2022上海中考數(shù)學考前30天沖刺復習專題2-2四種題型中的數(shù)形結合思想與真題訓練（含詳解）

2022年中考數(shù)學考前30天迅速提分復習方案（上海專用）

專題2.2四種題型中的數(shù)形結合思想與真題訓練

題型一：數(shù)軸中的數(shù)形結合思想

選擇題（共1小題）

1.（2020秋?羅湖區(qū)校級期中）a、■數(shù)軸上的位置如圖所示，那么化簡||_值的結果

是（）

h0a》A.2a-bB.bC.-Z?D.-2a^b

解答題（共2小題）

2.（2020?新華區(qū)校級模擬）己知，如圖，數(shù)軸上有4B,C,，四個點，點4對應的數(shù)為-1,且

AB=a^b,BC=2a-b,BD=3/2b.

（1）求點8,C,切f對應的數(shù)（用含a和6的代數(shù)式表示）；

（2）若a=3,況中點，求b的值，并確定點8,C,次寸應的數(shù).

44c〃

-13.（2020?豐潤區(qū)校級模擬）如圖，數(shù)軸上的點

A,B,C,原示四個連續(xù)的整數(shù)，分別用a,b,c,冰表示，回答下面問題：

（1）若點糜示原點，則a=，3"=；

（2）若a和c互為相反數(shù)，則小■加少d=；

（3）若a=2019,計算（41）（6-1）-（6-1）2.

~ABCD—題型二：平面直角坐標系中的

數(shù)形結合思想

解答題（共4小題）

1.（2021?杭州模擬）如圖所示，某河面上有一座拋物線形拱橋，橋下水面在正常水位4網(wǎng)\寬

為20以，若水位上升3處水面就會達到警戒線傲這時水面寬為10肌

（1）建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼挡⑶蟪鰭佄锞€的解析式;

（2）若洪水到來時，水位以每小時0.2潞速度上升，從警戒線開始，再持續(xù)多少小時就能到

（2020?翁牛特旗模擬）閱讀下面材料:

在平面直角坐標系中，過一點分別作坐標軸的垂線，若與坐標軸圍成矩形的周長與面積的值

相等，則稱這個點為“和諧點”.例如：如圖所示，過點尸分別作x軸、碎由的垂線，與坐標軸

圍成的矩形力心的周長與面積的值相等，則/濕“和諧點”.

根據(jù)以上材料，解決下列問題：

（1）判斷。（2,3）、。（-4,-4）是否為“和諧點”，并說明理由;

（2）若“和諧點”￡（-3,〃）在雙曲線y=K（〃#0,〃為常數(shù)）上，求發(fā)的值.

（2020?順德區(qū)三模）如圖，隧道的截面由拋物線和長方形構成.長方形

的長為160，寬為6〃，拋物線的最高點儒路面加?的距離為8加

（1）建立適當?shù)淖鴺讼?，求出表示拋物線的函數(shù)表達式；

（2）一大型貨車裝載設備后高為7加，寬為4況如果隧道內(nèi)設雙向行駛車道，那么這輛貨車能

C

否安全通過？\

4.（2020?南岸區(qū)模擬）城市的許多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直線行走到達

目的地，只能按直角拐彎的方式行走，可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐標系

xOy,對兩點4（小，乂）和6（胸，刑），用以下方式定義兩點間距離：d（A,B）=\xi-

x2\+\yi-yt\.

（1）己知點4（-2,1）,則d（。，A）=.

（2）函數(shù)尸x'-5x+7（x20）的圖象如圖①所示，6是圖象上一點，求d（。，B）的最小值及

對應的點砸坐標.

（3）某市要修建一條通往景觀湖的道路，如圖②，道路以加9起點，先沿加方向到某處，再

在該處拐一次直角彎沿直線到湖邊，如何修建能使道路最短？（要求：建立適當?shù)钠矫嬷苯?/p>

坐標系，畫出示意圖并簡要說明理由）

①②題型

三：函數(shù)圖像中的數(shù)形結合思想

選擇題（共1小題）

1.一次函數(shù)y=a戶6的圖象如圖所示，那么下列說法中不正確的是（)

B.當x<l時，y<0

C.當x<0時，y<-2D.當時，

填空題（共1小題）

2.（2021春?徐匯區(qū)期末）已知一次函數(shù)y="x+6（k、方為常數(shù)）的圖象如圖所示，那么關于刈勺

不等式^^6>0的解集是

解答題（共2小題）

3.（2021秋?普陀區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標系中，己知拋物線尸工f+6x+c與直線尸

3

-工交于點力Cm,0）,B（-3,〃），與碑由交于點C,聯(lián)結4c.

