《柱、錐、臺和球的體積》教案

《柱、錐臺和球的體》教案教目1、了解柱、錐、臺的體積的計方法。2、了解祖暅原理。3、棱柱、棱錐、棱臺和球的體公式的應(yīng)用。教重點重點：棱柱、棱錐、和棱臺的體積公式的推導(dǎo)方法以及祖暅原理。難點：祖暅原理的理解及棱柱、棱錐、棱臺和球的體積公式的應(yīng)用。教過一、導(dǎo)入1、祖暅原理：祖暅(音èng)，名祖暅之，是祖沖之的兒子，他的活動時期大約在公504—年。祖氏父子在數(shù)學(xué)和天文學(xué)上都有杰出的貢獻。祖暅的主要工作是修補編輯祖沖之的《綴術(shù)導(dǎo)球體積公式的方法非常巧妙。2、祖暅原理是推導(dǎo)柱、錐、臺球體積公式的基礎(chǔ)和紐帶，原理中含有三個條件，條件一是兩個幾何體夾在兩個平行平面之間二用平行于兩個平行平面的任何一平面可截得兩個平面，條件三是兩個截面的面積總相等，這三個條件缺一不可，否則結(jié)論不成.這個原理是非常淺顯易懂的如一摞紙張堆放在桌面上它如下圖的右圖那樣改變一下形狀這高度沒有改每頁紙的面積也沒有改變因而這摞紙的體積與變形前相等.3、祖暅提出的“冪勢既同，則不容異“積之比等于對應(yīng)截面積之比這里是當(dāng)作公理使用．提法“冪勢既同，則積不容異”，西方通常叫做“卡瓦列利原理”(CavalierischesPrinzip)卡列[米Milan(現(xiàn)意大利城市)人在他的名《續(xù)不可分幾何》中提出這一原理，這本書出版635．二、棱柱和圓柱的體積1．體（棱柱和圓柱）的體積于它的底面積和高的積.即柱=·h.設(shè)有一個棱柱、一個圓柱和一個長方體，它們的底面積

相等都于高等h它的下底面都在同一平面.為它們的上底面和下底面平行，并且高相等，所以它們的上底面都在和下底面平行的同一個平面.用與底面平行的任意平面去截它們時，所得的截面面積都等，根據(jù)祖暅原理，它們的體積相等.由長方體的體積等于它的底面積和高的乘積，于是我們得到柱體的體積計算公式V柱體=S·底面半徑是，高為的圓柱體的體積的計算公式S圓柱π三、棱錐和圓錐的體積1.如一個錐體（棱錐、圓錐）的底面積S高h，那么它的體積是V錐體

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Sh.2.如圓錐的底面半徑R，是，則它的體積V錐=

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πR2h.如何理解錐體體積的推導(dǎo)？在推導(dǎo)棱錐的體積公式時將棱柱分為三個三棱錐三個三棱錐變換它們的底面和頂點可得到它們兩兩之間等底面積等高因此它們的體積相等都于三棱柱體積的三分之一在這個過程中一是用了等積轉(zhuǎn)換的方法是運用了割補法這些方法在今后解題時要靈活運用四、棱臺和圓臺的體積1.V臺體

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(S

')h

其SS’分別為臺體上下面面積為臺體的.2．V圓臺=

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π(r2+Rr+R2)h其中、分為圓臺的上、下底面的半徑，高h五、球的體積4V球=，中為球的半.3柱體、錐體、臺體的體積公式間的關(guān)系

六、多面體體積的求法多面體體積的常用求法有：1．直接法；2．換底法；3．分法4．補體法.七、例子：(1)長體的三個面的面積分別、6和，則長方體的體積[](2)平行六面體A中從點出發(fā)的三條棱上分別取其中EFG，則棱錐-EFG的體積是平行六面體體[(3)如果一個正四面體的體積9dm3則其表面的值為棱錐的體積是[](5)設(shè)正三棱柱的外接