2023年（全國乙卷）理科數(shù)學模擬試卷十二（學生版+解析版）

保密★啟用前

2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試模擬卷十二

（全國乙卷?理科）

題號一二三總分

得分

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡

上.寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

評卷人得分

一、單選題（本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小

題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）

1.設(shè)集合4={x|%2-3x+2<0},8={x|l<x<3),則()

A.A=BB.A^BC.AQBD.4nB=。

2.已知命題%2-%+a>0,若-ip為真命題，則實數(shù)a的取值范圍是（）

a>7D.

A.a>74B.4

3.等差數(shù)列｛時｝的前n項和為Sn,若即=11，則S13=（)

A.66B.99C.110D.143

4.已知t>0,則丫=2竺11的最小值為（）

A.-2C.1D.2

5.執(zhí)行如圖的程序框圖，若輸入的々=0,。=0,則輸出

的人為（）

A.2

B.3

C.4

D.5

6.已知tana,tan￡是方程%24-3%-2=0的兩根，且G（0,加），則a+￡的值為（）

A.7B.?C.乎D.?

4444

7.曲線C：y=短在點4處的切線I恰好經(jīng)過坐標原點，則曲線C、直線hy軸所圍成的

圖形面積為（）

A.y-1B.；+1C.：D.|-1

8.已知3>0,函數(shù)/0）=25皿（3久+9-1在區(qū)間（］兀）上單調(diào)遞減，則3的取值范

圍是（）

A?昵］B.盟］C.（0,|］D.（。,2］

9.2019年7月，中國良渚古城遺址獲準列入世界遺產(chǎn)名錄，標志著中華五千年文明史

得到國際社會認可.考古科學家在測定遺址年齡的過程中利用了“放射性物質(zhì)因衰

變而減少”這一規(guī)律.已知樣本中碳14的質(zhì)量N隨時間t（單位：年）的衰變規(guī)律滿足

N=No?2-島（M表示碳14原有的質(zhì)量）.經(jīng)過測定，良渚古城遺址文物樣本中碳14

的質(zhì)量是原來的;至|,據(jù)此推測良渚古城存在的時期距今約（）年到5730年之間？

（參考數(shù)據(jù)：log2?1.6,log2?2.3）

A.4011B.3438C.2865D.2292

10.某市有4,B,C,D,E五所學校參加中學生體質(zhì)抽測挑戰(zhàn)賽，決出第一名到第五

名的名次乂校領(lǐng)導和B校領(lǐng)導去詢問成績，回答者對4校領(lǐng)導說“很遺憾，你和B校

都沒有得到第一名”，對B校領(lǐng)導說“你也不是最后一名”.從這兩個回答分析，這

五個學校的名次排列的不同情況共有（）

A.27種B.36種C.54種D.72種

11.古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯的著作胭錐曲線論少是古代世界光輝的科學成果，它將

圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個命題：

平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)>。且k*1）的點的軌跡是圓，后人將之稱為

阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有橢圓「三+4=l（a>b>0）,48為橢圓「長軸的端點，C,

0為橢圓r短軸的端點，動點M滿足翳=2,/kMAB的面積的最大值為8,△MCD的

面積的最小值為I,則橢圓r的離心率為（）

12.設(shè)函數(shù)/(x)=F-t(lnx+x+|)恰有兩個極值點，則實數(shù)t的取值范圍是()

A.(-00,i]B.&+8)

C.(1-|)U6,+°°)D.(-00,|]U(|,+8)

評卷人得分

二、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)

13.已知向量五=(1,幻，方=(k,3)，若方與方方向相同，則k等于.

14.已知等比數(shù)列｛冊｝共有2n項，其和為-240,且奇數(shù)項的和比偶數(shù)項的和大80,則

公比q—.

15.在棱長為4的正方體力BCD-4/1C/i中，E為棱BC的中點，以點E為球心，以VTU

為半徑的球的球面記為r,則直線BD1被r截得的線段長為.

16.體積為6的三棱錐P-4BC的頂點都在球。的球面上，平面ABC,PA=2,

AABC=120°,則球。的體積最小值為.

評卷人得分三、解答題(共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算

步驟，第17-21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、

[]23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.)

(~)必考題：共60分

17.已知數(shù)列｛%｝滿足%=4,當n42時,an-(%+a?+…+an_i)=2"+】.

