4-1-2簡諧運動旋轉(zhuǎn)矢量法簡諧運動的動力學(xué)講解

波動與光學(xué)第1章振動(Vibration)生活中觀察的：搖曳的樹枝、飄蕩的小船，人類發(fā)明中的：顫動的琴弦或鼓膜，人類自身中的：聲帶、耳膜、心臟，不易感覺的：傳遞聲音的空氣分子的振動、 傳遞溫度的固體內(nèi)原子的振動、 傳遞信息的天線中電子的振動……周期性過程：指不斷有規(guī)律重復(fù)的過程或狀態(tài)。以固定的時間間隔重復(fù)稱它具有時間周期性。 如，地球自轉(zhuǎn)、公轉(zhuǎn)， 血液循環(huán)、生態(tài)循環(huán)、經(jīng)濟周期等。

以固定的空間段重復(fù)稱它具有空間周期性。 如，整齊排列的路燈，晶體中的晶格等。廣義振動：指系統(tǒng)狀態(tài)的時間(準(zhǔn))周期性。振動的主要形式：機械振動：物體在一定位置附近的往復(fù)運動。 樹枝、小船、琴弦、鼓膜、聲帶、耳膜、 空氣分子、固體原子等的振動。電磁振動：電磁量在定值附近周期性往復(fù)變化。 電流、電壓、電量、電能、磁能等周期性變化。如何研究振動呢？周期性過程：指不斷有規(guī)律重復(fù)的過程或狀態(tài)。以固定的時間間隔重復(fù)稱它具有時間周期性。 如，地球自轉(zhuǎn)、公轉(zhuǎn)。

以固定的空間段重復(fù)稱它具有空間周期性。 如，整齊排列的路燈，晶體中的晶格等。廣義振動：指系統(tǒng)狀態(tài)的時間(準(zhǔn))周期性。引子：振動的合成和分解方波的分解x0t0tx1t0x3t0x5t0x1+x3+x5+x00tx0任何復(fù)雜振動都是簡單運動的合成。§1.1簡諧運動的描述x(t)=Acos(t+)特點：

(1)等幅振動

(2)周期振動

x(t)=x(t+T)一.簡諧運動（SimpleHarmonicMotion） 物體在運動中，對于平衡位置的位移x按余弦規(guī)律隨時間t變化。xmoxoA-AtxT以水平彈簧振子為例輕質(zhì)彈簧物塊剛性無阻力振子：可以發(fā)生振動的系統(tǒng)。圖線表示法解析表示法oTtx、

、ax2A

<0

<0>0>0a<0

>0

>0<0加速減速加速減速AA-A-A-2Aa

x(t)=Acos(t+)二.速度和加速度xmox加速度與位移成正比而反向

x(t)=Acos(t+)

1.振幅A(amplitude)偏離平衡位置的最大距離其值與運動如何開始有關(guān)三.描述簡諧運動的特征量2.周期T(period)單位時間內(nèi)的振動次數(shù)振動往復(fù)一次所需時間頻率v(frequency)

表征簡諧運動的周期性。=1/T(Hz)

=2π/T(rad/s)-----角頻率ω單位時間內(nèi)變化的弧度數(shù)

x(t)=x(t+T)=Acos[(t+T)+]=Acos(t++2π)

Acos(t+)反映t時刻系統(tǒng)的運動狀態(tài)(x、)。3.相位(phase)(1)(t+)是t時刻的相位若相位為0，則反映x=A,

=0；若相位為π/3，則x=A/2,

=-√3/2A;若相位為π/2，則x=0,

=-A;……相位為2π

，物體回到x=A位置。ω

=2π/T(rad/s)時間上變化一個周期，相當(dāng)于相位變化2π。周期內(nèi)一一對應(yīng)相位，是周期振動中振子所處的階段(狀態(tài))。振動的時間周期性可以用相位來表示。

(2)是t=0時刻的相位—初相(initialphase)即，選定的初始時刻所處的階段，反映初始時刻的運動狀態(tài)(x0、0)。相位，是周期振動中振子所處的階段(狀態(tài))。振動的時間周期性可以用相位來表示。ω

=2π/T(rad/s)反映t時刻系統(tǒng)的運動狀態(tài)(x、)。3.相位(phase)(1)(t+)是t時刻的相位周期內(nèi)一一對應(yīng)時間上變化一個周期，相當(dāng)于相位變化2π。小結(jié)：描述簡諧運動的三個特征量：A，ω，=1/T(Hz)ω

=2πv=2π/T(rad/s)簡諧運動的兩個定義相位，是周期振動中振子所處的階段(狀態(tài))。引子：伽利略對木星衛(wèi)星的觀測1610年，伽利略用他制作的望遠鏡發(fā)現(xiàn)了木星的4顆主要衛(wèi)星。經(jīng)觀察，發(fā)現(xiàn)木衛(wèi)四似乎在做相對于木星圓盤中點往復(fù)運動?？v坐標(biāo)是木衛(wèi)四與木星的夾角，橫坐標(biāo)是相應(yīng)的觀測時間。難道木衛(wèi)四是在做簡諧運動？木衛(wèi)四以基本恒定的速度在做近似的圓周運動。結(jié)論：所觀察到的簡諧運動是勻速圓周運動在運動平面內(nèi)一條直線上的投影。1610年，伽利略用他制作的望遠鏡發(fā)現(xiàn)了木星的4顆主要衛(wèi)星。經(jīng)觀察，發(fā)現(xiàn)木衛(wèi)四似乎在做相對于木星圓盤中點往復(fù)運動。根據(jù)他精確的記錄，發(fā)現(xiàn)最佳擬合曲線是余弦曲線，這強烈地暗示了簡諧運動。引子：伽利略對木星衛(wèi)星的觀測§1.2旋轉(zhuǎn)矢量與振動的相矢量長度=Axt=0xx=Acos(t+)

