2022年全國碩士研究生招生考試302數(shù)學(xué)二預(yù)測卷7和答案解析

2022年全國碩士研究生招生考試

數(shù)學(xué)（二）預(yù)測卷（七）

（科目代碼:302）

考生注意事項(xiàng)

1.答題前，考生須在試題冊指定位置上填寫考生編號和考生姓名；在答題卡指

定位置上填寫報考單位、考生姓名和考生編號，并涂寫考生編號信息點(diǎn)。

2.選擇題的答案必須涂寫在答題卡相應(yīng)題號的選項(xiàng)上，非選擇題的答案必須書

寫在答題卡指定位置的邊框區(qū)域內(nèi)。超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿

紙、試題冊上答題無效。

3.填（書）寫部分必須使用黑色字跡簽字筆書寫，字跡工整、筆跡清楚；涂寫

部分必須使用2B鉛筆填涂。

4.考試結(jié)束,將答題卡和試題冊按規(guī)定交回。

（以下信息考生必須認(rèn)真填寫）

考生編號

考生姓名

一、選擇題：1?10小題,每小題5分，共50分.下列每題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)是最符

合題目要求的.

4^arctan工

z/0,

甘+1￡

1.設(shè)f⑺則l=0是函數(shù)f(x)的

0'%=0,

A.跳躍間斷點(diǎn).B.可去間斷點(diǎn).

C.無窮間斷點(diǎn).D.連續(xù)點(diǎn).

2.設(shè)函數(shù)/(x)在［0,2］上二階可導(dǎo)，且/(0)=/(2)=0,則

A.當(dāng)/"(z)>0時，

J0

B.當(dāng)/'(z)VO時，「/(Gdr

c.當(dāng)>0時J(l)>0.

D.當(dāng)/(I)>0時，「f(z)dLr>0.

J0

3.設(shè)函數(shù)/G)在［-1,1］上連續(xù)，則下列定積分中與［；”(sin"dr不相等的是

A.7：/(cosjr)dr.B.7C/(sinjr)dr.

Jo

C.-I/(cosx)dr.D.I/(sinjr)dr.

ZJoZJo

4.設(shè)函數(shù)以外在點(diǎn)H=1的某鄰域內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且以D>0J(z)=Cr—1)2次外,則

A.函數(shù)/(外在點(diǎn)z=1處取得極大值.

B.函數(shù)在點(diǎn)z=1處取得極小值.

C.函數(shù)f(1)在點(diǎn)才=1處不取得極值.

D.點(diǎn)(1,0)是曲線y=/(x)的拐點(diǎn).

-lr|-l,3r，v，

5.設(shè)L=JJ(|x|+|y|)e->drd>,Z2=?(/+力-'l"drdy/=Ijcx+drd>,

DDD

其中D={Gr,y)||N|+|y|&D，則

A.I\VI2<LB.I2V八VI1.

C?八VLVA.D./3VlzVL.

(z,y)W(0,0),

6.函數(shù)/(r,y)在點(diǎn)(0,0)處

(>z,y)=(0,0)

A.偏導(dǎo)數(shù)存在但不連續(xù).

第2頁(共8頁)

B.連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)不存在.

C.連續(xù).偏導(dǎo)數(shù)存在但不可微.

D.可微.

7.設(shè)義工)為二階可導(dǎo)函數(shù),且l=0是f(z)的駐點(diǎn)，則二元函數(shù)z=/(z)P3在點(diǎn)(0,0)處取

得極大值的一個充分條件是

A./(0)>0,/(0)>0.

B./(0)<0,/(0)<0.

C./(0)>0,/(0)<0.

D./(0)<0,/(0)>0.

8.設(shè)4維列向量組Qi,a2，竊3，%線性無關(guān)次是常數(shù)“=a+k.住=a,2-ka3也=03+也，，

6=&+也…記8=(4,仇.良/‘)，則齊次線性方程組版=0有非零解的充分必要條件為

A.k豐1,B.kW土1.

C.%=1.D.k~=1.

9.設(shè)A為3階矩陣且滿足Ai=E,r(E-A)=1.則|A*+3E|=

A.8.B.16.C.18.D.32.

1-11[200

10.設(shè)A=24-2,3=0/;0.若A與3相似,則常數(shù)的值分別為

-3-3a002

A.5,6.B,4,5.

C.—5,—4.D.—1,0.

二、填空題：11?16小題，每小題5分，共30分.

11.曲線)=Cr>0)在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為—

12.

J1xVx—1

13.定積分六三業(yè)的值為.

14.設(shè)函數(shù)y(z)滿足方程，(z)+4，(z)+4y(z)=0,且y(0)=0,jZ(0)=1,則曲線y=y(i)

的拐點(diǎn)坐標(biāo)為.