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項公式；

(2)若砥=詈，數(shù)列出“｝的前n項和為7n，求證：947n<1.

flun4

18.四面體4-BC0中，AB=AC=AD=BC=BD=3,E是48上一動點，F(xiàn)、G分別

是CD、EF的中點.

(1)當E是48中點，CO=3時，求證：DG1BC；

(2)AE=1,當四面體4-BCD體積最大時，求二面角。一CE-B的平面角的正弦

值.

19.某企業(yè)擁有3條相同的生產(chǎn)線，每條生產(chǎn)線每月至多出現(xiàn)一次故障.各條生產(chǎn)線是

否出現(xiàn)故障相互獨立，且出現(xiàn)故障的概率為也

(1)求該企業(yè)每月有且只有1條生產(chǎn)線出現(xiàn)故障的概率；

(2)為提高生產(chǎn)效益，該企業(yè)決定招聘n名維修工人及時對出現(xiàn)故障的生產(chǎn)線進行維

修.已知每名維修工人每月只有及時維修1條生產(chǎn)線的能力，且每月固定工資為1萬

元.此外，統(tǒng)計表明，每月在不出現(xiàn)故障的情況下，每條生產(chǎn)線創(chuàng)造12萬元的利潤；

如果出現(xiàn)故障能及時維修，每條生產(chǎn)線創(chuàng)造8萬元的利潤；如果出現(xiàn)故障不能及時

維修，該生產(chǎn)線將不創(chuàng)造利潤.以該企業(yè)每月實際獲利的期望值為決策依據(jù)，在律=

1與71=2之中選其一，應(yīng)選用哪個？(實際獲利=生產(chǎn)線創(chuàng)造利潤-維修工人工資)

20.在直角坐標系xOy中，動圓P與圓Q：(x-2)2+y2=1外切，且圓P與直線x=-1相

切，記動圓圓心P的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的軌跡方程；

(2)設(shè)過定點S(-2,0)的動直線2與曲線C交于力，B兩點，試問：在曲線C上是否存在

點M(與4,B兩點相異)，當直線M4MB的斜率存在時，直線M4,MB的斜率之和

為定值？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

21.已知函數(shù)/(%)=2nx+]aeR),且。=用函nxdx.

(1)判斷函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)若方程/(X)=HI有兩個根為X],%2)且叼<犯，求證：%1+%2>1-

(二)選考題:共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做.則按所做

的第一題計分.

［選修4-4:坐標系與參數(shù)方程］

22.在平面直角坐標系xOy中，曲線q的參數(shù)方程為為參數(shù))?以坐標原點0

為極點，x軸非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為P=6sin0.

(1)求曲線G的極坐標方程和曲線的直角坐標方程；

(2)若曲線G，C2交于4,B兩點，求|0*-|。8|的值.

［選修4—5:不等式選講］

23.已知函數(shù)/(%)=|x-1|+|x4-2|

(I)解關(guān)于％的不等式f(%)>4；

(II)若關(guān)于x的不等式f(%)>c恒成立，求實數(shù)c的取值范圍.

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2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試模擬卷十二

（全國乙卷?理科）

學校:姓名：班級:考號：

題號—?二三總分

得分

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫

在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

評卷人得分

一、單選題（本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給

出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）

24.設(shè)集合4={x|i-3x+2<0},B={X\1<X<3},貝！|（）

A.A=BB.C.AQBD.AnB=0

【答案】C

【解析】

【分析】

本題主要考查集合與集合之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

【解答】

解：A={x|x2-3x+2<0}={x[l<x<2},B={x|l<x<3）,所以4UB.

故選C.

25.己知命題p：VxeR,x2-x+a>0,若「p為真命題，則實數(shù)a的取值范圍是（）

A.a>-B.a>-C.a<-D.a<-

4444

【答案】c

【解析】

【分析】

本題考查命題的否定，解題的關(guān)鍵是寫出正確的特稱命題,并且根據(jù)這個命題是一個真命題,

得到判別式的情況.

據(jù)所給的全稱命題寫出他的否定，根據(jù)命題否定是真命題，得到判別式的情況，解不等式即

可.

【解答】

解：由題意可得，命題“任意實數(shù)X,使/+ax+1>0”的否定是存在實數(shù)%,使然+ax+

1<0,

由命題否定是真命題，可知A=l-4aN0

1

-?a<-

4

故選：c.

