2023年人教版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第二部分考點(diǎn)培優(yōu)訓(xùn)練 考點(diǎn)二十七平面向量的概念及線性運(yùn)算

二十七平面向量的概念及線性運(yùn)算

基礎(chǔ)落實(shí)練。30分鐘60分

一、單選題（每小題5分，共20分）

1.化簡(jiǎn)能-AC-BC=（）

A.2BCB.0

C.-2BCD.2AC

【解析】選C.因?yàn)橛?AC-BC=CB-BC

=-2BC.

2.下列敘述正確的是（）

A.若非零向量a與8的方向相同或相反，則a+6與a,6其中之一的方向相同

B./a/+〃/=/a+b/=a與6的方向相同

C.AB+BA=0

D.若HW0,Aa=Ab,則a=,

【解析】選D.對(duì)于A,當(dāng)a+b=0時(shí)，其方向任意，它與a,b的方向都不相同；對(duì)于B,當(dāng)

a,6中有一個(gè)為零向量時(shí)結(jié)論不成立；對(duì)于C,因?yàn)閮蓚€(gè)向量之和仍是一個(gè)向量，所以瀛十

BA=0；對(duì)于D,4（&一加=0時(shí)，因?yàn)閄W0,所以此時(shí)一定有a=〃

|教師|

【加練備選】下列說(shuō)法正確的是（）

A.方向相同或相反的向量是平行向量

B.零向量是0

C.長(zhǎng)度相等的向量叫做相等向量

D.共線向量是在一條直線上的向量

【解析】選B.對(duì)于選項(xiàng)A,因?yàn)榉较蛳嗤蛳喾吹姆橇阆蛄渴瞧叫邢蛄浚栽撜f(shuō)法錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B,因?yàn)榱阆蛄烤褪?,所以該說(shuō)法正確；對(duì)于選項(xiàng)C,方向相同且長(zhǎng)度相等的向量

叫相等向量，所以該說(shuō)法錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D,共線向量所在直線可能重合，也可能平行，所

以該說(shuō)法錯(cuò)誤.

3.（2021?威海模擬）設(shè)a,b不共線，AB=2a+pb,BC=a+b,CD=a-2b,若A,B,D

三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)0的值為()

A.12B.11C.1D.2

【解析】選B.因?yàn)榉?=a+b,CD=a—2b,所以詼=BC+CD=2a-b.

又因?yàn)?,B,〃三點(diǎn)共線，所以焉，應(yīng)共線.

設(shè)血=入面),

所以2a+pb=4(2a—6),

所以2=24，0=一4，即4=1,0=—1.

4.已知0,A,8是平面上的三個(gè)點(diǎn)，直線46上有一點(diǎn)C,滿足衣+3CB=0,則布=()

A.；游一,~OCB.~OA+；OC

2一1一1一2一

C.-OA一鼻OCD.鼻力+-OC

oooo

【解析】選D.因?yàn)橹本€上一點(diǎn)。滿足於+3為=0,

則位置關(guān)系可用如圖表示：

B(

所以8為線段力。上靠近C的三等分點(diǎn)，

則由平面向量的線性運(yùn)算可得

2

OB=OA+AB=OA+-AC

o

=0A+|(優(yōu)一灑)=：湯+|花.

|教師|

【加練備選】已知三角形/6C是等邊三角形，〃為的中點(diǎn)，點(diǎn)￡滿足2蘇'+BE=0,

則花=()

AB--：CDB.￡癥+,~CD

oooo

2一1一1一?2一

C.鼻AB一鼻CDD.-AB+鼻CD

OOOO

i99

【解析】選A.由2國(guó)+BE=0知宓=-CB,BE=~BC,所以宓=AB+BE=AB+-BC

ooo

=AB+|(BD+DC)=AB+

o

16拔一同=1廟—I"

二、多選題（每小題5分，共10分，全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0

分）

5.（2022?濟(jì)寧模擬）已知/,B,。是三個(gè)不同的點(diǎn)，OA=a-b,OB=2a-3b,OC=3a-

56,則下列結(jié)論正確的是（）

A.AC=2ABB.AB=BC

C.AC=3擊D.A,B,。三點(diǎn)共線

【解析】選ABD.由題可得筋=08一應(yīng)=a-2b,

AC=0C-OA=2a~4b,

BC=0C-OB=a~2b,

所以衣=2需，故A正確；

AB=BC,故B正確；

AC=2BC,故C錯(cuò)誤；

由充=2花可得花〃花，又1為公共點(diǎn)，故4B,。三點(diǎn)共線，故D正確.

