2023課標(biāo)版數(shù)學(xué)高考第二輪復(fù)習(xí)-6數(shù)列求和、數(shù)列的綜合應(yīng)用

2023課標(biāo)版數(shù)學(xué)高考第二輪復(fù)習(xí)

6.4數(shù)列求和、數(shù)列的綜合應(yīng)用

三年模擬

一、選擇題

1.(2022云南二模,9)設(shè)等差數(shù)列｛a,J的前n項(xiàng)和為S..若a3-8,Ss=57,則數(shù)列1一一幅勺前n項(xiàng)和是

I即即+1J

()

A.—2—B.」一c.^-D.」一

?2n+3?3n+2*6n+4'6n+4

答案B設(shè)等差數(shù)列的公差為d,因?yàn)?/p>

所以=ri~da1八=I(7-7-2\)'

anan+1(3n-l)(3n+2)3\3n-l3n+27

2212

+X++

所以數(shù)列｛一一)的前3-3-8-3-

=2/1__1_\=n

3\23n+27-3n+2,

故選B.

2.(2022西南四省名校大聯(lián)考㈢，8)已知首項(xiàng)為g的數(shù)列｛a,,),對(duì)任意的nGN*,都有a0a*l,則

a2+ai+a6+?,?+&022二()

A.0B.-1011

C.1011D.2022

==n

答條Danan+il(D,?e?anHan+2l(2),/.Sn^O,由)得0+?.=1,即an=an+2,又.:31H2=1,且al=

5，a2=2,Ja2二二…二a2022=2,工a2+a.1+&+…+a?022=2022.故選D.

3.(2022昆明第一中學(xué)西山學(xué)校月考,7)已知數(shù)列｛aj的首項(xiàng)為10,且滿足2aM仇二6,其前n項(xiàng)和為Sn,

則滿足不等式圖可-鄧<圭的n的最小正整數(shù)值為()

A.9B.10C.11D.12

答案C由2a?+i+a?=6,即a+尸-2an+3,得an+1-2=-；(a?-2),而a-2=8,

第1頁(yè)共17頁(yè)

則數(shù)列區(qū)-2｝是以8為首項(xiàng),4為公比的等比數(shù)列，則a:2=8?(4)"，a?=8?“+2,于是得Sn=

端J+2n=2n+學(xué)一學(xué)?g)二由陽(yáng)2n-即<焉，得與?卜)|<募即竽?翼<圭，整

理得2">1024=2'°,nWN*,所以n211,所以n的最小正整數(shù)值為11.

故選C.

4.(2022江西二模,12)記數(shù)列｛3口中不超過(guò)正整數(shù)n的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為a?,設(shè)數(shù)列(a?｝的前n項(xiàng)的和為S,?

則S3k(k《N*)=()

A.(/c-j)-3k+2kB.(k-0-3k+k+|

C.(/c-|)-3k+7k-|D.(/c-|)-3k+|

答B(yǎng)ai=l,a2=1,a3=2,a1i=2,,,,,as=2,ag=3,

kk

當(dāng)nW[33)時(shí),an=k,cz3k=k+l,

所以S3LIX2+2X6+3X18+-+k(3-3k')+k+l

=2X3l'+4X3'+6X32+-+2k?3kl+k+l,

2k

IBTk=2X3°+4X3'+6X3+-+2k?3

23k

3Tk=2X3'+4X3+6X3+-+2(k-1)?3%2k?3,

兩式相減得-2Tk=2X3°+2X3'+2X32+“?+2X3k'-2k?3k=2X基一2k?3k,化簡(jiǎn)得Tk=-3k+1,

所以S3/C=(k-g)?3k+k+?.

故選B.

5.(2022豐臺(tái)一模,10)對(duì)任意rneN*,若遞增數(shù)列｛aj中不大于2m的項(xiàng)的個(gè)數(shù)恰為m,且a,+a2+-+an=100,

則n的最小值為()

A.8B.9C.10D.11

答案C由遞增數(shù)列⑸｝中不大于2m的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為m可知a.W2n,又ai+az+i+aFlOO,故

2+4+6+…+2n。100,即飛)??2ioo,解得n<土篝或n>土苧匹，又nGN*,故n的最小值為10.