3

（1）求0、〃的值和拋物線的表達式；

（2）點。在拋物線尸工/+如0的對稱軸上，當//390°時，求點〃的坐標；

3

（3）將△40C平移，平移后點/仍在拋物線上，記作點只此時點0恰好落在直線48上，求點尸

的坐標.

（2021秋?松江區(qū)期末）如圖，已知直線尸-2戶2與x軸交于點4與y

3

軸交于點6,拋物線尸-2丁+。戶母過4、曬點.

3

（1）求這條拋物線的表達式；

（2）直線x=t與該拋物線交于點G與線段4竣于點。（點〃與點4、環(huán)重合），與善由交于點

E,聯(lián)結47、BC.

①當班=坐時，求￡的值;

CD0E

②當以）平分/力①時，求△/比的面積.

題型四：幾何圖形中的數(shù)形結合思想

選擇題（共1小題）

1.（2007?崇安區(qū)一模）如圖，在邊長為a的正方形上剪去一個邊長為6的小正方形（a>b）,把

剩卜的部分剪拼成一個梯形，分別計算這兩個圖形陰影部分的面積，由此可以驗證的等式是

()

b

a+2atAl)

C.(a-6)'a?-2a*D.a-ab—a(a-6)

二.填空題（共2小題）2.（2021春?靜安區(qū)校級期末）如圖，直線/嶼煙目交于點0,ZAOD=

120。，直線4?與6?的夾角的度數(shù)是.度?

（2021秋?徐匯區(qū)期中）如圖所示，在直角三角形中有三個連續(xù)排列的正方

形甲、乙、丙，已知正方形甲、乙的邊長分別為9和6,則正方形丙的邊長等于

【真題訓練】

1（2021上海中考真題6）.如圖長方形ABCD中，AB=4,AD=3,圓B半徑為1,圓A與圓B

內(nèi)切，則點C、D與圓A的位置關系是（）

A.點C在圓A外，點D在圓A內(nèi)

B.點C在圓A外，點D在圓A外

C.點C在圓A上，點D在圓A內(nèi)

D.點C在圓A內(nèi)，點D在圓A外

2.(2020?上海中考真題)在平面直角坐標系x分中，直線產(chǎn)-gx+5與瞽由、由分別交于

點力、以如圖).拋物線片d*+6x(aW0)經(jīng)過點4

(1)求線段/陰勺長；

(2)如果拋物線片aV+反經(jīng)過線段力吐的另一點G且麻火，求這條拋物線的表達式;

(3)如果拋物線產(chǎn)aV+H的頂點版于△/仍內(nèi)，求a的取值范圍.

(2019上海中考真題24).(12分)在平面直角坐標系

中(如圖)，已知拋物線-2x,其頂點為4

(1)寫出這條拋物線的開口方向、頂點力的坐標，并說明它的變化情況；

(2)我們把一條拋物線上橫坐標與縱坐標相等的點叫做這條拋物線的“不動點”.

①試求拋物線y=f-2x的“不動點”的坐標；

②平移拋物線y=x?-2必使所得新拋物線的頂點6是該拋物線的“不動點”，其對稱軸與

游山交于點C,且四邊形力比是梯形，求新拋物線的表達式.

1

>4.(2018?上海中考真題)在平面直角坐標系xOy中(如

O1X

圖).已知拋物線y=-工x、bx+c經(jīng)過點A(-1,0)和點B(0,-),頂點為C,點D在其對稱

22

軸上且位于點C下方，將線段DC繞點D按順時針方向旋轉90°,點C落在拋物線上的點P處.

(1)求這條拋物線的表達式；

(2)求線段CD的長;

(3)將拋物線平移，使其頂點C移到原點0的位置，這時點P落在點E的位置，如果點M在y軸上，

且以()、I)、E、M為頂點的四邊形面積為8,求點M的坐標.