6.（2022?德州模擬）有下列命題，其中是真命題的有（）

A.若貶〃而,貝I",B,C,〃四點(diǎn)共線

B.若法//~AC,則A,B,。三點(diǎn)共線

21

C.若e，魚(yú)為不共線的非零向量，a=4e,—~&i，b=~ei+—e,則

510z

D.若向量e,。是兩個(gè)不共線的向量，且滿足等式％e〔+A晶=0,則左=4=0

【解析】選BCD.根據(jù)共線向量的定義，若'而〃面,則切或4,B,C,〃四點(diǎn)共線，故

A錯(cuò)；

由法//1C且拔,AC有公共點(diǎn)A,則A,B,。三點(diǎn)共線，故B正確；

由a=4?—，&=一41一良+京ej=-4b,所以a〃Z>,故C正確，

若條件等量關(guān)系中系數(shù)不都為0,則e與質(zhì)共線，與已知矛盾，故D正確.

三、填空題（每小題5分，共10分）

7.在如圖所示的方格紙中，向量a,b,c的起點(diǎn)和終點(diǎn)均在格點(diǎn)（小正方形頂點(diǎn)）上，若c與

V

xa+yb{x,y為非零實(shí)數(shù)）共線，則：的值為.

【解析】設(shè)e,。分別為水平方向（向右）與豎直方向（向上）的單位向量，則向量c=e—2a，

a=2e+e.,b=-2e]—2ei,由c與xa+yb共線，得c=H（xa+yb）,所以0一2e=2H（x

—y）4（*一2力

「3

24（x—y）=1,所以I「

所以

兒（x一2y）=一2,5

尸打

v6

則7的值為g.

_.6

答案：5

8.（2021?唐山模擬）在直角梯形力靦中，ZA=90°,N8=30°,AB=2小,BC=2,點(diǎn)E

在線段CD上,若定=AD+nAB,則〃的取值范圍是.

【解析】由已知AD=\,CD=木,所以拔=2DC.因?yàn)辄c(diǎn)E在線段CD上,所以龐=入欣（0

WaWl).

因?yàn)辇?AD+應(yīng)，

又花=AD+uAB=AD+2n~DC=AD+"DE，

所以華=1,即z/=v.因?yàn)镺W4Wl,所以ow〃w：.

―「r

答案：0,-

局同【加練備選】若|質(zhì)1=1衣\=\AB-AC|=2,則

\AB+AC|=.

【解析】因?yàn)镮宓\=\AC\=\AB—AC|=2,

所以△/員是邊長(zhǎng)為2的正三角形，

所以I而+衣|為△/回的邊比'上的高的2倍，所以|荔+AC[=2小.

答案：2小

四、解答題（每小題10分，共20分）

9.（2022?宣城模擬）我國(guó)東漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一幅“弦圖”給出了勾股

定理的證明，后人稱(chēng)其為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的

一個(gè)大正方形，如圖所示.在“趙爽弦圖”中，若比=a,BA=b,BE=3聲',用a,6表

示礪.

4/

C

2+:或=朋+1（磅+說(shuō)）=前+11澗葉可，

【解析】BF=BC+CF=￡

即帝=BC+|卜御+9卜

“一16f12fnr—16,12

解得郎=—BC+—BA，即跖=—a+~b.

10.(2022?青島模擬)如圖所示，已知在△/仍中，點(diǎn)。是以1為對(duì)稱(chēng)中心的點(diǎn)6的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),

OD=2場(chǎng)，〃。和OA交于點(diǎn)E,設(shè)誦I=a,OB=b.

⑴用a和。表示向量比,DC；

(2)若龍=AOA,求實(shí)數(shù)4的值.

