2023年人教版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第一部分考點(diǎn)指導(dǎo)第十一章計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布第七節(jié)二項(xiàng)分布與超幾何分布、正態(tài)分布

第七節(jié)二項(xiàng)分布與超幾何分布、正態(tài)分布

【考試要求】

1.通過(guò)具體實(shí)例，了解伯努利試驗(yàn)，掌握二項(xiàng)分布及其數(shù)字特征，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.

2.通過(guò)具體實(shí)例，了解超幾何分布及其均值，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.

3.通過(guò)誤差模型，了解服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量.通過(guò)具體實(shí)例，借助頻率直方圖的幾何直

觀(guān)，了解正態(tài)分布的特征.了解正態(tài)分布的均值、方差及其含義.

【高考考情】

考點(diǎn)考法：二項(xiàng)分布、超幾何分布、正態(tài)分布是高考命題的熱點(diǎn).常以真實(shí)社會(huì)背景為命題

情境，主要考查學(xué)生應(yīng)用相關(guān)公式求解實(shí)際問(wèn)題的能力.試題以選擇題、填空題、解答題形

式呈現(xiàn)，難度中檔.

核心素養(yǎng)：數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理

Q一知謂梳理二＞1&/爰一o

歸納?知識(shí)必備

1.伯努利試驗(yàn)與二項(xiàng)分布

(1)伯努利試驗(yàn)：只有兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn).

(2)/7重伯努利試驗(yàn)

①定義：將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行〃次所組成的隨機(jī)試驗(yàn).

②特征：(i)同一個(gè)伯努利試驗(yàn)重復(fù)做〃次；(ii)各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立.

(3)二項(xiàng)分布⑴

①概念：在〃重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件4發(fā)生的概率為夕(0＜仄1),用力表示事件

4發(fā)生的次數(shù)，則好的分布列為尸(乃=茂=C；4(1一。)左=0,1,2,…，〃.如果隨機(jī)變

量片的分布列具有上式的形式，則稱(chēng)隨機(jī)變量才服從二項(xiàng)分布，記作0).

②均值與方差：如果p),那么￡(?=巫，

〃(協(xié)=np(l—p).

注解1由二項(xiàng)分布的定義可以發(fā)現(xiàn)，兩點(diǎn)分布是一種特殊的二項(xiàng)分布，即〃=1時(shí)的二項(xiàng)分布.

2.超幾何分布⑵

⑴概念：假設(shè)一批產(chǎn)品共有川件，其中有"件次品，從1件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取〃件(不放回),

「kz-^n-k

用乃表示抽取的〃件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為尸(￥=7=MN-M,k=m,加+1,

?

m+2,…，r.其中A,N,#eN*,M^zN,nWN,zz/=max{0,n-N+狐,r=min{〃，M.如果隨

機(jī)變量方的分布列具有上式的形式，那么稱(chēng)隨機(jī)變量片服從超幾何分布.

(2)均值:￡(&=號(hào)nM?

注解2超幾何分布的特征是:

(1)考察對(duì)象分兩類(lèi)；(2)己知各類(lèi)對(duì)象的個(gè)數(shù)；(3)從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考察某類(lèi)個(gè)體數(shù)X

的概率分布.

3.正態(tài)分布"'

(1)正態(tài)曲線(xiàn)

(A—2

函數(shù)f(x)=---1=ex《R，其中〃WR，。＞0為參數(shù)，我們稱(chēng)函數(shù)f(x)為正態(tài)密

川2n

度函數(shù)，稱(chēng)它的圖象為正態(tài)密度曲線(xiàn),簡(jiǎn)稱(chēng)正態(tài)曲線(xiàn).

⑵正態(tài)曲線(xiàn)的特點(diǎn)

①曲線(xiàn)位于*軸上方,與x軸不相交.

②曲線(xiàn)是單峰的，它關(guān)于直線(xiàn)x=〃對(duì)稱(chēng).

③曲線(xiàn)在x=〃處達(dá)到峰值—7=.