26.等差數(shù)列｛即｝的前律項和為%,若。7=11,則Si3=()

A.66B.99C.110D.143

【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查了等差數(shù)列的前n項和，是基礎(chǔ)題.

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可.

【解答】

_13(。1+￡113)_13X2(17

解：S[3=13a7=143.

22

故選：D.

27.已知￡>0,則丫=號11的最小值為()

A.—2B.1C.1D.2

【答案】A

【解析】

【分析】

本題主要考查利用基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題.

對原式進行化簡，利用基本不等式求最值即可.，注意等號取得的條件.

【解答】

解：t>0,貝ijy=￡lzi￡±l=t+A_4>2=

當且僅當即t=l時，等號成立，

則丫=二±1的最小值為一2.

故選A.

28.執(zhí)行如圖的程序框圖，若輸入的k=0,a=0,則輸出的k為

()

A.2

B.3

C.4

D.5

【答案】C

【解析】解：模擬程序的運行，可得

k=0,a=0

執(zhí)行循環(huán)體，a=l,k=1

執(zhí)行循環(huán)體，a=3,k—2

執(zhí)行循環(huán)體，a=7,k=3

執(zhí)行循環(huán)體，a=15,k=4

此時，滿足判斷框內(nèi)的條件a>10,退出循環(huán)，輸出k的值為4.

故選：C.

由已知中的程序語句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算a的值并輸出相應(yīng)變量k的值,

模擬程序的運行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案.

本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)模擬程序框圖的運行過程，以便得出正確的結(jié)論,

是基礎(chǔ)題.

29.已知tana,tan0是方程它+3%—2=0的兩根，且a,0e（0,乃）,則a+0的值為（）

A.9B.乎C.-D.?

4444

【答案】B

【解析】

【分析】

本題主要考查了方程的根與系數(shù)關(guān)系及兩角和的正切公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

由題意可得，fana+蔣n，=-3,然后結(jié)合兩角和的正切公式及角的范圍可求.

【解答】

解：由題意可得,｛需撰不

因為a,pE（0,7r）,設(shè)

則tana<0,tan/?>0,

故aW（］,江），6W（0,）］VQ+SV跌，

tana+tan/?

故tan(a+￡)=

1-tanatan/?

=島=-1，

所以a+/?=*.

故選：B.

30.曲線C：y=1在點4處的切線/恰好經(jīng)過坐標原點，則曲線C、直線hy軸所圍成的圖

形面積為（）

A.y-1B.f+1C.|D.1-1

【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查導數(shù)的幾何意義及定積分在幾何中的應(yīng)用，屬于中檔題.

利用導數(shù)的幾何意義求出切線，的方程，再由定積分求出面積即可.

【解答】

解：設(shè)切點4（尤0，蜻。），

則直線1的斜率卜=川『。=〃。,

??.，的方程為y=ex,

1xx2

S=f0(e-ex)dr=(e-|x)|J=|-1.

故選D.

31.已知3>0,函數(shù)/(x)=25E(3》+9-1在區(qū)間停,兀)上單調(diào)遞減，則3的取值范圍是

()

A.B.[1,|]c.(0,|]D.(0,2]

【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查了函數(shù)y=Asin^x+9）的單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題.

+》+而，

/口7TCO.7T.7T,7T

由1<X<7T,得-y+[V3%+zV7T3+7則,jj，解出即可.

開s+4《￡開+熟陽

【解答】

hTi-?i.?7T,口冗.7T,7T

解：3>0時，由:；<X<7T,得:-+;<3X+;<7T3+:,

22444

而函數(shù)y=sinx在區(qū)間（1+2版］k+2拈，，k￡Z上單調(diào)遞減,

手+A3淅

則<不31左eZ,解得?的取值范圍是：+4k43（工+2/c,keZ,

肢+彳C-w+2kw,

又3>0,取/c=0,得［434￡

故選A.