15.設(shè)n=N(?r,y)是由方程z3—312N—Qyz+3①一3y=1所確定的函數(shù),則1

dxdy(0,0)

16.設(shè)A是5X4矩陣,r(A)=3,a,,a2,a3是非齊次線性方程組Axb的三個不

同的解，且6+2a->+3a,i=(l?2,l,0)T,ai+5儂=(—2,5,—5,—3)「，則

方程組Ar=8的通解為x=.

第3頁(共8頁)

三、解答題：17?22小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(本題滿分10分)

設(shè)函數(shù)/(Z)在點(diǎn)7=0的某一鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且/(0)=0,/(0)w0,當(dāng)I20時,/(z)手0,

「興力出

求limJ0____________

[M

18.(本題滿分12分)

已知方程!一卷=為在區(qū)間(—8,0)內(nèi)有實(shí)根'求常數(shù)6的取值范圍.

第4頁(共8頁)

19.（本題滿分12分）

設(shè)函數(shù)/（X）滿足方程f（工）+/（G=2-，且/（0）=2,記由曲線y=￡黑與直線y=1，

7=y>0）及？軸所圍平面圖形繞了軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積為V（t）,求

limV（z）.

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20.（本題滿分12分）

設(shè)/（外為［0,+8）上的可導(dǎo)函數(shù).且/（0）=1，/（外>0,lim人力=+8.證明：當(dāng)z>0時,

年Varctan/（x）+7/-；V子+L

Zj\JC）4

第6頁（共8頁）

21.(本題滿分12分)

設(shè)平面區(qū)域D是由封閉曲線/+y=a(x+X/J2+y)所圍成的有界閉區(qū)域,其中常數(shù)a〉

計(jì)算I=JJ[x2ln(y+x/1)+工/儲+y]da.

D

第7頁(共8頁)

22.（本題滿分12分）

設(shè)二次型工的矩陣為A,已知A的

/（xi,n2，3）=ax\+oz2+2br?T2+2&r?x3+26r2x；i

特征值為-1,2,2.

（D求常數(shù)a,6的值；

（2）求一個正交變換x=0,將二次型/化為標(biāo)準(zhǔn)形.

第8頁（共8頁）

參考答案與分析卷(七)

一、選擇題

1.【答案】D

【分析】因?yàn)?/p>

lim/(J")=lim------arctan-=(―1)?(----)=4,

…一ITee+1/'2/2

lim/(.r)=lim------arctan—=1-=-J-,

F+LO+e-4-1工

所以lim/(.r)=lim/(x)=--=/(O).從而r=0是函數(shù)/(z)的連續(xù)點(diǎn).

x-O-LO+,

應(yīng)選D.

2.【答案】A

【分析】如圖所示，當(dāng)/'(力>0時，曲線y=/Cr)在［0,2］上是凹的.

又/<0)=/(2)=0,故/(x)<0(0<x<2).于是，一「/'(—ar>

J0

十X2X匚一f⑴口=一/⑴，即j：fGr)dr</(1).

應(yīng)選A.

3.【答案】C

【分析】因?yàn)?/p>

Jxf(sinx)clrXJ(K—Z)/(sin；)d/=nJ/(sinx)cLr—|jr/(sinj)cLr.

所以1z/(sinN)dr=0[/(sinj)dr.

JoLJo

又

■yJ/(sinx)cLr-y/(cosZ)d/=兀J/(cosl)dl=jt|J/(cosj)cLr

XJU

^2~fxfx

------=7t'/(sinw)d?=7t'/(sinx)dLr.

JoJ0

應(yīng)選c.

4.【答案】B

【分析】由泰勒公式可知，存在￡介于1和工之間，使得

<p(.x)=w⑴+/⑴(工-1)+吟以工-1)2,

故/(X)=61)(工-1)2+/(1)(工-1)3+^^(工一1》.

從而/(I)=0,f(1)=2?(1)>0.于是，函數(shù)/(X)在點(diǎn)H=1處取得極小值.

應(yīng)選R

5.【答案】D

【分析】令/(?)=“叱，則當(dāng)〃V1時,/(〃)=(1—u)e-M>0,故f(u)在(-8,1]上單調(diào)增加.

因?yàn)楫?dāng)(z，3)6D時，|當(dāng)&1,1141,所以當(dāng)(以3)eD,且Cr，WW(0,0),|z|+|y|時,

-r3+"<|z|+lylv1，從而

(爐+爐)-J-y<(|x|+\y\)e-,4r|-|>1,

于是

jj(x3+y3)e-jl-v3drdy<jjc-r2+y2)e~j2~y2drdy<JJ(IZI+IyI九7，Uirdy.

DDD

即I3</2</1.

應(yīng)選D.