口

④曲線(xiàn)與x軸圍成的面積為L(zhǎng)

⑤在參數(shù)。取固定值時(shí)，正態(tài)曲線(xiàn)的位置由〃確定，旦隨著上的變化而沿x軸平移，如圖(1)

所示.

⑥當(dāng)〃取定值時(shí)，正態(tài)曲線(xiàn)的形狀由。確定，。較小時(shí),峰值高，曲線(xiàn)“瘦高”，表示隨機(jī)變

量小的分布比較集中；。較大時(shí),峰值低，曲線(xiàn)“矮胖”，表示隨機(jī)變量才的分布比較分散，

如圖⑵所示.

圖⑴圖⑵

(3)正態(tài)分布的定義及表示

若隨機(jī)變量才的概率分布密度函數(shù)為f（x）=

1（v---4）2

---7=e------j----,xeR,則稱(chēng)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為a?）.

oyj2n乙0

正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值.

①/〃一。W朕H+（）七0.6827.

②尸（〃一2oW收〃+20.9545.

③尸（〃一3oW收〃+3。）=0.9973.

＞注解3若才服從正態(tài)分布，即4），要充分利用正態(tài)曲線(xiàn)的關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)和

曲線(xiàn)與x軸之間的面積為1.

智學(xué)?變式探源

1.選擇性必修三P80習(xí)題T12.選擇性必修三P79例6

L（改變題型）拋擲一枚骰子，當(dāng)出現(xiàn)5點(diǎn)或6點(diǎn)時(shí)，就說(shuō)這次試驗(yàn)成功，在30次試驗(yàn)中成功

次數(shù)乃的均值為.

211

【解析】由題意知拋擲一枚骰子，出現(xiàn)5點(diǎn)或6點(diǎn)的概率為￡=-，則有才?8（30,三），6（才

633

1

=30X-=10.

O

答案：10

2.（改變數(shù)字和問(wèn)法）從裝有3個(gè)白球、4個(gè)紅球的箱子中，隨機(jī)取出了3個(gè)球，恰好是2個(gè)

白球、1個(gè)紅球的概率是（）

A±nAr122

353535343

【解析】選C.如果將白球視為合格品，紅球視為不合格品，則這是一個(gè)超幾何分布問(wèn)題,

r2r11o

故所求概率為P=~—^=~.

C735

慧考?四基自測(cè)

3.基礎(chǔ)知識(shí)4.基本方法5.基本能力6.基本應(yīng)用

3.（二項(xiàng)分布）設(shè)隨機(jī)變量h46,三，則尸（1=3）等于（）

5353

A.C，D.

16B-1688

【解析】選A.P(X=3)=C,*自.

6b4lo

4.(伯努利試驗(yàn))甲、乙兩羽毛球運(yùn)動(dòng)員之間的訓(xùn)練，要進(jìn)行三場(chǎng)比賽，且這三場(chǎng)比賽可看做

三次伯努力試驗(yàn)，若甲至少取勝一次的概率為曾，則甲恰好取勝一次的概率為()

【解析】選C.假設(shè)甲取勝為事件A,設(shè)每次甲勝的概率為P，由題意得，事件A發(fā)生的次數(shù)h

8(3,p),

1

6?RQ<2q

則有1—(1—)=言，得夕=1，則事件4恰好發(fā)生一次的概率為QX-X1--=—.

64434I外64

5.(正態(tài)分布應(yīng)用)某班有48名同學(xué)，一次考試后的數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布，平均分為80,

標(biāo)準(zhǔn)差為10,則理論上在80分到90分的人數(shù)是()

A.32B.16C.8D.20

【解析】選B.因?yàn)閿?shù)學(xué)成績(jī)近似地服從正態(tài)分布M80,102),所以尸(|才一80|W10)^0.6827.

根據(jù)正態(tài)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知，位于80分到90分之間的概率是位于70分到90分之間的概率

的一半，所以理論上在80分到90分的人數(shù)是:X0.6827X48~16.