2022年中考數(shù)學考前30天迅速提分復習方案（上海專用）

專題2.2四種題型中的數(shù)形結合思想與真題訓練

題型一：數(shù)軸中的數(shù)形結合思想

一.選擇題（共1小題）

1.（2020秋?羅湖區(qū)校級期中）a、■數(shù)軸上的位置如圖所示，那么化簡||_值的結果

是（）

----------1------1--->

h0aA.2a-bB.bC.-AD.-2a+b

【分析】根據(jù)差的絕對值是大數(shù)減小數(shù)，二次根式的性質，可化簡代數(shù)式，根據(jù)整式的加

減，可得答案.

【解答】解：原式=a-b-a

--b.

故選：C.

【點評】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，利用差的絕對值是大數(shù)減小數(shù)、二次根式的性質化簡整式

是解題關鍵.

解答題（共2小題）

2.（2020?新華區(qū)校級模擬）己知，如圖，數(shù)軸上有4,B,C,儂個點，點4對應的數(shù)為-1,且

AB=a）rb,BC=2a-b,BD=3a+2b.

（1）求點8,C,〃所對應的數(shù)（用含a和方的代數(shù)式表示）；

（2）若a=3,況/隅中點，求6的值，并確定點8,C,以寸應的數(shù).

4B,cD

-1【分析】（1）數(shù)軸上兩點之間的距離可以用

大的數(shù)減去小的數(shù)得到，所以小的數(shù)加上距離即可得到大的數(shù)；

（2）根據(jù)中點可得到線段相等，推出a與6的關系，即可求出6,然后將M弋入（I）中的代數(shù)

式即可求解.

【解答】解：（1）：力對應數(shù)-1,且月修a+6,

點喇應數(shù)軸上點的數(shù)值是-1+（a+6）=a+b-1,

又■:BC=2a-b,AC=a^b^-（2a-b）=3a,

...點刑應的數(shù)值是-l+3a,

,:BD=3/2b,AD=a+b^r（3云2b）=4a+3b,

點次寸應的數(shù)值是-l+4a+3A（2）:點，M冰］中點，

：.AC=CD,即3a=>36,

?、2

?,b亍，

??"=3,

/.b=2,

：.a^b-1=4,-l+3a=8,-1+4^36=17,

應數(shù)軸上的數(shù)值是4,

C對應數(shù)軸上的點的數(shù)值是8,

力對應數(shù)軸上的數(shù)值是17.

【點評】本題主要考查數(shù)軸上兩點之間的距離，在明確數(shù)位置的情況下，可以不加絕對值，

直接用大的數(shù)減去小的數(shù)即可得到，所以小的數(shù)加上兩者之間的距離也可得到大的數(shù).

3.(2020?豐潤區(qū)校級模擬)如圖，數(shù)軸上的點4B,C,糜示四個連續(xù)的整數(shù)，分別用a,b,

c,睞表示，回答下面問題：

(1)若點糜示原點，則@=-3,3“=—；

-------_g_

(2)若a和c互為相反數(shù)，則-從c+占2；

(3)若a=2019,計算(〃1)(6-1)-(.b-1)2.

BCDf［分析］(1)當點糜示原點時，可得a=-3,b

=-2,可求得此題結果；

(2)根據(jù)a和c互為相反數(shù)，可得a,b,c,刪值，可求得此題結果：

(3)由題意求得6的值，就可以求得此題的結果.

【解答】解：(1)當點朦示原點時，可得a=-3,b--2,

a=-3,b=-2,

??—??JQ-2u-］-,

9

故答案為：-3,A；

9

(2)若a和。互為相反數(shù)，可得a=-1,6=0,c=l,(7=2,

.".卅分■c+Q-1+0+1+2=2,

故答案為：2；

(3)若a=2019,則6=2020,

/.(金1)(i-1)-Cb-1)2

=(2020+1)(2020-1)-(2020-1)2

=202()2-1-(20202-2X2020+1)=20202-1-20202+2X2020-1

=4040-2

=4038.

【點評】此題考查了數(shù)軸方面數(shù)形結合問題的解決能力，關鍵是能根據(jù)題意和數(shù)軸，準確確

定數(shù)軸上的點所表示的實數(shù).

