角三角形，∴sin30°==，在直角三角形ABF中，sin60°=，∴=，解得：BF=20，又∠ADC=∠BMD=∠BFD=90°，∴四邊形BFDM為矩形，∴MD=BF，∴CE=CM+MD+DE=CM+BF+ED=15+20+2≈51.6cm．答：此時(shí)燈罩頂端C到桌面的高度CE是51.6cm第三頁，共二十三頁，2022年，8月28日一幢房屋的側(cè)面外墻壁的形狀如圖所示，它由等腰三角形OCD和矩形ABCD組成，∠OCD=25°，外墻壁上用涂料涂成顏色相同的條紋，其中一塊的形狀是四邊形EFGH，測得FG∥EH，GH=2.6m，∠FGB=65°。

（1）求證：GF⊥OC；

（2）求EF的長（結(jié)果精確到0.1m）。

（參考數(shù)據(jù)：sin25°=cos65°≈0.42，cos25°=sin65°≈0.91）第四頁，共二十三頁，2022年，8月28日（1）在四邊形BCFG中，∠GFC=360°-90°-65°-（90°+25°）=90°則GF⊥OC（2）如圖，作FM∥GH交EH與M，則有平行四邊形FGHM,∴FM=GH=2.6m，∠EFM=25°∵FG∥EH，GF⊥OC∴EH⊥OC在Rt△EFM中：EF=FM·cos25°≈2.6×0.91=2.4m第五頁，共二十三頁，2022年，8月28日（2011?淮安）圖1為平地上一幢建筑物與鐵塔圖，圖2為其示意圖．建筑物AB與鐵塔CD都垂直于地面，BD=30m，在A點(diǎn)測得D點(diǎn)的俯角為45°，測得C點(diǎn)的仰角為60°．求鐵塔CD的高度．第六頁，共二十三頁，2022年，8月28日∵BD=30m，在A點(diǎn)測得D點(diǎn)的俯角為45°，測得C點(diǎn)的仰角為60°，∴AB=BD=DE=AE=30，∴tan60°==，∴CE=30，∴鐵塔CD的高度為：30+30≈82米，答：鐵塔CD的高度為82米．第七頁，共二十三頁，2022年，8月28日如圖，在△ABC中，∠C=90°，以AB上一點(diǎn)O為圓心，OA長為半徑的圓與BC相切于點(diǎn)D，分別交AC、AB于點(diǎn)E、F．

（1）若AC=6，AB=10，求⊙O的半徑；

（2）連接OE、ED、DF、EF．若四邊形BDEF是平行四邊形，試判斷四邊形OFDE的形狀，并說明理由．第八頁，共二十三頁，2022年，8月28日（1）連接OD．設(shè)⊙O的半徑為r．∵BC切⊙O于點(diǎn)D，∴OD⊥BC．∵∠C=90°，∴OD∥AC，∴△OBD∽△ABC．∴=，即10r=6（10﹣r）．解得r=，∴⊙O的半徑為．（2）四邊形OFDE是菱形．∵四邊形BDEF是平行四邊形，∴∠DEF=∠B．∵∠DEF=∠DOB，∴∠B=∠DOB．∵∠ODB=90°，∴∠DOB+∠B=90°，∴∠DOB=60°．∵DE∥AB，∴∠ODE=60°∵OD=OE∴OD=DE．∵OD=OF，∴DE=OF．∴四邊形OFDE是平行四邊形．∵OE=OF，∴平行四邊形OFDE是菱形．第九頁，共二十三頁，2022年，8月28日如圖，四邊形ABCD是矩形，直線l垂直平分線段AC，垂足為O，直線l分別與線段AD、CB的延長線交于點(diǎn)E、F。（1）△ABC與△FOA相似嗎？為什么？（2）試判定四邊形AFCE的形狀，并說明理由。第十頁，共二十三頁，2022年，8月28日（1）△ABC∽△FOA，理由如下：

在矩形ABCD中：∠BAC+∠BCA=90°

∵直線l垂直平分線段AC

∴∠OFC+∠BCA=90°

∴∠BAC=∠OFC

又∵∠ABC=∠FOC=90°

∴△ABC∽△FOA

（2）四邊形AFCE為菱形，理由如下：

∵AE∥FC

∴△AOE∽△COF

則OE:OF=OA:OC=1:1

∴OE=OF

∴AC與EF互相垂直平分

則四邊形AFCE為菱形。第十一頁，共二十三頁，2022年，8月28日如圖，以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)同心圓中，矩形ABCD的邊BC為大圓的弦，邊AD與小圓相切于點(diǎn)M，OM的延長線與BC相交于點(diǎn)N。

（1）點(diǎn)N是線段BC的中點(diǎn)嗎？為什么？

（2）若圓環(huán)的寬度（兩圓半徑之差）為6cm，AB=5cm，BC=10cm，求小圓的半徑。第十二頁，共二十三頁，2022年，8月28日（1）點(diǎn)N是線段BC的中點(diǎn)，理由如下：

∵AD與小圓相切于點(diǎn)M

∴ON⊥AD

又∵AD∥BC

∴ON⊥BC

∴點(diǎn)N是線段BC的中點(diǎn)