6.(對(duì)稱(chēng)性求解正態(tài)分布問(wèn)題)已知隨機(jī)變量1服從正態(tài)分布A'(3,1),且

+3),則c=.

【解析】因?yàn)閔M3,1),所以正態(tài)曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)*=3對(duì)稱(chēng)，且尸0>2c—1)=尸(*c+3),

一4

所以2c—l+c+3=2X3,所以c=鼻.

O

答案：I

。、一點(diǎn)探究?傳法培優(yōu)-。

5考點(diǎn)一n重伯努利試驗(yàn)與二項(xiàng)分布囹解兗

高考考情：n重伯努利試驗(yàn)與二項(xiàng)分布是高考命題重點(diǎn).以實(shí)際問(wèn)題為命題背景，突出考

查〃重伯努利試驗(yàn)與二項(xiàng)分布公式的應(yīng)用.試題以選擇題、填空題、解答題形式呈現(xiàn)，難度

中檔.

?角度1〃重伯努利試驗(yàn)及其概率

93

［典例1］甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標(biāo)的概率分別為不和￡.假設(shè)兩人射擊是否擊中目標(biāo)

相互之間沒(méi)有影響，若甲射擊4次，則至少有1次未擊中目標(biāo)的概率為；若

兩人各射擊4次，甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)3次的概率為.

【解析】記“甲射擊4次，至少有1次未擊中目標(biāo)”為事件4,則事件4的對(duì)立事件，?為

”甲射擊4次，全部擊中目標(biāo)”.由題意可知，射擊4次相當(dāng)于做了4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，故

4_16

,)=CX(|

PCA=81,

by/、,一、1665

所以尸(4)=1—P(4))=1——=—.

olol

所以甲射擊4次，至少有1次未擊中目標(biāo)的概率為弁.

記“甲射擊4次，恰好擊中目標(biāo)2次”為事件4,“乙射擊4次，恰好擊中目標(biāo)3次”為事件

區(qū),

2

__8_

則尸(4)=C=

427

3

27

尸(反)=cX

464°

由于甲、乙射擊相互獨(dú)立,

827j

故戶(hù)(4民)=尸(4)尸(8)=有X—=-.

ZI04o

所以?xún)扇烁魃鋼?次，甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)3次的概率為J.

O

由是651

口不：五

8

”,一題多變

若本例變?yōu)椤凹僭O(shè)每人連續(xù)2次未擊中目標(biāo)，則終止其射擊”.那么，乙恰好射擊5次后，

被終止射擊的概率為多少？

【解析】記“乙恰好射擊5次后，被終止射擊”為事件4,“乙第i次射擊未擊中”為事件

2,3,4,5),則4="〃萬(wàn)3c57D,U-^2D,UD7D.),且尸(〃)=；.由于各事

件相互獨(dú)立，故尸(4)=P(4)P(㈤尸(。3)

————1131145

P(D2D,+D2〃+2D,)=-x-X：X(1--X-)=?.

45

所以乙恰好射擊5次后，被終止射擊的概率為「會(huì).

?角度2二項(xiàng)分布

［典例2］某省在新高考改革中，明確高考考試科目由語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)3科，及考生在政治、

歷史、地理、物理、化學(xué)、生物6個(gè)科目中自主選擇的3科組成，不分文理科.假設(shè)6個(gè)自

主選擇的科目中每科被選擇的可能性相等，每位學(xué)生選擇每個(gè)科目互不影響，甲、乙、丙為

某中學(xué)高一年級(jí)的3名學(xué)生.

(1)求這3名學(xué)生都選擇物理的概率；

⑵設(shè)才為這3名學(xué)生中選擇物理的人數(shù)，求才的分布列，并求以才.

【解析】(1)設(shè)“這3名學(xué)生都選擇物理”為事件依題意得每位學(xué)生選擇物理的概率都為

1m311

5，故產(chǎn)(4)=5=-，即這3名學(xué)生都選擇物理的概率為6.