題型二：平面直角坐標系中的數(shù)形結合思想

一.解答題（共4小題）

1.（2021?杭州模擬）如圖所示，某河面上有一座拋物線形拱橋，橋下水面在正常水位｛時，寬

為200，若水位上升3勿，水面就會達到警戒線微這時水面寬為10況

（1）建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼挡⑶蟪鰭佄锞€的解析式;

（2）若洪水到來時，水位以每小時0.2潞速度上升，從警戒線開始，再持續(xù)多少小時就能到

（1）以拋物線的頂點為原點，拋物線的對稱軸為y

軸建立平面直角坐標系，然后根據(jù)題意可得點反〃的橫坐標，設拋物線解析式為尸然后

可進行求解;

（2）由（1）可得切距拱頂?shù)木嚯x，然后根據(jù)題意可直接進行列式求解.

【解答】解：（1）以拋物線的頂點為原點，拋物線的對稱軸為貸由建立平面直角坐標系，如

圖所示:

設拋物線解析式為尸a￡,點炳坐標為。（5,加，則6（10,m

-3）.

由拋物線經(jīng)過點加口點6,可得：（25a=in,

1100a=m_3

'__1

解得：a~l5,

m=-l

..?拋物線的解析式為/=-A.Y2;

25

（2）由（1）可得四巨拱頂?shù)木嚯x為1例水位以每小時0.2〃的速度上升，從警戒線開始，到

達拱頂?shù)臅r間為」」15（小時）.

0.2

/.從警戒線開始，再持續(xù)5小時就能到達拱橋的拱頂.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的應用，明確題意、熟練掌握用待定系數(shù)法求解函數(shù)表達式是

解題的關鍵.

2.(2020?翁牛特旗模擬)閱讀下面材料:

在平面直角坐標系中，過一點分別作坐標軸的垂線，若與坐標軸圍成矩形的周長與面積的值

相等，則稱這個點為“和諧點”.例如：如圖所示，過點/分別作x軸、辟由的垂線，與坐標軸

圍成的矩形勿必的周長與面積的值相等，則隰“和諧點”.

根據(jù)以上材料，解決下列問題：

(1)判斷。(2,3)、〃(-4,-4)是否為“和諧點”，并說明理由；

(2)若“和諧點”￡(-3,〃)在雙曲線y=K(發(fā)片0,左為常數(shù))上，求A的值.

②求￡點中〃，再代入雙曲線求解析式.

【解答】解：(1)V[c=(2+3)X2=10,￡=3X3=6,

.X⑵3)不是“和諧點”，

V[D=(4+4)X2=16,&=4X4=16,

Co=Sm

：.D(-4,4)是“和諧點”.

(2)：庭和諧點，

(3+|〃|)X2=3X|/;,

+6,

k=xy=-3/?=±18.

【點評】本題考查定義新運算，以滿足特殊條件的點的坐標進行判斷，結合反比例函數(shù)待定系數(shù)

法解題.3.(2020?順德區(qū)三模)如圖，隧道的截面由拋物線和長方形構成.長方形的長為

16"，寬為6而，拋物線的最高點璃路面的距離為80.

(1)建立適當?shù)淖鴺讼?，求出表示拋物線的函數(shù)表達式；

(2)一大型貨車裝載設備后高為7加，寬為4況如果隧道內(nèi)設雙向行駛車道，那么這輛貨車能

否安全通過？

【分析】（1）根據(jù)拋物線在坐標系中的特殊位置，可以設拋物線的解

析式為y=af+8,再把6（-8,6）代入，求出a的值即可；

（2）隧道內(nèi)設雙行道后，求出縱坐標與70作比較即可.

【解答】解：（1）如圖，以力4所在直線為詢，以線段44的中點為坐標原點建立平面直角坐

設拋物線的解析式為尸ax=8,把6（-8,6）代入，得:

64m'8=6,

解得：a=-A.

32

..?拋物線的解析式為尸-工『+8.

32

（2）根據(jù)題意，把x=±4代入解析式y(tǒng)=-2，+8,

32

得尸7.5m.

V7.5m>7m,

貨運卡車能通過.

【點評】本題考查了二次函數(shù)在實際問題中的應用，恰當?shù)亟⑵矫嬷苯亲鴺讼怠⒗么?/p>

系數(shù)法求得二次函數(shù)的解析式是解題的關鍵.

4.（2020?南岸區(qū)模擬）城市的許多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直線行走到達

目的地，只能按直角拐彎的方式行走，可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐標系

xOy,對兩點4（羽，必）和6（如%），用以下方式定義兩點間距離：d（A,B）=|x「

x2\+\yi-yi\.

（1）已知點4（-2,1）,則八0,A）=3.