32.2019年7月，中國良渚古城遺址獲準列入世界遺產(chǎn)名錄，標志著中華五千年文明史得到

國際社會認可.考古科學家在測定遺址年齡的過程中利用了“放射性物質(zhì)因衰變而減少”

這一規(guī)律.己知樣本中碳14的質(zhì)量N隨時間t（單位：年）的衰變規(guī)律滿足N=No-

2-品（%表示碳14原有的質(zhì)量）.經(jīng)過測定，良渚古城遺址文物樣本中碳14的質(zhì)量是原來

的捶|,據(jù)此推測良渚古城存在的時期距今約（）年到5730年之間？（參考數(shù)據(jù)：1叫，

1.6,log2x2.3）

A.4011B,3438C.2865D.2292

【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查利用數(shù)學知識解決實際問題，考查學生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)碳14的質(zhì)量是原來的;至：由工S2施S?，即可推算良渚古城存在的時期.

【解答】

解：因為碳14的質(zhì)量是原來的［至|,所以就

兩邊同時取以2為底的對數(shù)得—1<log22s73o<log2g

1

所以一4施工晦3-log25x-0.7,

所以4011<t<5730,

則推測良渚古城存在的時期距今約在4011年到5730年之間.

故選A.

33.某市有4,B,C,D,E五所學校參加中學生體質(zhì)抽測挑戰(zhàn)賽，決出第一名到第五名的

名次.4校領(lǐng)導和B校領(lǐng)導去詢問成績，回答者對4校領(lǐng)導說“很遺憾，你和B校都沒有得

到第一名”，對B校領(lǐng)導說“你也不是最后一名”.從這兩個回答分析，這五個學校的名

次排列的不同情況共有（）

A.27種B.36種C.54種D.72種

【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查排列、組合的應(yīng)用和分類與分步計數(shù)原理，關(guān)鍵是根據(jù)題意的敘述，確定甲乙的名

次情況，進而進行分類討論，是簡單題.

根據(jù)題意，分析可得，48都沒有得到冠軍，而B不是最后一名，分2種情況討論：①4是最

后一-名，則B可以為第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三個名次，②4不是最后一名，

4B需要排在第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三個名次，由加法原理計算可得答案.

【解答】

解：根據(jù)題意，AB都沒有得到第一名，而B不是最后一名，

分2種情況討論：

①4是最后一名，則B可以為第二、三、四名，即8有3種情況，

剩下的三人安排在其他三個名次，有&=6種情況，

此時有3x6=18種名次排列情況；

②4不是最后一名，48需要排在第二、三、四名，有照=6種情況，

剩下的三人安排在其他三個名次，有膽=6種情況，

此時有6x6=36種名次排列情況；

則一共有36+18=54種不同的名次排列情況.

34.古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯的著作胭錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，它將圓錐

曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個命題：平面內(nèi)與

兩定點距離的比為常數(shù)>0且k豐1）的點的軌跡是圓，后人將之稱為阿波羅尼斯

圓.現(xiàn)有橢圓門三+4=l（a>b>0）,A,B為橢圓「長軸的端點，C,。為橢圓「短

軸的端點，動點M滿足鬻=2,AMaB的面積的最大值為8,△MC。的面積的最小值

為1,則桶圓r的離心率為（）

A.立B.立C.立D.更

3322

【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查了橢圓離心率，動點軌跡，屬于中檔題.

求得定點時的軌跡方程0-號）2+丫2=噂，利用條件可得：x2axga=8,|x2hx|a=

1,解得a,b即可.

【解答】

解：設(shè)4(—a,0),B(Q,0),M(x,y),

??,動點M滿足儒=2,

則+a）2+y2=2j（x—a）2+y2,化簡得（刀—^）2+y2=中

二動點M的軌跡是以（半,0）為圓心，以?為半徑的圓，

??,△M4B面積的最大值為8,此時M普,岸），

△MCO面積的最小值為1,此時

-x2ax-cz=8?-x2bx-a—1,解得a=V6>b=—,

23232

橢圓的離心率為e=￡=11-^=立.

a7a22

故答案選：D.

35.設(shè)函數(shù)f（x）=§-t（lnx+x+|）恰有兩個極值點，則實數(shù)t的取值范圍是（）

A.（-°°,|]B.Q,+00）

C&￡）U（|，+8）D.（-oo.|]U（|,+co）

【答案】c

【解析】

【分析】

本題考查了函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和利用導數(shù)研究函數(shù)的

極值，屬于較綜合的中檔題.