Z\￡Joo

(2)1的所有可能取值為0,1,2,3,

由題意知3,

pgo)=q出3@0=1,

P(i=i)=q冏2&i=1,

/V=2)=C，313)2=t，

尸(『)=￡冏°國(guó)3-

所以才的分布列為

X0123

133i

p

8888

13313

=0X-+1X-+2X-+3X-=-.

ooooZ

,規(guī)律方法

1.〃重伯努利試驗(yàn)概率求解的策略

(1)首先判斷問(wèn)題中涉及的試驗(yàn)是否為〃重伯努利試驗(yàn)，判斷時(shí)注意各次試驗(yàn)之間是否相互獨(dú)

立，并且每次試驗(yàn)的結(jié)果是否只有兩種，在任何一次試驗(yàn)中，某一事件發(fā)生的概率是否都相

等，全部滿(mǎn)足〃重伯努利試驗(yàn)的要求才能用相關(guān)公式求解.

(2)解此類(lèi)題時(shí)常用互斥事件概率加法公式，相互獨(dú)立事件概率乘法公式及對(duì)立事件的概率公

式.

k

2.概率模型滿(mǎn)足公式尸CT=a=c的三個(gè)條件：

n

(1)在一次試驗(yàn)中某事件［發(fā)生的概率是一個(gè)常數(shù)P；(2)/7次試驗(yàn)不僅是在完全相同的情況下

進(jìn)行的重復(fù)試驗(yàn)，而且各次試驗(yàn)的結(jié)果是相互獨(dú)立的；

⑶該公式表示〃次試驗(yàn)中事件力恰好發(fā)生了A次的概率.

歲多維訓(xùn)練

1.設(shè)h8(4,p),其中;QI，且〃(1=2)=段,則尸(才=3)=()

816832

A——R——r——n——

81812781

2

84

【解析】選D.因?yàn)閔3(4,p),所以尸(￥=2)=Qp2(l—p)~=—,所以02(1一0尸=諭.

4乙IO1

192

因?yàn)?〈K1，所以。(1—。)=3，所以。，

乙<7O

..'3,.,⑵3132

產(chǎn)(才=3)=q0(1—p)=4x|jJx-=—.

2.為了防止受到核污染的產(chǎn)品影響我國(guó)民眾的身體健康，要求產(chǎn)品在進(jìn)入市場(chǎng)前必須進(jìn)行兩

輪核輻射檢測(cè)，只有兩輪都合格才能進(jìn)行銷(xiāo)售，否則不能銷(xiāo)售.已知某產(chǎn)品第一輪檢測(cè)不合

格的概率為:，第二輪檢測(cè)不合格的概率為白，兩輪檢測(cè)是否合格相互沒(méi)有影響.若產(chǎn)品可

以銷(xiāo)售，則每件產(chǎn)品獲利40元；若產(chǎn)品不能銷(xiāo)售，則每件產(chǎn)品虧損80元.已知一箱中有4

件產(chǎn)品，記一箱產(chǎn)品獲利4元，則尸(后一80)=.

113

【解析】由題意得該產(chǎn)品能銷(xiāo)售的概率為(1一國(guó))(1-7T)=7.易知X的所有可能取值為

6104

-320,-200,-80,40,160.

設(shè)f表示一箱產(chǎn)品中可以銷(xiāo)售的件數(shù)，則f?，4,1

所以0(f=Q=q倬)4-k

工12__27_

所以尸(才=-80)=尸(f=2)=q[J習(xí)=128

AJ=40)=Af=3)=c30127

64

尸(,才=160、)=尸/(,54、)=￡⑶b4七mJ0=標(biāo)81.

故^-80)=W=-80)+W=40)+W=160)=-.

