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二面角的一題多解柳例題：是等腰直角三形，∠ABC=90，2，點(diǎn)P是平ABC一點(diǎn)，⊥平面ABC，PA=AC，求二角BPCA平面角分析1：根據(jù)平面角定義找出二角的平面角。此題解法困難在于AMN中三長(zhǎng)。M

P解：，，PC=22PB=

∴

22

∴

90

AB過(guò)A作AM⊥PC交PC于M，在平PBC過(guò)點(diǎn)M作⊥PC交PB于N，連接AN?！唷鲜敲娼荁—PC—的面角Rt△中

AM

1PMPC2…①PMN∽∴2BCPB∴

MN

……②Rt△PMN中

6293Rt△中

26

∴△PNA中

2393

…③∴△中

cosAMN

22

69963243

33

∴arccos

分析二：利用三垂線(xiàn)定理找出二面角的平面角K

O

AB解：過(guò)作BO⊥交AC于O點(diǎn)過(guò)O作OKPC于，連接BK∵

平平面ABC

?

?OB平面PAC，OK是BK在面中影∵PC⊥∴PC⊥

?BKO是求角1

Rt△中

BO

12

AC

,Rt△PBC中利用等面積法求∴

BK

2

∴eq\o\ac(△,Rt)KOB中，

126sinBK663∴

BKOarcsin

63（說(shuō)明：類(lèi)似解法還有一種，過(guò)A作ANPB交于，過(guò)A作AM⊥PC交PC于M，連接MN，同理可證∠AMN是所求的，找角的位置與解1相同，但解題過(guò)程要簡(jiǎn)約得多分析三：根據(jù)射影定理，令二面角的平角角

，則

cos

SS

，C

O

AB解：過(guò)B作BO⊥AC，連接OP,如）中證明BO平面PAC△POC是△PBC在平面PAC中的射影

S

11,Rt中，2222令二面角B——平面，

SS

13

33

∴

arcsoc

33（說(shuō)明：此解法是所有解法中最簡(jiǎn)單的）分析四：利用結(jié)論

l

2

M

N

AB解：過(guò)A作AM⊥PC過(guò)B作BN⊥PC∴與BN所的角與二面PC—的面角相.2

2222222222Rt△中AM=PM==m,Rt△中，利用等面積法，

BN,∴

62∴，d,2∴

cos

l

22

66222

33Z

A分析五：利用空間向量知識(shí)求解

BXY解點(diǎn)B為標(biāo)原點(diǎn)所直線(xiàn)為X軸,所在直線(xiàn)為y軸B作⊥平面，11

所在直線(xiàn)為Z軸建立空間直角坐標(biāo)系。,C0,,P令n面PBC，x,,z),0,2,0n02Zx∴

n

2,0,1如2⊥平面PAC

∴平面PAC的向量為

2BO,∴

BO

∴二面角B—PCA的面角觀察是銳角，∴平面角是

a

33

。（說(shuō)明解思路

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