利用導數(shù)研究函數(shù)的極值得方程r（x）=o在（0,+8）恰有兩個不同的解，由廣（乃=

竺竺儒N=0得x=1是它的一個解，另一個解方程9-t=0確定，且這個解不等于

1.令g（x）=￡（x>0）,利用導數(shù)求解即可.

【解答】

解：由題意知函數(shù)/（X）的定義域為（0,+8）,

_（x-l）[ex-t（x+2）]_（x-l）（x+2乂&-t）.

=,

因為函數(shù)/（X）恰有兩個極值點，

所以方程r（x）=o在（0,+8）恰有兩個不同的解，

顯然x=l是它的一個解，而另一個解由方程士-t=0確定，且這個解不等于1.

X+2

令9。）=總a>°〉則g'（x）=>。，

?X■十41人T4，

因此函數(shù)g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

從而g(x)>g(0)=i,且以1)=(

所以，當t>阻t打時,

即函數(shù)/'(x)=7-t(inx+x+：)恰有兩個極值點,

因此實數(shù)t的取值范圍是G，9U(|,+8).

故選C.

評卷人得分

二、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)

36.已知向量1=(l,k),b=(/c,3)>若方與方方向相同，則k等于.

【答案】V3

【解析】解：；向量五=(l,k)，b=(fc,3)?弓與石方向相同,

(k>0

1_fc,解得k=g.

Ik—3

故答案為：V3.

利用向量平行、向量同向的性質(zhì)直接求解.

本題考查向量平行、向量同向的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

37.已知等比數(shù)列｛an｝共有2n項，其和為-240,且奇數(shù)項的和比偶數(shù)項的和大80,則公比

q=?

【答案】2

【解析】

【分析】

本題主要考查等比數(shù)列，屬于中檔題.

根據(jù)題意列出關(guān)于奇數(shù)項的和與偶數(shù)項的和的方程組，再由勺=注，求出答案.

【解答】

解：設(shè)數(shù)列奇數(shù)項的和、偶數(shù)項的和分別為S奇，S偶.

由題意得］:奇::偶=-240,

。奇一J偶=80,

?0,S奇——80,S偶——160,

-160

???q=-------=Z.

S奇-80

故答案為2.

38.在棱長為4的正方體ABCD—A1B1C15中，E為棱的中點，以點E為球心，以再為半

徑的球的球面記為「則直線BD1被r截得的線段長為.

【答案】逅

3

【解析】

【分析】

本題以正方體為載體考查球的性質(zhì)，考查空間想象能力、計算能力，屬中檔題.

依題意轉(zhuǎn)化為求以aU為半徑的球面與對角面BCD14的截面圓的弦長即可.

【解答】

解：依題意，求以為半徑的球面與對角面BCD14的截面圓的弦長即可.

因為點E到直線的距離為點C到直線的距離的：，

即E到直線BD］的距離為呼X；竽

所以直線BO1被「截得的線段長為2.十嚕

故答案為跡.

3

39.體積為舊的三棱錐P-ABC的頂點都在球。的球面上，PA1平面ABC,PA=2,^ABC=

120。，則球。的體積最小值為.

【答案】竺巨“

3

【解析】

【分析】

本題考查棱錐與球的位置關(guān)系，正余弦定理解三角形，屬于中檔題.

根據(jù)余弦定理計算4c的最小值，從而得出外接球半徑的最小值，得出結(jié)論.

【解答】

解：3血=:SAABCeinl20°x2=-

???AB,BC=6,

???P41平面4BC,PA=2,

。到平面4BC的距離為d=\PA=1,

設(shè)△ABC的外接圓半徑為r,球。的半徑為R,R=Vr2+d2=VF7Tl，

由余弦定理可知，AC2=AB2+BC2-2AB-BC-cosl200=AB2+BC2+6>2AB-BC+

6=18,

當且僅當AB=BC=痣時等號成立，

:.AC>3A/2，

由正弦定理得2r=前2等=2乃，...「之6，

~2

/?>V7,當R=V7時，球。的體積取得最小值卜=(兀/?3=等!兀,

故答案為丑立兀.

3

評卷人得分三、解答題(共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算

步驟，第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、

23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.)

(-)必考題：共60分

n+1

40.已知數(shù)列｛即｝滿足的=4,當nN2時,an-(a2+a2-i----Fan-i)=2.