3.(2021?青島模擬)某社區(qū)組織開(kāi)展“掃黑除惡”宣傳活動(dòng)，為鼓勵(lì)更多的人積極參與到宣

傳活動(dòng)中來(lái)，宣傳活動(dòng)現(xiàn)場(chǎng)設(shè)置了抽獎(jiǎng)環(huán)節(jié).在盒中裝有9張大小相同的精美卡片，卡片上

分別印有“掃黑除惡利國(guó)利民”或“普法宣傳人人參與"圖案.抽獎(jiǎng)規(guī)則：參加者從盒中抽

取卡片兩張，若抽到兩張分別是“普法宣傳人人參與”和“掃黑除惡利國(guó)利民”卡即可獲獎(jiǎng),

否則，均為不獲獎(jiǎng).卡片用后放回盒子，下一位參加者繼續(xù)重復(fù)進(jìn)行.活動(dòng)開(kāi)始后，一位參

加者問(wèn)：''盒中有幾張'普法宣傳人人參與'卡？”主持人答：“我只知道，從盒中抽取兩張

都是‘掃黑除惡利國(guó)利民'卡的概率是1.”

(1)求抽獎(jiǎng)獲獎(jiǎng)的概率；

(2)為了增加抽獎(jiǎng)的趣味性，規(guī)定每個(gè)抽獎(jiǎng)?wù)呦葟难b有9張卡片的盒中隨機(jī)抽出1張不放回，

再用剩下8張卡片按照之前的抽獎(jiǎng)規(guī)則進(jìn)行抽獎(jiǎng)，現(xiàn)有甲、乙、丙三人依次抽獎(jiǎng)，用X表示

獲獎(jiǎng)的人數(shù)，求X的分布列和均值.

【解析】⑴設(shè)“掃黑除惡利國(guó)利民”卡有n張，由與,得n=4,故“普法宣傳人人參

(Zo

與”卡有5張，抽獎(jiǎng)?wù)攉@獎(jiǎng)的概率為二u=§?

4dd+55…<5、

(2)在新規(guī)則下，每個(gè)抽獎(jiǎng)?wù)攉@獎(jiǎng)的概率為§X--9*丁=9'所以X-B(3,-

3—k

即P(X=k)=C'(k=0,1,2,3),

X的分布列為

X0123

6480100125

p

729243243729

55

所以E(X)=3X-=-.

v/O

教師

專(zhuān)用

某公司招聘員工，先由兩位專(zhuān)家面試，若兩位專(zhuān)家都同意通過(guò)，則視作通過(guò)初審予以錄用；

若這兩位專(zhuān)家都未同意通過(guò)，則視作未通過(guò)初審不予錄用；當(dāng)這兩位專(zhuān)家意見(jiàn)不一致時(shí)，再

由第三位專(zhuān)家進(jìn)行復(fù)審，若能通過(guò)復(fù)審則予以錄用，否則不予錄用.設(shè)應(yīng)聘人員獲得每位初

13

審專(zhuān)家通過(guò)的概率均為5,復(fù)審能通過(guò)的概率為行，各專(zhuān)家評(píng)審的結(jié)果相互獨(dú)立.

(1)求某應(yīng)聘人員被錄用的概率；

(2)若4人應(yīng)聘，設(shè)X為被錄用的人數(shù)，試求隨機(jī)變量X的分布列.

【解析】設(shè)“兩位專(zhuān)家都同意通過(guò)”為事件A,“只有一位專(zhuān)家同意通過(guò)”為事件B,“通過(guò)復(fù)

審”為事件C.

(1)設(shè)“某應(yīng)聘人員被錄用”為事件D,

則D=AUBC.因?yàn)镻(A),

/、1fH1/、3

P(B)=2X-X1--=-,P(C)=—,

乙、乙,乙L\J

2

所以P(D)=P(AUBC)=P(A)+P(B)P(C)=E.

□

(2)根據(jù)題意，X=0,1,2,3,4,且X?B(4,|),

凡表示“應(yīng)聘的4人中恰有i人被錄用"(i=0,1,2,3,4).

⑶48]

因?yàn)閜(A0)=q=—,

1

2216

P(A)=￡X5X

4(IJ-625，

2

2'I"2216

PAC

(2)=-625，

3

3396

PAC

(3)=八5-625'

44016

P(A,)=C

4-625'

所以X的分布列為

X01234

812162169616

n

1625625625625625

7考點(diǎn)二超幾何分布講練互動(dòng)

[典例3](1)一個(gè)袋子中有4個(gè)紅球，3個(gè)黑球，小明從袋中隨機(jī)取球，設(shè)取到一個(gè)紅球得2

分，取到一個(gè)黑球得1分，從袋中任取4個(gè)球，則小明得分大于6分的概率是()

13141822

A'35B'35C'35D'35

【解析】選4記得分為X,則X=5,6,7,8.