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6.（2022平谷零模,8）已知公差不為零的等差數(shù)列區(qū)｝,首項(xiàng)由=-5,若a2,a?a,成等比數(shù)列,記

>

T?=ala2*-a?(n=l,2,…)，則數(shù)列｛T?｝()

A.有最小項(xiàng),無(wú)最大項(xiàng)B.有最大項(xiàng),無(wú)最小項(xiàng)

C.無(wú)最大項(xiàng),無(wú)最小項(xiàng)D.有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)

答案D設(shè)區(qū)｝的公差為d,

則(-5+d)(-5+4d)=(-5+3d)［解得d=l,

/.a?=-5+(n-l)Xl=n-6,

.*.T?=(-5)X(-4)X(-3)X(-2)X(-1)X0X1X-,

當(dāng)n=5時(shí),有最小值,當(dāng)n=4時(shí)有最大值.故選D.

7.(2022湖南衡陽(yáng)八中開(kāi)學(xué)考,4)定義:在數(shù)列｛a,,｝中，若滿足產(chǎn)-乎=d(nCN*,d為常數(shù))，稱｛an｝

Qn+1an

為“等差比數(shù)列“，已知在“等差比數(shù)列”｛an｝中,al=a2=1,a3=3,則生包等于()

a2019

A.4X20172-1B.4X2018-1

C.4X2019-1D.4X2020-1

答案C由題意得%=3,"=1,則也-"=2,根據(jù)”等差比數(shù)列”的定義可知數(shù)列轡耳是首項(xiàng)為1,

0-2ala2alIanJ

公差為2的等差數(shù)列，則皿=1+(n-1)x2=2n-1,所以但=2x2020-1=2x2019+

ana2020

1,^22=2X2019-1,

a2019

所以皿(2X2019+1)X(2X2019-1)=4X20192T，故選C.

a2019a2020a2019

8.(2022黑龍江哈爾濱三中二模,7)已知數(shù)列｛a?｝的前n項(xiàng)和為S,”滿足a,=l,&=3,2戶=歷7+

JSjj-l(fl、2),則022=()

A.4043B.4042

C.4041D.4040

答案A由2展^=JS催+i+JS"-i(n+2)知為等差數(shù)列，又同"=何'==

2,則公差d=1,所以7^=n,故Sn=n［貝［jSnT=(nT)“n22),可得an=S「SnT=rr'-(nT)J2nT,而a1=l也滿

足，所以a“=2n-l,nGN*,則a202z=2X2022-1=4043.故選A.

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9.(2022湖南邵陽(yáng)一模,8)高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家,近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào).

設(shè)xeR,用[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則f(x)=[x]稱為高斯函數(shù).已知數(shù)列｛a』滿足④=2,且

(n+l)a?,-na?=2n+l,若b?=[lga?],數(shù)列｛bj的前n項(xiàng)和為T?,則T2021=()

A.4950B.4953C.4956D.4959

答案C由(n+1)a?+1-na?=2n+1,a2=2可得a=1,根據(jù)累加法得

2

na?=na?-(n-1)a?-i+(n-1)a,,--(n-2)a?-2+---+2a2-a1+ai=n,所以a?=n,故b“=[lgn],當(dāng)1Wn<9時(shí),b“=0;當(dāng)

10Wn<99時(shí)，b“=l;當(dāng)100<nW999時(shí)，b“=2;當(dāng)1000WnW2021時(shí)，b.=3,因止匕工OZI=9O+9OO><2+1

022X3=4956.故選C.

二、填空題

10.(2022銀川一模,14)若數(shù)列區(qū)｝滿足&=一〒，貝擻列｛aj前15項(xiàng)的和^

l+y/n---------------

答案3

解析因?yàn)閍n=^==q^==y/n+1—y/n,所以S15=al4-a2+…+al5=(V2—VT)+(V3—V2)+

…+(V^6—V15)=A/T6_1=3.

11.(2022江西贛州一模,16)數(shù)列｛a“｝滿足a"*/?sin管)(nWN*),若數(shù)列瓜｝的前n項(xiàng)和為S”,則

S4O=.

答案-800

解析①+為后祐?sin(/)

fn2?sin得),n為奇數(shù)

[o,偽偶數(shù)，

則S4o=ai+a3+a5+""+a39

=rXsin—+32xsin+52xsin—+…+392xsin^—

=l2-32+52-72+-+372-392

=(1-3)(1+3)+(5-7)(5+7)+-+(37-39)(37+39)

=-2X(1+3+5+7+…+37+39)

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=-2X-1+^3X920=-800.