（2）函數(shù)尸5肝7（x2o）的圖象如圖①所示，8是圖象上一點，求d（。，B）的最小值及

對應的點砸坐標.

(3)某市要修建一條通往景觀湖的道路，如圖②，道路以，媯起點，先沿極方向到某處，再

在該處拐一次直角彎沿直線到湖邊，如何修建能使道路最短？(要求：建立適當?shù)钠矫嬷苯?/p>

坐標系，畫出示意圖并簡要說明理由)

①②【分析】(1)①根

據(jù)定義可求出/)=0+21+10-11=2+1=3；

(2)設B(x,y),根據(jù)條件可得d(O,B)=|*|+；/-5戶7|,去絕對值后由二次函數(shù)的性

質可求出最小值，再將此時點8的橫坐標代入y=V-5/7,即可得出其縱坐標，從而問題得

解；

(3)以，媯原點，"1所在的直線為諭建立平面直角坐標系X?,將函數(shù)尸-x的圖象沿跑正

方向平移，直到與景觀湖邊界所在曲線有交點時停止，設交點為反過點因乍夕她垂足為

//,修建方案是：先沿網(wǎng)方向修建到/處，再沿/方向修建到故t,可證得d(。，E)最小.

【解答】解：(1)由題意得：d(0,A)=|0+2|+|0-11=2+1=3,

故答案為：3.

(2)設方(x,外，根據(jù)題意得：

dC.O,B)=|x-0|+x-5x+7-01=x\+\x-5^+71；

-5戶7=(\至)2+2>0,又在0,

'2)4

d(0,B)=戶丁-5戶7=廣￥-5A+7=Z-4A+7

=(x-2)2+3.

...當x=2時，d(ft8)有最小值3,22-5X2+7=1,

:.dB)的最小值為3,點解J坐標為(2,I).

(3)如圖，以J的原點，，楙所在直線為渤建立平面直角坐標系X。.

將函數(shù)y=-x的圖象沿海正方向平移，直到與景觀湖邊界所在曲線有交點時停止.

設交點為區(qū)過點因乍ML秘V,垂足為〃

修建到￡處.

理由：設過點￡的直線,與蚌由相交于點尸.在景觀湖邊界所在曲線上任取一點只過點唯直線

1'//1,/與0由相交于點G.因為/即/=45°,所以EH=HF,d（0,=0殺EH=OF.同理d

（ftP）=0G.因為0G70F,所以d（。，P）（ftE）.因此，上述方案修建的道路最

短.

【點評】本題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)在實際問題中的應用及按照新定義求值，數(shù)形結合

并明確函數(shù)的相關性質是解題的關鍵.

題型三：函數(shù)圖像中的數(shù)形結合思想

選擇題（共1小題）

1.一次函數(shù)9=@*+6的圖象如圖所示，那么下列說法中不正確的是（）

當x>0時，y>0B.當xVl時，y<0

C.當x<0時，y<-2D.當時，y20

【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象直接進行解答即可.

【解答】解：由一次函數(shù)尸a產(chǎn)的圖象可知,

當匕>0時，y>-2,故/說法不正確；

當xVl時，yVO，故6說法正確；

當x<0時，y<-2,故戢法正確；

當時，y》0,故〃說法正確.

故選：A.

y=ax4-b

【點評】本題考查的是一次函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結合求解

是解答此題的關鍵.

二.填空題（共1小題）

2.（2021春?徐匯區(qū)期末）已知一次函數(shù)（k、6為常數(shù)）的圖象如圖所示，那么關于x的

不等式4x+0的解集是x<4.

y=kx-b

4\x

【分析】從圖象上得到函數(shù)的增減性及與斕1的交點的橫坐標，即能求得

不等式〃戶6>0的解集.

【解答】解：函數(shù)的圖象經(jīng)過點（4,0）,并且函數(shù)值順x的增大而減小，

所以當x<4時，函數(shù)值大于0,即關于x的不等式Ax+6>0的解集是x<4.

故答案為：x<4

【點評】此題主要考查了一次函數(shù)與一元一次不等式的關系：從函數(shù)的角度看，就是尋求使

一次函數(shù)尸4x+6的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確

定直線y=正胭x軸上（或下）方部分所有的點的橫坐標所構成的集合.