/、。C12,、。41

P(X=7)=—=訪(fǎng);P(X=8)=-=訪(fǎng)?

19113

所以P(X>6)=P(X=7)+P(X=8)+77=—.

(2)某大學(xué)生志愿者協(xié)會(huì)有6名男同學(xué)，4名女同學(xué).在這10名同學(xué)中，3名同學(xué)來(lái)自數(shù)學(xué)學(xué)

院，其余7名同學(xué)來(lái)自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個(gè)學(xué)院.現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取

3名同學(xué)，到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動(dòng)(每位同學(xué)被選到的可能性相同).

①求選出的3名同學(xué)是來(lái)自互不相同的學(xué)院的概率；

②設(shè)X為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列及期望.

【解析】①設(shè)“選出的3名同學(xué)是來(lái)自互不相同的學(xué)院”為事件A,則P(A)=」7——

“10

49

60'

所以選出的3名同學(xué)是來(lái)自互不相同的學(xué)院的概率為右.

②隨機(jī)變量X的所有可能值為0,1,2,3.

P(x=k)=4

(k=0,1,2,3).

加0

故p(x=o)=^yr-i,、《。

=?（x=D=丁=5

1

p(x=2)=ir=T3,p(x=3)=方

301

求超幾何分布的分布列及期望的步驟

驗(yàn)證隨機(jī)變量服從超幾何分布,并確定參

數(shù)的值

根據(jù)超幾何分布的概率計(jì)算公式計(jì)算出隨

機(jī)變量取每一個(gè)值時(shí)的概率

第三分一用表格的形式列出分布列

用期望的定義或超幾何分布的期望公式

—求解

/對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練

1.（多選題）袋中有除顏色外完全相同的3個(gè)白球和2個(gè)紅球，從中任取2個(gè)球，則下列正確

的是（）

A.都不是白球的概率為七

3

A恰有1個(gè)白球的概率為三

C.至少有1個(gè)白球的概率為上

7

D.至多有1個(gè)白球的概率為正

c?]dd3

【解析】選/被P(都不是白球)=<=7T，P(恰有1個(gè)白球)=「P(至少有1個(gè)

G1。G5

白d球,d+():=訕9,P(至多有1個(gè)白球)=c生+C父-C=正7

2.為推動(dòng)羽毛球運(yùn)動(dòng)的發(fā)展，某羽毛球比賽允許不同協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員組隊(duì)參加.現(xiàn)有來(lái)自甲協(xié)

會(huì)的運(yùn)動(dòng)員3名，其中種子選手2名；乙協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員5名，其中種子選手3名.從這8名

運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)選擇4人參加比賽.

⑴設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來(lái)自同一個(gè)協(xié)會(huì)”，求

事件A發(fā)生的概率；

⑵設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列，并求E(X).

【解析】(1)由已知，有P(析=￡?

所以事件A發(fā)生的概率為捻.

⑵隨機(jī)變量X的所有可能取值為1,2,3,4.

P(X=k)=——(k=l,2,3,4).

P(X=1)=片，。=逋1，p(x=",者《=不3，

,、,43,、C。1

p(x=3)=-=7*p(x=4)=-=Ii-

所以隨機(jī)變量x的分布列為

X1234

1331

p

147714

b-13.3,15

所以E(X)=1XR4-2X-+3X-+4X—=-.