6.【答案】C

【分析】因?yàn)椤?彳&1，所以limf(X,y)=limf工=0=f(0,0),即/Cr,y)在點(diǎn)(0,0)

JT-Ty<j.y)-(0.0)Gr?y)，0?0》Z

處連續(xù).

因?yàn)閘im>以。)一津。)=lim°=0,lim—?(d。)=lim&=0,

j-ox-0"T-oxr*oy-Uy*oy

所以以工,y)在點(diǎn)(0.0)處存在偏導(dǎo)數(shù)，且乙(0,0)=/?(0,0)=0.

乂Hmf&'.y,一/(o,o)-1/(o,o)(~r—o)+/v(o,o)(?-o)1_所fy

9(x2+y)^'

而lim—=lim-",=—聲0?所以

胃(f"+y,”r口(f+x2)號2>/2

Hm/(—，.)―/(0,0)-[乙(0,0)(7—0)+/(0,0)(、一0)Z1,0

罵"+―

即函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處不可微.

應(yīng)選C.

7.【答案】C

【分析】<)X=八外"弩dy=/(”)"/(必

B=八外",蕊=/⑺八山”，

y-7=/(外/，)[/(3)了+/(z)e/x"/'(y).

3y

由于1=0是/(X)的駐點(diǎn)，即/(0)=0,因此點(diǎn)(0,0)是函數(shù)Z=/(幻》、)的駐點(diǎn).在點(diǎn)(0,0)處，

A=I=//(O)e/<o>,B=^-|=0,C=I=/(0)/,(0)e/(0).

2k|(o.o)dxdy|<o,o)dy\(o.o)

故當(dāng)/(0)>0且/〃(0)VO時,AC-B?=/(0)E/(0)]2e2/<0>>0,A<0.此時.z=在點(diǎn)

(0,0)處取得極大值.因此,z=在點(diǎn)(0,0)處取得極大值的一個充分條件是/(0)>0,

/(0)<0.

應(yīng)選C.

8.【答案】D

【分析】由題設(shè)，

1006

4100

B=?住,即、0;)=(fl|??2.03*ct；)

0^10

.0061

由于明，。2，23，04線性無關(guān)，因此(。1，?2，。3,04)是可逆矩陣，故r(B)=N。,其中

100k1004

k100^100

，1c|==IT

0k100410

00k10041

于是儕次線性方程組取=0有非零解㈡NS)V4=1C|=0㈡父=1㈡公=1.

應(yīng)選D.

9.【答案】B

【分析】由于A?=E,因此A的特征值只能為1或一1,且(E+A)(E-A)=O,從而r(E+A)+

r(E-A)<3,又因?yàn)?/p>

廠(E+A)+r(E—A))廠［(E+A)+(E—A)：］=r(2E)=3,

所以r(E4-A)+r(E-A)=3.已知r(E-A)=1,故NE+A)=2.于是,特征值一1對應(yīng)1個線性

無關(guān)的特征向量，而特征值1對應(yīng)2個線性無關(guān)的特征向量,從而3階矩陣A共有3個線性無關(guān)的特

征向量?因此,A的全部特征值為1,1,一1,從而A.的全部特征值為-1.一1.1泊?+3E的全部特征

值為2,2,4.故|4,+3E|=2X2X4=16.

應(yīng)選R

10.【答案】A

1-111-111-11

【分析】24-206-406—4=6(a—1),|BI=46；

-3-3a0—6a+300a-1

tr(A)=a+5,tr(B)=64-4.

tIrA(AI)==tBr(iB,),即Lf6(+a—5=1)6=+4Ib.,故

因?yàn)锳?B.所以5.〃=6.

應(yīng)選A.

二、填空題

11.【答案】,=工

ln?ln

【分析】由y'=（「'）'=e'（2Mn>r+1r）,知；/|一=1.又因切線過點(diǎn)（1,1）,故所求切線方

程為y=了.

12.【答案】式

【分析】j—盧---=2f丁"寶=2arctan/+C=2arctanJ工-1+C(C為任意常數(shù)).

JxZr-1J1+L

注意到x=1是被積函數(shù)的瑕點(diǎn)，

[—嚴(yán)=limf-=lim2arctanJx-1I=9，

lim2arctanJ工一\

T,

故『看「一也+「dr=衛(wèi)+工=

1

Jx-Jx-1J2xx/r—122

13.【答案】號

【分析】,土耳"=’(正事+正芋)公=『4^改=李

JT]+-Jo\]+/]+e-3/Jo4

14.【答案】(1,0-2)

【分析】由題設(shè)知，微分方程的通解為y(i)=(Ci由3>(0)=0,y(0)=1,得G=0,

Q=1.故y(z)=J*e-2j,y(x)=(1—2x)e-2x，yC)=4(x—l)e-2x.令y"(z)=0,得千=1,且y"Cr)

在工=1左右兩側(cè)異號.于是?曲線y=J(J)的拐點(diǎn)坐標(biāo)為(l,eT).