(1)求數(shù)列｛an｝的通項公式;

(2)若%=詈，數(shù)列｛&｝的前n項和為〃，求證：:《圖<L

【答案】解：(1)因為當71》2時，斯一(%+。2+“,+即-1)=2"+1,①

所以為1+1—(Q]+。2+…+a九)=2n+2>(2)

②—①得，即+i-冊一即=2n+2_2什1,即限】一2an=2計】，即貌-^=l(n>2),

又梟=2,。2=23,。2=12,所以|f一表=1,

所以數(shù)列｛罵｝是首項為2,公差為1的等差數(shù)列，

所以愛=2+(n-l)xl=n+l,所以即=(n+l)2n.

故數(shù)列｛〃｝的通項公式為即=(n+l)2n.

(2)由(1)知1怎=(71+1)2%

pr-p.,_n+2_n+2_(n+2)2-T_(7i+l)2n-n2r1_1__1________」

""n-na^-n(n+l)2n-n(n+l)2n-*12n-n(n+l)2n-12n-n2?i-(n+l)2n，

所以=瓦+慶+…+bn

1/I1\11

2x21\2x213x22/bi2rl一】(n4-l)2nJ

=1-(n+l)-2n<L

又數(shù)歹QW詢｝是遞減數(shù)列，所以』(士=:，

所以1一鬲詢“V.

故太心<1.

【解析】本題主要考查數(shù)列的遞推關(guān)系、數(shù)列的通項公式、裂項相消法求和等，考查的數(shù)學

核心素養(yǎng)是邏輯推理、數(shù)學運算.屬于較難題.

(1)根據(jù)原等式遞推，得到的+1和an之間的關(guān)系，然后得到數(shù)列｛段｝是等差數(shù)列，最后根據(jù)

等差數(shù)列的通項公式即可求解數(shù)列｛即｝的通項公式，也可將已知等式轉(zhuǎn)化為S”和又_1之間的

關(guān)系式，得到數(shù)列｛懸｝是等差數(shù)列，并求出S”再根據(jù)即和%之間的關(guān)系求出數(shù)列｛斯｝的

通項公式；

(2)先由(1)得到數(shù)列｛%｝的通項公式，并將其轉(zhuǎn)化為可以裂項的形式，再利用裂項相消法求

得%,最后根據(jù)數(shù)列的增減性即可證明.

41.四面體力-BCD^,ABAC=AD=BC=BD=3,E是ZB上一動點，尸、G分別是CD、

EF的中點.

C

(1)當E是AB中點，CD=3時，求證：DG1BC-,

(2)4E=1,當四面體A-BCD體積最大時，求二面角。一CE—B的平面角的正弦值.

【答案】(1)證明：CO=3,則四面體4-8C。為正四面體，頂點4在底面的射影。為底面正

三角形的中心，

連接B。并延長交CD于點F,建立以點。為原點，OF,Oy,。4為坐標軸的空間直角坐標系,

如圖所示，

?:AB=BC=AD=BC=CD=AC=3,BF=—,OF=-BF=—,OB=-BF=：.

2323

OA=A/6，

6(-V3,0,0).71(0,0,76),O((y,|,0),F(y,0,0),C(y,-j,0),

,..￡(一看0凈."(0,0冷，」.前=(苧,彳0)，加=(一今—|,分

Vsc.DG=2^x(-y)+(-1)(~|)+0=BC-i-DG，即BC1DG.

(2)如圖,

取AB的中點H,連接CH,DH,FH,

AB=AC=AD=BC=BD=3,

團ABC,4ABD均為等邊三角形，

AB1CH,AB1DH,

?:CHCDH=H,CH,DHu面CDH,

AB1W\CDH,

'?^A-BCD=^A-CDH+^B-CDH=3^BCDH'48，

設(shè)CF=x,

則CH?=DH2=BC2-BH?=9-(|)2=彳,FH=VCH2-CF2=-x2

VA-BCD=]SMCDH,AB=H,2x,Jy-x2-3=Jyx2-x4>

=腎7=卜(/一款+詈,

二當/=2,即久=力1時，四面體4-BCD體積有最大值，

84

此時，F(xiàn)H=VCW2-CF2=I--X2=—.?1.FH=CF,

\44

CDH為等腰直角三角形，CHLDH,

如圖，以，為坐標原點，HC為x軸，HD為y軸，”4為z軸，建立空間直角坐標系,

???AE=1,

???8(0,0,一|)，C(產(chǎn),0,0)，D(0,產(chǎn),0)，

1,3753V5c、二/3c1、二,3Mc3、

???CD=(^,^,0)，CE=(CB=(^,0,--)