(另法：E(X)=1)

oZ

教師

專(zhuān)用【加練備選】

某外語(yǔ)學(xué)校的一個(gè)社團(tuán)中有7名同學(xué)，其中2人只會(huì)法語(yǔ)，2人只會(huì)英語(yǔ)，3人既會(huì)法語(yǔ)又

會(huì)英語(yǔ)，現(xiàn)選派3人到法國(guó)的學(xué)校交流訪(fǎng)問(wèn).求：

(1)在選派的3人中恰有2人會(huì)法語(yǔ)的概率；

(2)在選派的3人中既會(huì)法語(yǔ)又會(huì)英語(yǔ)的人數(shù)X的分布列與期望.

。d4

【解析】(1)事件A"選派的三人中恰有2人會(huì)法語(yǔ)”的概率為P(A)=—1=-.

(2)X的取值為0,1,2,3.則

/、44/、《C18

P(X=0)=~r=—，P(X=1)=--；-=—，

G3bQ3b

P(X="等藍(lán)，P(X=3)=才=話(huà).

所以分布列為

X0123

418121

P

35353535

,、18,12,19

E(X)=1X—+2X—+3X—=-.

3535357

J考點(diǎn)三正態(tài)分布|講練藐

[典例4](1)(多選題)(2021?泰安模擬)“雜交水稻之父”袁隆平一生致力于雜交水稻技術(shù)的

研究、應(yīng)用與推廣，發(fā)明了“三系法”釉型雜交水稻，成功研究出“兩系法”雜交水稻，創(chuàng)

建了超級(jí)雜交稻技術(shù)體系，為我國(guó)糧食安全、農(nóng)業(yè)科學(xué)發(fā)展和世界糧食供給做出了杰出貢

獻(xiàn).某雜交水稻種植研究所調(diào)查某地水稻的株高，得出株高X(單位：cm)服從正態(tài)分布，其

1/-I八八\2

密度函數(shù)為f(x)=-L?e--2szk-，xw(—8,+8),則下列說(shuō)法正確的是()

A.該地水稻的平均株高為100cm

B.該地水稻株高的方差為10cm

C.隨機(jī)測(cè)量一株水稻，其株高在120讖以上的概率比株高在70防以下的概率大

D.隨機(jī)測(cè)量一株水稻，其株高在(80,90)和在(100,110)之間的概率一樣大

j(V—U)~

【解析】選4C正態(tài)分布密度函數(shù)為f(x)=7言I?e——T—，xw(—8,+8),

由題意知u=100,。2=100,所以該地水稻的平均株高為100cm,方差為100,故/正確，

8錯(cuò)誤；因?yàn)檎龖B(tài)分布密度曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)x=100對(duì)稱(chēng)，所以P(X>120)=P(XV80)>P(XV70),

故。正確;P(100<X<110)=P(90<X<100)>P(80<X<90),故〃錯(cuò)誤.

(2)為了解高三復(fù)習(xí)備考情況，其校組織了一次階段考試.若高三全體考生的數(shù)學(xué)成績(jī)近似服

從正態(tài)分布N(100,17.51已知成績(jī)?cè)?17.5分以上(不含117.5分)的學(xué)生有80人，則此次

參加考試的學(xué)生成績(jī)低于82.5分的概率為；如果成績(jī)大于135分的為特別優(yōu)秀，那

么本次數(shù)學(xué)考試成績(jī)特別優(yōu)秀的大約有人.(若X?N(u,。2),則P(u—QWXW

口+o)=0.68,P(口一2oWXW口+2o)%0.96)

【解析】因?yàn)閿?shù)學(xué)成績(jī)X服從正態(tài)分布正100,17.5%

則P(100-17.5^X^100+17.5)=P(82.5WXW117.5)?0.68,

所以此次參加考試的學(xué)生成績(jī)低于82.5分的概率

1-P(82.5^X^117.5)

P(X<82.5)==0.16.

2

又P(100-17.5X2WXW100+17.5X2)=P(65WXW135)=0.96,所以數(shù)學(xué)成績(jī)特別優(yōu)秀的

1-P(65WXW135)1-0.96

概率P(X>135)=&----=---0---.----0---2--.

2

又P(X〈82.5)=P(X>117.5)=0.16,則本次考試數(shù)學(xué)成績(jī)特別優(yōu)秀的人數(shù)大約是照X0.02