12.（2022重慶巴蜀中學(xué)3月適應(yīng)性月考（八），16）設(shè)xWR,[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù).設(shè)正項(xiàng)數(shù)列｛aj

滿足8s“=磷+4an(n￡N*),設(shè)數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和為Tn,且bn=則Rk.

yjan

答案5

解析由8S?=Q>4必知8SuFa"+4a『i,n22,兩式相減得-4an一4an-1=0,即(an+an-

l)(an—an—1—4)=0,因?yàn)閍n>0,所以an—an—1=4,n之2,令n=1,得al=4,所以｛an｝

是首項(xiàng)為4,公差為4的等差數(shù)列，故an=4n,bn=2.而不I-五=尸右<會(huì)<=

2>Jnvn+vn+127nVn+vn-1

Vn-/I,故屬-1<735<V35,故［T3s］=5.

13.(2022遼寧葫蘆島一模，15)已知數(shù)列｛aj,由=1,對(duì)于任意正整數(shù)m,n,都滿足a.,n=an+an+mn,則+

L+…+^_=

a2a2021

安2021

口木1011

解析令m=l,得an+Fai+an+n=l+an+n,所以an「an=n+1,貝［Jan-a?Fn,a?-「an2二n-l,...,a3-a2=3,a2-aF2,

zz>>ri(71

所以當(dāng)n22時(shí)，(a2-ai)+(a3-a2)+???+(an-an1)l+2^3+>+n-^\

又a,=l滿足上式,所以a“二用,neN*,

所以2=；^15=2G-+),則高+/+”，++=2(1彳+居+?“+焉_盛)

辿-益)=需?

三、解答題

2

14.（2022安徽安慶二模,17）已知數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和為S?,且滿足Sn=（n+l）a?-3,nGN*.

⑴求｛aj的通項(xiàng)公式；

⑵若b?=(2n+3)(-l)"an,求｛bn｝的前n項(xiàng)和T?.

解析(1)n=l時(shí),ai-4aj-3,解得ai-1.

2

當(dāng)n22,n￡N*時(shí),Sn-i=nan-i-3,

第5頁(yè)共17頁(yè)

22

故a.FSn-Sn-F(n+1)a,-na?-i,=號(hào)，

故a：L-^-??al=?...?|?|?1=:.又ai=l符合上式,

cin-ia?i-2。2n+2n+154(n+l)(n+2)

故｛a?｝的通項(xiàng)公式為a..=—^―,neN*.

(n+l)(n+Z)

⑵結(jié)合⑴得bn=(2n+3)(-l)"a?=6(T)"(擊+擊)，

所以Tn二b|+b2+???+bn

=礙+9+6(鴻)+…+6(-l)n島+全)

FT;

o-n

15.(2022山東濰坊二模,19)已知正項(xiàng)數(shù)列｛a,J的前n項(xiàng)和為S?,且嗎+2ali=4S?,數(shù)列｛b?｝滿足b?=(-2)T.

⑴求數(shù)列｛b?｝的前n項(xiàng)和B”并證明B?,?B“,B"?是等差數(shù)列；

(2)設(shè)c?=(-1)"a“+b”,求數(shù)歹(J｛cj的前n項(xiàng)和T?.

解析⑴成+2a1=4S?,

當(dāng)n=l時(shí),a：+2ai=4ai,所以a1=2或a(=0(舍),

當(dāng)n土2時(shí),碌i+2a”i=4S?T,

兩式相減得成-欣-i+2an-2anT=4S?-4s“i=4a?,

所以(an~~a?-i)(an+an-i)-2(an+a“-i).

又因?yàn)閿?shù)列｛a“｝的各項(xiàng)均為正，

所以a?-anl=2(n、2),故⑶｝是以2為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列，所以a,.=2n,則b?=(-2)",

則氏鼻押=-|+(-1加學(xué)

._,47n+3-2n+2

+-

因?yàn)锽n+2Bn+i--+(―l)n---------

=2仁+(孫守=2B”

所以B”B,”成等差數(shù)列.

⑵由⑴得c.=(-2)"+2(-l)"?n,

第6頁(yè)共17頁(yè)

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，

n

T?=Cl+c2+-+c?=(-2)'+(-2)2+…+(-2)+2[-1+2-3+4——(n-l)+n]=1-2n+n-|.