三.解答題（共2小題）

3.（2021秋?普陀區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標系才加%已知拋物線尸工戶c與直線y=

3

-工產(chǎn)1交于點力（加，0）,8（-3,〃），與州交于點C,聯(lián)結力C

3

（1）求0、刀的值和拋物線的表達式；

（2）點。在拋物線尸工V+b戶c的對稱軸上，當/45=90°時，求點酸坐標；

3

（3）將△/況平移，平移后點加1在拋物線上，記作點尸，此時點0恰好落在直線加上，求點尸

的坐標.

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求出4曬點坐標即可解決問題.

(2)過點雁游由于點〃，由直角三角形的性質得出tan/40tan/aV/,則處口，可

CODH

列出方程求出。的長，則可得出答案；

22

(3)設P(3lt,得出N(t-3,ltJ^t_9-2),由點熔直線4?上可得出

3333

珀勺值，則可得出答案.

【解答】解：(1)將力("0)代入尸-工戶1,

3

解得加=3,

：.A(3,0),

將5(-3,刀)代入尸-1?戶1,

3

解得〃=2,

：.B(-3,-2),

把力(3,0),〃(-3,2)代入中,

3

1

可*9+3b+c=0

得|；

4x9-3b+c=2

解得，卜=與，.?.拋物線的解析式為『』￥-2x-2.

c=-233

(2)如圖1,過點加乍ZW_Ly軸于點〃,

...拋物線的對稱軸為―一包=工

2a2

:.DH=L,

2

VZ/lG9=90o,

:.NA處NDCH=9Q°,

又?.?/比//〃》=90°,

：.ZACO=ZCDH,

tanZ.ACO=tanZCDH,

???—AO二_CH，

CODH

由(1)可知以=3,0C=2,

,-3CH—

,12~11

:.CH=3,

4

(3)如圖2,若平移后的三角形為△月團V；

則［加=8=2,/物=的=3,

設/(t,±t2jLj-2),

33

：.N(t-3,工24-2-2),

33

?.?點六在直線尸-工x+1上，

3

:.、24t-4=-▲(r-3)+1,

333

￡=3^/^或￡=-3,\/2,

：.P(372,4-V2)或一(-3&,4+&).

【點評】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質，一次函數(shù)的性質，直角三角形

的性質，銳角三角函數(shù)的定義，平移的性質等知識，解題的關鍵是理解題意，學會用轉化的

思想思考問題，學會利用參數(shù)構建方程確定點的坐標.

4.(2021秋?松江區(qū)期末)如圖，已知直線尸-2戶2與趨由交于點4與碎由交于點6,拋物線y

3

=-2%2+切+盜過/、曬點.

3

(1)求這條拋物線的表達式；

(2)直線與該拋物線交于點G與線段力姣于點〃(點。與點力、懷重合)，與呼由交于點

E,聯(lián)結力GBC.

①當班=坐時，求f的值；

CD0E

②當切平分/4W,求△/比的面積.

【分析】(1)先求出點4點跳標，利用待定系數(shù)法可求解析式;

(2)證明△劭C,由相似三角形的性質得出/的《=/?。蛔C出/加密得出C點的

縱坐標為2,則可求出答案；

2

(3)設C(￡,-|-t4Az+2),過點洌乍做LCX于點應得出tanN8(%-tan//紙則

目1望，解方程求出1的值，則可求出答案.

CHCE

【解答】解：(1)由y=-Zx+2可得：

3

當x=0時，y=2；當尸=0時，x=3,

：.A(3,0),B(0,2),

把力、加勺坐標代入y=-勿r+c得：

3

(2

fX9+3b+c=0

4o,

c=2

解得：］3,

c=2

二拋物線的解析式為：尸-2歲+2行2；

33

(2)①如圖1,

???A-E=A'D一,

OEBD

.?.A=E'-D，E

OECD

?.A?-D二DE,

BDCD

又?：4ADE=/BDC,

：.AADESXBDC,

:?/DAE=NDBC,

:?AE〃BC,

點的縱坐標為2,?,.2=-2f+_￡x+2,

33

.,?>=0或*=2,

"(2,2),

t=2；

Y4BCH=/ACE,

:?tan/BCH=tan/ACE,

?.?BH_二AE，

CHCE

3-t

爭2亭亭?亭+2

/.t=A,

2

?,?九,|°=%"廿晶影臉-x$X互aXsi）X--—X2X3=—?