【解析】⑴由題意知，/是寬的中點(diǎn)，且應(yīng)=鼻OB,由平行四邊形法則，OB+OC=2OA,

rr25

所以能=2OA-OB=2a~b,DC=OC-OD=(2a—6)一鼻b=2a~~b.

0J

5

(2)因?yàn)楦?〃比.又因?yàn)榉?=走一龐=(2a—b)一兒a=(2—4)a—8,DC=2a~~b,所

2—4—14

以=丁，所以.

255

-3

素養(yǎng)提升練2。分鐘4。分

1.(多選題)下列命題不正確的是()

A.向量a,8共線的充要條件是有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)4，使8=4a

B.在△/8C中，AB+比+CA=0

C.不等式〃a/—"〃《/a+6/W/a/+〃/中兩個(gè)等號(hào)不可能同時(shí)成立

D.若向量a,b不共線，則向量a+b與向量a—力必不共線

【解析】選ABC.對(duì)于A,當(dāng)a=0時(shí)，不成立，對(duì)于B,0應(yīng)為0；對(duì)于C,當(dāng)a與占有一個(gè)為

0或同時(shí)為0時(shí)，兩個(gè)等號(hào)同時(shí)成立，對(duì)于D.

因?yàn)橄蛄縜與6不共線，

所以向量a,b,a+b與a—力均不為零向量.

若a+b與a—6共線，

則存在實(shí)數(shù)4，使a+Z>=4(a—6),

g[J(4—1)a=(1+4)6,

?—1=0,

所以一1八此時(shí)4無(wú)解，故假設(shè)不成立,

\1+A=0,

即a+b與a—b不共線，故D正確.

2.已知平面內(nèi)一點(diǎn)P及叢ABC,若力+磅+PC=宓，則點(diǎn)夕與△四。的位置關(guān)系是（）

A.點(diǎn)尸在線段力8上B.點(diǎn)尸在線段勿上

C.點(diǎn)尸在線段〃'上D.點(diǎn)。在△力%外部

【解析】選C.由西+PB+PC=AB知，PA+PB+PC=PB-PA,即瓦'=~2PA,故點(diǎn)

P在線段4C上.

【加練備選】

如圖，在直角梯形46切中，AB=2AD=2DC,6為a1邊上一點(diǎn)，BC=3反',尸為力￡的中點(diǎn),

則帝=()

1一2一2一」一

A.-AB--ADB.--AB+~AD

OOoo

1一I2一2一1一

C.—~AB+彳ADD.-AB--AD

oJOO

【解析】選B.根據(jù)平面向量的運(yùn)算法則得

BF=}:BABE,BE=^BC,BC=AC-AB.

乙乙o

因?yàn)橐?AD+DC,DCAB,

所以赤=—1+|(應(yīng)葉g荔一荔

2f1一

=--AB+-AD.

oo

3.（能力挑戰(zhàn)題）直線/上有不同的三點(diǎn)4B,C,。是直線/外一點(diǎn)，對(duì)于向量湯=（l-cos

a）宓+sinaOC（a是銳角）總成立，則。=

【解析】因?yàn)橹本€/上有不同的三點(diǎn)4B,C,

所以存在實(shí)數(shù)4，使得切=入祀,

所以湯-OB=A0C-OB),

即9=(1-4)南+AOC,

1―4=1-COSo,

所以I,所以sina=cosa,

.4=sina,

因?yàn)閍是銳角，所以a=45°.

答案：45°

4.在AABC中，點(diǎn)M,N滿足前/=2沅，夙,=苑.若麻=血+屈，則x=；y

【解析】MN=MC+CN

=；AC+；&=；AC+；(AB—AC)

==ABAC=xAB+yAC,

26

所以x=<,y=—I.

/b

田生11

廣某：2-6

5.在△/比'中，及是兒?邊上一點(diǎn)且就，=-NC,P是上一點(diǎn)，若亦=mAB+§衣，求

實(shí)數(shù)加的值.

?11■22

【解析】因?yàn)榍?-NC,所以蘇，=-AC,所以9=mAB+-AC=mAB+鼻AN,因?yàn)镻