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，

1

T?=ci+c2+-+c?=(-2)+(-2)，…+(-2)"+2[-1+2-3+4--+(n-l)-n]=-|-2n-n-1.

~“(|飛+上初為偶數(shù)，

綜上，可知T“=f：

,2"-n-§,n為奇數(shù)

16.(2022河西一模，19)已知數(shù)列｛a,,)的前n項(xiàng)和為S?,a,=4,2S?=a?+l+2n-4(nWN*).

(1)求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式；

n

⑵求ESk的值；

k=l

⑶設(shè)b?=(+—J彳市+rJ不冠，數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和為Tn.證明:,WTWn+l.

2

7口og3(an-l)『[log3(an+i-l)]2

解析(D因?yàn)?s產(chǎn)an+i+2n-4(nGN*),

所以2Sn-i=an+2n-6(n22),

--

兩式相減得an+i=3an2,即a,uil=3(an-l)(n^2).

當(dāng)n-1時(shí)，2sl隹2+2-4,因?yàn)镾i=ai=4,所以a2=l0,滿足a2—1=3(a「l),

nln

所以匕門｝是以a-l=3為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列，所以a?-l=3X3,故an=3+l(nGN*).

n

⑵由2Sn=a?-l+2n-4及a?=3+l,

可得Sl；+n-1,

"1o7l+2力2Q

所以￡Sk=；(32+33+…+3n+1)+(1+2+…+n)—F7-n—J.

k=l2、z2424

⑶證明:由⑴知a『3"+l,

所以b-l1+±+^-Z="2(n+l)2+(n+lg史=帆(什1)+邛=n(w+l)+I=t,1_J_

Qn2(n+1)2y/n2(n+l)21n2(n+l)2n(n+l)nn+1)

所以T?=(l+1[)+(1+狀)+…+(1+；一熹)=n+1一擊從而T?<n+1,

又b?>0,所以｛TJ為遞增數(shù)列，則Tn^T,=|.

綜上可得|WTn〈n+l.

第7頁(yè)共17頁(yè)

17.（2022紅橋一模,19）已知區(qū)｝是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S“瓜｝是等比數(shù)列，且

ai=bi=3,S^—S,好=bs+bi.

⑴求數(shù)列｛aJ、?｝的通項(xiàng)公式；

⑵求與普.

k—1%+i

解析⑴設(shè)｛a.｝的公差為d,｛b.J的公比為q,由akb=3,S3=3,及%+b,,

可得3ai+3d=3,(biq)2=biq2+biql,即3d=-6,3=l+q,

解得d=-2,q=2,.?.a“=5-2n,b“=3?2"-1.

⑵由⑴得S“=n(4-n),

.63Sk_"4k-H"(4k白4k_6k?

n2

設(shè)4食71作4kBR溫k

貝必產(chǎn)等+等+??.+兼①

1A4x1,4x2,14Tl否

222232n+1)

①一②得,;An=2+4(25+…+同一箴,

?,出=8■翳

B噂+￡+…+梟③

|Bn=§+§+-+^@

③-④得,沏=2+5+晟+…+祟一懸

設(shè)法+備+卷+”?+哭，⑤

貝碳=*+卜+盤+…+磊’⑥

⑤-⑥得,*n=；+2償+專+:+…+引一黑,

整理得&=3-誓，

第8頁(yè)共17頁(yè)

,??吉普=人—+噤.

18.（2022天津十二區(qū)縣重點(diǎn)學(xué)校一模,19）設(shè)數(shù)列區(qū)｝的前n項(xiàng)和為S”且滿足3a?-2S?=l（neN*）.

（D求數(shù)列瓜｝的通項(xiàng)公式;

I7^~為奇數(shù),

⑵記b.=1（21）3+3）數(shù)列｛bn｝的前2n項(xiàng)和為T2n,若不等式（-l）n入＜72n+粵?仁

M-,n為偶數(shù)，32

三對(duì)一切ndN.恒成立，求X的取值范圍.

解析⑴由3a?-2Sn=l(neN*),

得當(dāng)n22時(shí),3a?「2S.F1,

兩式相減得3a?-3a?-2a?=0,即a?=3a?

當(dāng)n=l時(shí),3a-2ai=l,.\ai=l,

數(shù)列瓜｝是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列,

.?.a?=3"T.