（2）連接OB,設(shè)小圓的半徑為r，

則ON=r+5,OB=r+6,且BN=5

在Rt△OBN中：

52+(r+5)2=(r+6)2

解得：r=7cm第十三頁，共二十三頁，2022年，8月28日在平面直角坐標(biāo)系xOy中，邊長為a（a為大于0的常數(shù)）的正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)P，頂點(diǎn)A在x軸正半軸上運(yùn)動，頂點(diǎn)B在y軸正半軸上運(yùn)動（x軸的正半軸、y軸的正半軸都不包含原點(diǎn)O），頂點(diǎn)C、D都在第一象限。

（1）當(dāng)∠BAO=45°時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）求證：無論點(diǎn)A在x軸正半軸上、點(diǎn)B在y軸正半軸上怎樣運(yùn)動，點(diǎn)P都在∠AOB的平分線上；yBAOCDPx（第28題圖）

（3）設(shè)點(diǎn)P到x軸的距離為h，試確定h的取值范圍，并說明理由。yBAOCDPx（第28題圖）第十四頁，共二十三頁，2022年，8月28日（1）當(dāng)∠BAO=45°時(shí)，四邊形OAPB為正方形

OA=OB=a·cos45°=a

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，a）

（2）作DE⊥x軸于E,PF⊥x軸于F,

設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（m,0）,B點(diǎn)坐標(biāo)為（0,n）

∵∠BAO+∠DAE=∠BAO+∠ABO=90°

∴∠DAE=∠ABO

在△AOB和△DEA中：

∴△AOB≌和△DEA（AAS）

∴AE=0B=n,DE=OA=m,

則D點(diǎn)坐標(biāo)為（m+n,m）

∵點(diǎn)P為BD的中點(diǎn)，且B點(diǎn)坐標(biāo)為（0,n）

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（,）∴PF=OF=∴∠POF=45°,

∴OP平分∠AOB。即無論點(diǎn)A在x軸正半軸上、點(diǎn)B在y軸正半軸上怎樣運(yùn)動，點(diǎn)P都在∠AOB的平分線上；

（3）當(dāng)A,B分別在x軸正半軸和y軸負(fù)半軸上運(yùn)動時(shí)，設(shè)PF與PA的夾角為α，

則0°≤α＜45°

h=PF=PA·cosα=a·cosα

∵0°≤α＜45°∴＜cosα≤1

∴a＜h≤a第十五頁，共二十三頁，2022年，8月28日如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6㎝，BC=8㎝，P為BC的中點(diǎn)．動點(diǎn)Q從點(diǎn)P出發(fā)，沿射線PC方向以2㎝/s的速度運(yùn)動，以P為圓心，PQ長為半徑作圓．設(shè)點(diǎn)Q運(yùn)動的時(shí)間為ts．

⑴當(dāng)t=1.2時(shí)，判斷直線AB與⊙P的位置關(guān)系，并說明理由；

⑵已知⊙O為△ABC的外接圓，若⊙P與⊙O相切，求t的值

ABCPQO(第26題)第十六頁，共二十三頁，2022年，8月28日⑴直線與⊙P相切．

如圖，過點(diǎn)P作PD⊥AB,垂足為D．

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∵AC=6cm，BC=8cm，

∴．∵P為BC的中點(diǎn)，∴PB=4cm．

∵∠PDB＝∠ACB＝90°，∠PBD＝∠ABC．∴△PBD∽△ABC．

∴,即，∴PD=2.4(cm)．

當(dāng)時(shí)，(cm)

∴，即圓心到直線的距離等于⊙P的半徑．

∴直線與⊙P相切．

⑵∠ACB＝90°，∴AB為△ABC的外切圓的直徑．∴．

連接OP．∵P為BC的中點(diǎn)，∴．

∵點(diǎn)P在⊙O內(nèi)部，∴⊙P與⊙O只能內(nèi)切．

∴或，∴=1或4．

∴⊙P與⊙O相切時(shí)，t的值為1或4．

第十七頁，共二十三頁，2022年，8月28日如圖①，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一個(gè)三角形與△ABC相似，那么就稱P為△ABC的自相似點(diǎn)．

⑴如圖②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ACB＞∠A，CD是AB上的中線，過點(diǎn)B作BE⊥CD，垂足為E，試說明E是△ABC的自相似點(diǎn)．

⑵在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．

①如圖③，利用尺規(guī)作出△ABC的自相似點(diǎn)P（寫出作法并保留作圖痕跡）；

②若△ABC的內(nèi)心P是該三角形的自相似點(diǎn)，求該三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)．BBBCCCAAADPE①②③(第27題)第十八頁，共二十三頁，2022年，8月28日⑴在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB上的中線，∴，∴CD=BD．

∴∠BCE＝∠ABC．∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°，∴∠BEC＝∠ACB．∴△BCE∽△ABC．

∴E是△ABC的自相似點(diǎn)．

第十九頁，共二十三頁，2022年，8月28日⑵①作圖略．作法如下：（i）在∠ABC內(nèi)，作∠CBD＝∠A；（ii）在∠ACB內(nèi)，作∠BCE＝∠ABC；BD交CE于點(diǎn)P．則P為△ABC的自相似點(diǎn)．②連接PB、PC．∵P為△ABC的內(nèi)心，∴，．∵P為△ABC的自相似點(diǎn)，∴△BCP∽△ABC．∴∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC=2∠PBC=2∠A，∠ACB＝2∠BCP=4∠A．∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°．∴∠A+2∠A+4∠A＝180°．∴．∴該