22222224

【點評】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式，平行線的判定和性質，相似

三角形的判定和性質，二次函數(shù)的性質等知識，靈活運用這些性質解決問題是解題的關鍵.

題型四：幾何圖形中的數(shù)形結合思想

一.選擇題（共1小題）

1.（2007?崇安區(qū)一模）如圖，在邊長為a的正方形上剪去一個邊長為6的小正方形（a>

6）,把剩下的部分剪拼成一個梯形，分別計算這兩個圖形陰影部分的面積，由此可以驗證的

b

等式是()

A.a-l)=(a+Z>)(a-b)B.(￡?+Z?)i=a+2ath-l)

C.(a-b)2—a-2ab^-t)D.a'-ab=a(a-6)

【分析】根據(jù)正方形和梯形的面積公式，觀察圖形發(fā)現(xiàn)這兩個圖形陰影部分的面積=22-爐=

（a+6）（a-￡）.

【解答】解：陰影部分的面積=--4=（云力（a-Z>）.

故選：A.

【點評】此題主要考查了平方差公式.即兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積等于這兩個數(shù)的平

方差，這個公式就叫做平方差公式.

二.填空題（共2小題）

2.（2021春?靜安區(qū)校級期末）如圖，直線4?與以相交于點0,/4勿=120。，直線4?與〃的夾

【解答】解：如?/戚=180°,

:.NBOD=18Q°-Z.AOD

=180°-120°=60°.

故答案為：60或120.

【點評】此題考查了對頂角與鄰補角的計算能力，關鍵是能準確理解應用以上知識，并能嚴

謹推導計算.

3.（2021秋?徐匯區(qū)期中）如圖所示，在直角三角形中有三個連續(xù)排列的正方形甲、乙、丙，己

知正方形甲、乙的邊長分別為9和6,則正方形丙的邊長等于4.

甲

I-------------［乙【分析】如圖，甲、乙、丙均為正方形，正方形甲、乙的邊長分別為9

和6,設正方形丙的邊長為x,根據(jù)正方形性質可推出△/比‘s△颯；通過相似三角形性質建

立方程求解即可.【解答】解：如圖，：甲、乙、丙均為正方形，正方形甲、乙的邊長分別

為9和6,設正方形丙的邊長為x,

:.NBCF=/CBG=NDEG=96°,/尸=9,BC=CF=BG=6,DE=EG=x,

：.ZACB=180°-N8g90°,NBED=1800-/DEG=9N,

：?/ACB=NBED,

■:/ABC+/DBES,//比斗/胡。=90°,

：.ABAC=ADBE,

:.△ABCS/\BDE,

.AC=BC

e，BEDE，

'：AC=AF-CF=9-6=3,BE=BG-EG=6-x,

3:6

6-xx

解得：x=4,

，正方形丙的邊長為4,

【點評】本題考查了正方形的性質，相似三角形的判定和性質，熟練學

握相似三角形的判定和性質，運用數(shù)形結合思想是解題關鍵.

【真題訓練】

1（2021上海中考真題6）.如圖長方形ABCD中，AB=4,AD=3,圓B半徑為1,圓A與圓B

內(nèi)切，則點C、D與圓A的位置關系是（）

A.點C在圓A外，點D在圓A內(nèi)

B.點C在圓A外，點D在圓A外

C.點C在圓A上，點D在圓A內(nèi)

D.點C在圓A內(nèi)，點D在圓A外

【考點】點與圓的位置關系，圓與圓的位置關系，勾股定理.

【解答】解：兩圓外切，圓心距等于半徑之差的絕對值，

設圓A的半徑為R,則：

AB=RT,解出R=5,即圓A的半徑等于5,

,?,AB=4,BC=AD=3,由勾股定理可知AC=5

；.AC=5=R,AD=3<R,.?.點C在圓上，點D在圓內(nèi)

【點評】本題考查了點與圓的位置關系、圓與圓的

位置關系勾股定理，熟練掌握點與圓的位置關系是關鍵，還利用了數(shù)形結合的思想，通過圖

形確定圓的位置.

2.（2020?上海中考真題）在平面直角坐標系升?中，直線片-；廣5與x軸、辟由分別交于

點力、以如圖）.拋物線產(chǎn)df+bx（aW0）經(jīng)過點力.