⑵由⑴得，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),b苦,

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),bg（親-焉），

設(shè)數(shù)列卜』的前2n項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)的和為A,.,

貝［JA?=bl+b3+-+b2?-1=i（1V+W+…++一焉）=點(diǎn)，

設(shè)數(shù)列（b,J的前2n項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)的和為B?,

則&=2義（滬4X（滬“/nX（滬,

打2X（*X（,+../（?+；

兩式相減得,《Bn=2x（全+卷+…+擊）-2nX（1"2,

整理得嗚一蟹?（7

故"+B.扁+9贊?（）

第9頁(yè)共17頁(yè)

.T*71/l\n7199/l\n

/々?⑺_右1=記一我.(、，

.??不等式(T)“入6+號(hào)?一品對(duì)一切nCN*恒成立,即不等式(-l)n入<盤一》(尹對(duì)一切

neN*恒成立，

???f(X)得—導(dǎo)(丁在R上是增函數(shù)，

??當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),人舄-力?信)=,

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)故人〉一；，

二x的取值范圍為G劫.

19.(2022塘沽一中二模,19)已知數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列,公比大于0,其前n項(xiàng)和為S,?a,=l,a^+2,數(shù)列

n.

｛bj滿足￡里b”“T,且bt=l.

i=li

⑴求數(shù)列⑸｝和｛bJ的通項(xiàng)公式；

、n

(2)求Eakcosk兀；

fc=i2

⑶設(shè)c“招，數(shù)列｛cn｝的前n項(xiàng)和為Tn,求證:Tn<*

解析(1)設(shè)等比數(shù)列■｝的公比為q,q>0,

1

由ai-1,@3=az+2,得q“=q+2,解得q-2(舍負(fù))，則an-aiq"-2"

由題知bi=l,且bi+y-+率3-----F—b?+i-l(n^N*),

當(dāng)n二1時(shí),bi=b2-l,即b2=2,

當(dāng)nN2時(shí),bi+y-+…+-b「],

=bn+i-l~(bn_l),

n

則皿二2±1,

如九

所以用累乘法得b?=n,當(dāng)n=l時(shí)也成立,所以b?=n,n2N*.

(2)a2?cosnit=(T)"?22"l=^y-,

￡a2kcoskn=1[(-4)1+(-4)2+(-4)3+…+(-4)n]=1

/c=l2LVyvyvz、,」2510

第10頁(yè)共17頁(yè)

⑶證明:金嗡3備=合，

設(shè)仁=1?春+2.,+3?++…+(n-1).熏+n?嬴

則gkn=1弓+2*+3.或+…+(n-l),焉+n*,

兩式相減得|kn=^+^r+^+^+-+^7T-n-,

整理得|kn=.-n3=|一(|+n)9,

則TWk“《.

20.(2022天津一中月考四，19)已知｛4,｝為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為S,(nWN*),｛b“｝是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列,

且公比大于0,bz+b3=12,b?二a「2ai,Su=llbi.

⑴求區(qū)｝和?｝的通項(xiàng)公式；

⑵若數(shù)列｛cn｝滿足:cn=_%一,求數(shù)列&｝的前n項(xiàng)和I;

Qn*?n+i*bn

⑶若數(shù)列&｝滿足:*缶+黑,證明：Id,<2n+l.

%+11=1

解析⑴設(shè)瓜｝的公差為d,析J的公比為q(q>0),由bz+b3=12,得b】(q+q2)=12,又b尸2,?汽+4-6=0,

解得q=2,

n

/.b?=2.由b3=a「2a1，可得3d-ai=8①.由Su=llb4,可得a1+5d=16②，聯(lián)立①②，解得ai=l,d=3,.\an=3n-2.

A3n+411

n(3n-2)?(3n+l)-2n(3n-2)?2nl(3n+l)?2n,

1111111

T=_-_______i____I___-________-____|_...J_______z______________-_____1________i_____

n112n=n

1?204?24?27?2(3n-2)?2止i(3n+l)?2(3n+l)?2

nnn

(/Q3\)證、H明口口:di“_弓2干+^2=w2x4=2Q+.爾2.

由真分?jǐn)?shù)性質(zhì)得,&=2+磊<2+2

4"-14”

?善”…心切+(卉...+⑶

=2n+3X4[iJ-2n+1-Q)<2n+l.