設(shè)面CDE的法向量為1=(X],%,zi),由/2)=0,￡.CE=0得,

3V3,3y/3人

一_二與+7乃二。

2廠?胸=(1,1,3%),

3V3,1

一『1+巧=0n

設(shè)面BCE的法向量為Tn=(小,%曰?),由益?CB=0，薪-CE=0得，

3V33n

-----------%2------Z2—0

V2訪=(0,1,0).

_力^2+匕=0

2/2

【解析】本題主要考查了向量法證明線線垂直、二面角的平面角的正弦值，涉及三棱錐體積

的最大值問題，屬于較難題.

(1)根據(jù)條件知四面體為正四面體，所以頂點在底面的投影為底面的中心，建立空間直角坐

標系，求出相關(guān)線段的長度得到相應(yīng)的點的坐標，再求出相關(guān)點的坐標、相關(guān)向量的坐標后

利用向量的數(shù)量積即可證明.

(2)取4B的中點H,連接CH,FH,根據(jù)四面體的體積最大的條件求得CH_L結(jié)合

等腰三角形性質(zhì)及線面垂直的判定得到AB1面CDH,建立如圖所示的空間直角坐標系，分

別求出兩個平面的法向量后即可根據(jù)法向量求得二面角的余弦值，進而求得結(jié)果.

42.某企業(yè)擁有3條相同的生產(chǎn)線，每條生產(chǎn)線每月至多出現(xiàn)一次故障.各條生產(chǎn)線是否出

現(xiàn)故障相互獨立，且出現(xiàn)故障的概率為￡

(1)求該企業(yè)每月有且只有1條生產(chǎn)線出現(xiàn)故障的概率;

(2)為提高生產(chǎn)效益，該企業(yè)決定招聘n名維修工人及時對出現(xiàn)故障的生產(chǎn)線進行維

修.己知每名維修工人每月只有及時維修1條生產(chǎn)線的能力，且每月固定工資為1萬

元.此外，統(tǒng)計表明，每月在不出現(xiàn)故障的情況下，每條生產(chǎn)線創(chuàng)造12萬元的利潤；

如果出現(xiàn)故障能及時維修，每條生產(chǎn)線創(chuàng)造8萬元的利潤；如果出現(xiàn)故障不能及時維修,

該生產(chǎn)線將不創(chuàng)造利潤.以該企業(yè)每月實際獲利的期望值為決策依據(jù)，在n=l與n=2

之中選其一，應(yīng)選用哪個？(實際獲利=生產(chǎn)線創(chuàng)造利潤-維修工人工資)

【答案】解：(1)設(shè)3條生產(chǎn)線中出現(xiàn)故障的條數(shù)為X,

則X?8（33）,

因此P(X=I)=匱包包W

(2)①當n=l時，設(shè)該企業(yè)每月的實際獲利為A萬元.

若X=0,則匕=12x3-1=35;

若X=1,則匕=12X2+8X1—1=31：

若X=2,則匕=12x1+8x1+0x1-1=19；

若X=3,則匕=12x0+8x1+0x2-1=7；

又P（X=O）=酸（9°（|丫=畀

p（x=1）=G?g）212

27

26

P（X=2）=

I.1.27

吵=3)=洸)3(|)°嗎，

因此匕的分布列為:

A3531197

81261

P

27272727

此時，實際獲利匕的均值

E（匕）=35x—+31x—+19x—+7x—=—.

k172727272727

②當n=2時，設(shè)該企業(yè)每月的實際獲利為匕萬元.

若X=0,則匕=12x3—2=34；

若X=l,則七=12x2+8x1—2=30；

若X=2,則七=12x1+8X2—2=26；

若X=3,則為=12x0+8x2+0X1—2=14；

因此為的分布列為:

34302614

81261

p

27272727

此時，實際獲利七的均值

一

E(為)=34x—+30X-+,”26X—6,F14x——1=—802

'乙)2727272727

因為E(K)<E(匕).

于是以該企業(yè)每月實際獲利的期望值為決策依據(jù),

在n=1與n=2之中選其一，應(yīng)選用n=2.