t=tAt+A一.旋轉(zhuǎn)矢量法

O線速度：x軸投影：法向加速度：x軸投影：旋轉(zhuǎn)矢量：x軸投影：

t=0時矢量與x軸的夾角為

以為角速度繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)簡諧運動 是勻速圓周運動在所沿圓的直徑上的投影。相的幾何意義：振動的相(t+)，是旋轉(zhuǎn)矢量的角位置。xt=0xx=Acos(t+)

t=tAt+Ao線速度：x軸投影：法向加速度：x軸投影：旋轉(zhuǎn)矢量：x軸投影：[例題]已知簡諧運動，A=4cm，

=0.5Hz，t=1s時x=-2cm且向x正向運動，寫出振動表達式。由圖，=/3，x=4cos(t+/3)cm由題意，T=1/v=2sω=2π/T=π

x(t)=Acos(t+)簡諧運動的基本表達式：解：二.相位差(phasedifference)相位差------ 兩個相位不同的簡諧運動，稱之有相位差。兩同頻率的簡諧振動， x1

=A1cos(t+1)

和 x2=A2cos(t+2)

=(t+2)-(t+1)=2

-1相位差等于初相差；也可以說一個對另一個有相移。

x(t)=Acos(t+)2.同相和反相當(dāng)=2k，(k=0，1，2，…)， 兩振動步調(diào)相同，稱同相。當(dāng)=(2k+1)，(k=0，1，2，…)， 兩振動步調(diào)相反，稱反相。

-

A2xxx2ToA1-A1A2-

A2x1t反相oA1-A1A2x1x2Tt同相2.同相和反相當(dāng)=2k，(k=0，1，2，…)， 兩振動步調(diào)相同，稱同相。當(dāng)=(2k+1)，(k=0，1，2，…)， 兩振動步調(diào)相反，稱反相。

3.超前和落后若=2-1>0，則x2比x1較早達到正極大，稱x2比x1超前(或x1比x2落后)。x2TxoA1-A1A2-

A2x1t思考：在圖中，x1與x2兩振動誰超前？超前、落后以<的相位角來判斷。2-1>0，x2比x1超前π/21-2>0，x1比x2超前3π/2

x(t)=Acos(t+)oTtx、

、ax2A

<0

<0>0>0a<0

>0

>0<0加速減速加速減速AA-A-A-2Aa速度v比位移x超前π/2；加速度a和位移x反相。小結(jié)：簡諧運動 是勻速圓周運動在所沿圓的直徑上的投影。(t+)是時刻

t

振動的相，幾何意義是旋轉(zhuǎn)矢量的角位置。相位不同，運動狀態(tài)不同。兩同頻率簡諧運動的相差：=初相差；=

2k，同相；=

(2k+1)，反相。描述簡諧運動的三種方法：解析表示法；圖線表示法；旋轉(zhuǎn)矢量法。引子：簡諧運動的運動學(xué)與動力學(xué)前兩節(jié)討論了簡諧運動的運動學(xué)， 即，如何描述簡諧運動；下面，我們將探討簡諧運動的起因， 牛頓第二定律告訴我們， 力是運動狀態(tài)改變的原因， 因此，我們將討論簡諧運動的動力學(xué)。§1.3簡諧運動的動力學(xué)方程力和位移成正比而反向，稱恢復(fù)力。2.動力學(xué)方程xmoxF運動力運動力簡諧運動另一定義1.受力特點線性諧振子3.固有角頻率ω固有角頻率決定于振動系統(tǒng)的內(nèi)在性質(zhì)。2.動力學(xué)方程xmoxF其通解為：x(t)=Acos(t+)簡諧運動-----簡諧運動的動力學(xué)方程---其中，A和是由初始條件決定的積分常數(shù)比較可得k為勁度系數(shù)二階常系數(shù)線性常微分方程

4.由初始條件求振幅A和初相初始條件：t=0時的 位移x0=Acos

速度v0=-ωAsin

3.固有角頻率ω固有角頻率決定于振動系統(tǒng)的內(nèi)在性質(zhì)。彈簧振子：k為勁度系數(shù)振動系統(tǒng)都有，某種“彈性”要素----(k)

和“慣性”要素---(m)x(t)=Acos(t+)小結(jié)：簡諧運動的動力學(xué)方程---決定于系統(tǒng)自身性質(zhì)包含彈性要素和慣性要素---簡諧運動另一定義---ω一定決定于初始條件x(t)=Acos(t+)作業(yè)：習(xí)題：1.1、1.3、1.5、1.7內(nèi)容總結(jié)波動與光學(xué)。生活中觀察的：搖曳的樹枝、飄蕩的小船，。人類發(fā)明中的：顫動的琴弦或鼓膜，。人類自身中的：聲帶、耳膜、心臟，。傳遞溫度的固體內(nèi)原子的振動、。傳遞信息的天線中電子的振動。周期性過程：指不斷有規(guī)律重復(fù)的過程或狀態(tài)。以固定的時間間隔重復(fù)稱它具有時間周期性。以固定的時間間隔重復(fù)稱它具有時間周期性。如，地球自轉(zhuǎn)、公轉(zhuǎn)，