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故不等式得證.

21.(2022濱海新區(qū)二模,19)已知數(shù)列｛a“｝中,ai=l,a2=2,a.『a"=4(neN*),數(shù)列區(qū)｝的前n項(xiàng)和為S?.

⑴求｛aj的通項(xiàng)公式；

(2)已知匕,昌器,5=石智一，

S2rl+5n4bnbn+2

⑴求數(shù)列限｝前n項(xiàng)和T.；

(ii)證明:當(dāng)n22時(shí),6器喧瘋＜8-嘉

解析(1)由題意可知,數(shù)列｛a?｝的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列是首項(xiàng)為1,公差為4的等差數(shù)列,偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的

數(shù)列是首項(xiàng)為2,公差為4的等差數(shù)列.

:.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),an=(a,-an-2)+(%-&-4)+…+(a3-ai)+ai=—X4+ai=2n-l;

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),an=(an-an-2)+(an-2-an-4)+?,?+(a4-a2)+a2=^yX4+a2=2n-2.

._(2九-1,九為奇數(shù)，

??an=\

(2九.2,幾為偶數(shù).

(2)(i)S2n=(ai+a3+???+a2「i)+(a2+ai+---+an)——色」"+㈤+產(chǎn)”二加一口,

2

??b”4n2+4n4n(n+1)-4(九九+1)'

.,.T產(chǎn)E+bz+…+鼎(以+相+…+9±)=乂1-a)=

⑴)證明：.??嶗需，

%+1=等則瞎…瞎，

n

4bnbn+2

二祟W疝＜^(n=l時(shí)等號(hào)成立),

n...nn,.

二當(dāng)B2時(shí)喧獲片冊(cè)在端,9

設(shè)S，送翳丁卷露,

.C，_2k+23,4,,n+2

??s晨之藥=/尹…+/，

.,.is,n=-+4+-+—

22222n

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T，_9k+l_々ZC+2-1_Q>_91_Q九+41-薄

丁看下『S=看而=8-布-瑁

=8-黑-2(1-*)=6一券

綜上,當(dāng)n>2時(shí),6-米<3瘋<8-券

一年創(chuàng)新

1.(2022遼寧名校聯(lián)盟二輪復(fù)習(xí)聯(lián)考(-),8)某社團(tuán)專門研究密碼問(wèn)題.社團(tuán)活動(dòng)室用的也是一把密碼

鎖,且定期更換密碼，但密碼的編寫方式不變,都是以當(dāng)日值班社員的姓氏為依據(jù)編碼的,密碼均為詈的

小數(shù)點(diǎn)后的前6位數(shù)字.編碼方式如下;①x為某社員的首拼聲母對(duì)應(yīng)的英文字母在26個(gè)英文字母中的

位置;②若x為偶數(shù)，則在正偶數(shù)數(shù)列中依次插入數(shù)值為311的項(xiàng)得到新數(shù)列5｝,即

2,3,4,6,8,3；10,12,14,16,…;若x為奇數(shù).則在正奇數(shù)數(shù)列中依次插入數(shù)值為2"的項(xiàng)得到新數(shù)列｛a,,),

即1,2,3,2；5,7,219,11,13,…,③N為數(shù)列｛a“｝的前x項(xiàng)和.如當(dāng)值社員姓康，則K在26個(gè)英文字母中

排第11位.所以x=ll.前11項(xiàng)中有2,2；21所以有8個(gè)奇數(shù).故N=l+3+…+15+2+22+2J78,所以密碼為

282051,若今天當(dāng)值社員姓徐,則當(dāng)日密碼為()

A.125786B.199600C.200400D.370370

答案BX在26個(gè)英文字母中排第24位所以x=24,前24項(xiàng)中有3,3；3、所以有21個(gè)偶數(shù).故

N=2+4+…+42+3+32+3J(2+4；)X214.39=501,養(yǎng)的小數(shù)點(diǎn)后的前6位數(shù)字為199600.故選B.