【解析】本題考查二項分布、離散型隨機變量的分布列及隨機變量的期望與方差，考查了學

生的計算能力，培養(yǎng)了學生分析問題與解決問題的能力，屬于較難題.

(1)設(shè)3條生產(chǎn)線中出現(xiàn)故障的條數(shù)為X,則X?B(3,J,進而即可求得結(jié)果；

(2)分別求得n=1及ri=2時的期望進而即可求得結(jié)果.

43.在直角坐標系xOy中，動圓P與圓Q：。一2)2+y2=1外切，且圓p與直線久=一1相切,

記動圓圓心P的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的軌跡方程：

(2)設(shè)過定點S(-2,0)的動直線，與曲線C交于A,B兩點，試問：在曲線C上是否存在點M(

與A,B兩點相異)，當直線M4MB的斜率存在時，直線MA,MB的斜率之和為定值？

若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】解：(1)設(shè)動圓圓心為P(x,y),動圓圓心P到點Q(2,0)的距離與到直線x=-1距離差

為定圓半徑1,即動點P到頂點(2,0)的距離等于到定直線x=-2的距離，

根據(jù)圓拋物線的定義，動點P的軌跡是以定點(2,0)為焦點，直線》=-2為準線的拋物線，圓

心P的軌跡為曲線C的方程為：y2=8x.

(2))假設(shè)在曲線C上存在點M滿足題設(shè)條件，

不妨設(shè)M(xo，y())，BQ2，，2)：

yi-y。_8=%一出_8

,

yi+yox2-x0及+%；

8_8d+為+2為)

+=—+，①

yi+yoy?+yoyo+(%+力)％+力力

顯然動直線2的斜率非零，故可設(shè)其方程為％=ty-2,(tG/?),

聯(lián)立V=8x,整理得V-sty+16=0,

64t+16y

yi+丫丫丫力y2>代入式得目出0

2=8t,12=16,J-Lyj(J)4+據(jù)+8ty()+16'

顯然為H0?于是出為(%4+々MB)-64]t+*MB+kMA)(yQ+16)—16yo=0,②,

^yoC^MA+AMB)—64=0

欲使②式對任意teR成立，必有

+fcMB)Oo+16)-16y0=O'

1

???kMA+kMB=V=yi+16即據(jù)=16，%±4,

將此代入拋物線C的方程可求得滿足條件的M點坐標為(2,4),(2,-4),

綜上所述，存在點M(與A,B兩點相異)，其坐標為為(2,4),(2,-4),直線MA、MB的斜率

之和為定值.

【解析】本題考查拋物線的定義以及直線與拋物線的位置關(guān)系，運算能力，屬于綜合題.

(1)據(jù)圓錐曲線的定義，動點C的軌跡是以定點(2,0)為焦點，直線x=-2為準線的拋物線；

(2)假設(shè)在曲線C上存在點P滿足題設(shè)條件，不妨設(shè)M(g,y。)，4(xdi),B(x2,y2)^kMA=

。2-。0_88801+為+2'0)

=k,得AMA+I<MB—+,顯然動

XI-XQyi+yMB力+yo-yo+(yi+y2)yo+yiy2

0X2-X0yz+%yi+yo

直線l的斜率非零，故可設(shè)其方程為芯=?一2,(t€R),聯(lián)立y2=8x,整理得y2—8ty+

16=0,利用韋達定理求解.

44.已知函數(shù)/'(x)=frtx+*(aeR),且a=/：sinxdx.

(1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)若方程f(x)=m有兩個根為%i，x2)且<x2>求證：+x2>1.

【答案】解：(1)函數(shù)/'(X)的定義域：(0,+8),

因為a=Jj1sinxdx=(—cosx)|g=2.

1

尤)=Inx+為：?f'(x)=i2X-1

令(。)<0,解得故f(x)在(0*)上是單調(diào)遞減；

令/'(K)>0,解得X>],故/(X)在G，+8)上是單調(diào)遞增.

故/(X)在(0,｝上是單調(diào)遞減；在G，+8)上是單調(diào)遞增.

(2)由X1，次為函數(shù)/'(X)=zn的兩個零點，得+土=m,，n%2+圭=m,

兩式相減，可得In%-伍叼+專一《=0,即皿2=矢乎，x”2=普，

出一