（1）求線段力相勺長；

（2）如果拋物線產(chǎn)aV+6逐過線段/吐的另一點0,且小不，求這條拋物線的表達式;

(3)如果拋物線片aV+5那J頂點啦于△力仍內(nèi)，求a的取值范圍.

【答案】⑴5折⑵尸⑶

0.

【分析】(1)先求出A,B坐標，即可得出結論；

(2)設點C(m,-gm+5),則風=好|m,進而求出點C(2,4),最后將點A,C代入拋物

22

線解析式中，即可得出結論；

(3)將點A坐標代入拋物線解析式中得出b=-10a,代入拋物線解析式中得出頂點D坐標為

(5,-25a),即可得出結論.

【詳解】(1)針對于直線產(chǎn)-A+5,令A=0,產(chǎn)5,/?(0,5),令尸0,則-3戶5=0,/.

產(chǎn)10,."(IO,0),：.AB=yl52+lO2=5.75;

(2)設點C(R,-g?研5).?:B(0,5),：.803n?+(一;m+5-5)2=與[m.

,:B0加,:.與、血f,.-./ZF±2.?.?點如線段被上，；.?=2,：.C[2,4),

100a+10/?=0

將點力(10,0),C(2,4)代入拋物線產(chǎn)a*+6x(aW0)中，得〈，

4。+2力=4

1

a=——

4拋物線片-,*+3招

42

b=-

2

(3):點力(10,0)在拋物線產(chǎn)af+bx中,得100卅10A0,：.b=-10a,

工拋物線的解析式為產(chǎn)aV-10ax=a(x-5)2-25a,

???拋物線的頂點〃坐標為(5,-25Q,

將產(chǎn)5代入尸——A+541?得產(chǎn)——X5+5=—,

222

???頂點啦于△/娜，A0<-25a<-,--<a<0.

210

【點睛】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，兩點間的距離公式，拋物線的頂

點坐標的求法，求出點D的坐標是解本題的關鍵.

3.(2019上海中考真題24).(12分)在平面直角坐標系X。中(如圖)，己知拋物線尸V

-2x,其頂點為4

(1)寫出這條拋物線的開口方向、頂點/的坐標，并說明它的變化情況；

(2)我們把一條拋物線上橫坐標與縱坐標相等的點叫做這條拋物線的“不動點”.

①試求拋物線尸f-2x的“不動點”的坐標；

②平移拋物線y=v-2x,使所得新拋物線的頂點8是該拋物線的“不動點”，其對稱軸與

游（11交于點C,且四邊形力比是梯形，求新拋物線的表達

1

O~1x

式.

【解答】解:（1）Va=l>0,

故該拋物線開口向上，頂點4的坐標為（1,-1）;

（2）①設拋物線“不動點”坐標為（3t）,則

解得：1=0或3,

故“不動點”坐標為（0,0）或（3,3）；

②；新拋物線頂點6為“不動點”，則設點占（處加，

.?.新拋物線的對稱軸為：x=m,與游由的交點，（加，0）,

?.?四邊形物比是梯形，

二直線戶nf（￡y軸左側，

?紀與不平行，

J.OC//AB,

又：點/（1,-1）,點3（加，加，

:?m=-1,

故新拋物線是由拋物線尸V-2x向左平移2個單位得到的，

...新拋物線的表達式為：y=（戶1）L1.

4.（2018?上海中考真題）在平面直角坐標系xOy中（如圖）.已知拋物線y=-gx'+bx+c經(jīng)過

點A（-1,0）和點B（0,-）,頂點為C,點D在其對稱軸上且位于點C下方，將線段DC繞點D按

2

順時針方向旋轉90°,點C落在拋物線上的點P處.

（1）求這條拋物線的表達式；

（2）求線段CD的長；

（3）將拋物線平移，使其頂點C移到原點0的位置，這時點P落在點E的位置，如果點M在y軸上，

且以0、D、E、M為頂點的四邊形面積為8,求點M的坐標.

【答案】(1)拋物線解析式為y=-4X2+2X+3；(2)線段CD的長為2；(3)M點的坐標為

22

77

(0,一)或(0,---).

22

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求拋物線解析式；

19

(2)利用配方法得到y(tǒng)=-2(x-2)2+-,則根據(jù)二次函數(shù)的性質得到C點坐標和拋物線的

22

9

對稱軸為直線x=2,如圖，設CD=t,則D(2,—-t),根據(jù)旋轉性質得/PDC=90°,

2