2.(2022湖南新高考教學(xué)教研聯(lián)盟第一次聯(lián)考,5)如圖,連接AABC的各邊中點(diǎn)得到一個(gè)新的△兒!?￡,又

連接△ABC各邊中點(diǎn)得到一個(gè)新的△ABG,如此無(wú)限繼續(xù)下去,得到一系列三角

形:aABC,△ABC,AA2B2C2,…,這一系列所有三角形的面積和趨向于一個(gè)常數(shù).已知

人(0,0),1^5,0),(：(1,3),則這個(gè)常數(shù)是()

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A.yB.5C.10D.15

答案C依題意可得△ABC2ABG(A2B2c2,…的面積依次構(gòu)成一個(gè)無(wú)窮等比數(shù)列,首項(xiàng)為aABC的面

積與，公比為:，前n個(gè)三角形的面積和為當(dāng)單」=10[1-Q)n],當(dāng)n趨向于無(wú)窮大時(shí),前n個(gè)三角形的

面積和趨向于常數(shù)10?故選C.

3.(2022四川遂寧三模,15)德國(guó)大數(shù)學(xué)家高斯年少成名,被譽(yù)為數(shù)學(xué)界的王子,19歲的高斯得到了一個(gè)

數(shù)學(xué)史上非常重要的結(jié)論，就是《正十七邊形尺規(guī)作圖之理論與方法》，在其年幼時(shí)，對(duì)1+2+3+…+100

的求和運(yùn)算中,提出了倒序相加法的原理,該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，

因此,此方法也稱為高斯算法.現(xiàn)有函數(shù)f(x)盜不設(shè)數(shù)列｛an｝滿足an=f(0)+fg)+fg)+…+

f(爭(zhēng)+f⑴(nGN*),若存在nGN'使不等式n2+4n-2ka?+27^0成立，則k的取值范圍是.

答案旨+8)

yXyXjl-x7oX

解析因?yàn)椋?)=西衣，所以f(x)+f(l-x)=西&+算4&=再&+由京右=再我+

上=1

2X+V2

由a?=f(0)+f(i)+fQ)+-+f(爭(zhēng)+f⑴，

a0=f(l)+f(黨+f(爭(zhēng)+…+f(J+f(0),

所以2a“=n+l,所以a”空之所以由n2+4n-2kan+27<0,得n2+4n-2k-+27<0,即n2+

4n+27<k(n+1),所以k>-2+^-7=(山并上答⑴p=(n+1)+4+2,

令g(x)=(x+l)+^(xeN*),則當(dāng)xe(0,2心-1)時(shí),g(x)遞減當(dāng)xe(2^6-l,+8)時(shí),g(x)遞增,

因?yàn)間(4)=5+g=y,g(3)=4+去10,

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所以g(x)而Fg⑷哼，所以k2券+2=蔡,即k的取值范圍是吊,+8).

4.(2022海淀二模,15)在現(xiàn)實(shí)世界,很多信息的傳播演化是相互影響的.選用正實(shí)數(shù)數(shù)列｛4,｝,瓜｝分別

表示兩組信息的傳輸鏈上每個(gè)節(jié)點(diǎn)處的信息強(qiáng)度,數(shù)列模型:a.“=2a”+b”,bn)1=a?+2b?(n=l(2,…)描述了這

兩組信息在互相影響之下的傳播演化過(guò)程.若兩組信息的初始信息強(qiáng)度滿足aDbi,則在該模型中,關(guān)于

兩組信息，給出如下結(jié)論：

①Vn￡N*,an>bn;

②VneN*,anH>an,bnn>bn;

?BkGN：使得當(dāng)n>k時(shí),總有腎1卜10一)

@3kGN*,使得當(dāng)n>k時(shí)，總有|肝-2卜102

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

答案①②③

解析因?yàn)閍n+i=2an+bn,bn+產(chǎn)a」+2bn(n=l,2,…),兩式作差得a+廠%+尸a「bn,故｛an-bn｝為常數(shù)列,即

an-bn=a-bi>0,故an>bn,①正確;

因?yàn)閍n+l-an=an+bn,因-bn=an+bn,又｛a?｝,｛bn｝為正實(shí)數(shù)數(shù)列，故an+bn>0,故an+l>an,bn+l>bn,②正確；

腎"=I管1=|^|?因?yàn)閍l—bl為常數(shù)｛bn｝為單增數(shù)列，故當(dāng)n-+8時(shí)，若-0,又1。一

10>0,故北GN*，使得當(dāng)n>k時(shí),總有腎1|<10-10,③正確;|^ii-2|=|巴產(chǎn)卜圖，又an-

bn=al-bl,故|肝-2|=甥=|區(qū)震斗="管|.因?yàn)閍l