15.【答案】4

2

【分析】令F(x^y^z)=2^—3xz—6yz+3?r—31y—1,則

H=-6衣+3,凡=-6N-3,R=Sz2-312—6y.

由1=0,j=0易得2=1.于是.

匹=_F1__-6衣+3_2衣-1，一I__].

3—-31?-6j/-JT2-2j>,HiI(o.o)'

匹__FC_____—6z-3_2z+1I_?

22

f)yFK3—-3>-61yz—x—2y*^y\<o.o)

(0.0)

16.【答案】晨1,一1.2,1)T+(卷,母,卷,0)%為任意常數(shù))

【分析】因?yàn)锳是5X4矩陣,r(A)=3,所以非齊次線性方程組Ax=b對應(yīng)的齊次線性方程組

Ax=0的基礎(chǔ)解系只含一個線性無關(guān)解向量.由于

a：i—az=[(m+2a2+3a；＞)-(a]+5a2)0

=E(1,2,1,0)T一(—2,5,—5,13)11

=(1,-1,2,1)T

是齊次線性方程組Ai=0的基礎(chǔ)解系，而

4-(ai+2at+3<b)=4-(1.2,l,0)T=(4-,4-?4-<0)

6o'boo7

是非齊次線性方程組Ax=b的一個特解.因此，非齊次線性方程組Ax=b的通解為

x=鼠1,—1.2,1”+([■，]‘卷’。)(我為任意常數(shù)).

vO60'

三、解答題

17.【解】由于/(外在點(diǎn)z=0的某一鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且/(0)=0,/(0)#0,因此

扁起=扁檢中f(0)#0,lim

—ox—ox-0x-?0

又當(dāng)N羊0時JCr)WO,則

z/2(f)dz

力2(-■Z/(N)

lim=lim

2P/(Ddz

?r-4)2/(工)J/⑺山0

J0

/(外

?r/(0)

lim—7(0)

10

1

20

1

18.【解】令/(X)=y,則

-(e，-1尸_j2

(H)=—"A+1

f①一1)/(-1)2/(e—

再令g(jr)=x2一(十一2+e-x)?則

-J，z-J

g'(z)=2N—(1—e)?g(x)=2—(—+e).

由于/Gr)<OCrW0)，因此g’Cr)單調(diào)減少.從而當(dāng)①V0時?/(6>g(0)=0,即g(外在

(-oo,0]上單調(diào)增加.于是，當(dāng)/V0時,g(z)Vg(0)=0,從而/Cr)V0.即人"在(一8,0)上

單調(diào)減少.于是，當(dāng)/V0時,/(0一)</(x)</(-oo).又

/(0-)=lim(-----1[)=lim0片】=lim?一=limC■=得，

2

2e^-l/LO-NS-D—o-x…-2/2

/(一8)=lim1一4)=】，

jr—1/

知十＜/(X)＜1.故當(dāng)且僅當(dāng)十＜^＜1時,方程9-1々在區(qū)間(一8,0)內(nèi)有實(shí)根.

—1

19.【解】/(/)+/(z)=2-為一階線性微分方程，其通解為

/(x)=eT"(j2cze1dzdr+C)=e-x(eZj+C)=+Ce-^.

由/(O)=2,得。=1,故/(z)=F+e=,從而y=J汽=:]?，其與

j\x)十e

直線y=l,z=〃￡>o)及丁軸所圍平面圖形如圖所示.于是

VG)=K￡[l2-(^^)2]dz=x/+4o(er-e^)d(7+^)

=^+VT^L_4Odr=7t

故limV(D=limn

r-*4*ox-?+ooe-，re。,

20.【證】令叭])=arctanf(工)+五%,則

，(>._f(工)_f(/)_-/(z)_____

9-1+/(―—產(chǎn)(力—f(x)LH-/(x)r

由于/(z)>0,因此/(x)V0,從而僅外在[0,4-oo)上單調(diào)減少.于是，當(dāng)z>。時,僅+8)<

6外〈人0).又因?yàn)?(0)=1,lim/(x)=+8,所以

r?y8

飆0)=arctan/(0)+7焉=于+1'少(+8)=limarctan/(x)+/([)]=-y.

故乎<飆幻<f+l,BPf<arctan-點(diǎn)<f+1.

21.【解】由于曲線表達(dá)式中包含因此采用極坐標(biāo).令

r—JF1，rcos夕=z,

將該曲線方程化為r=a(l+cos/(a>0),可知該曲線是一條心形線，如

圖所示.

由于函數(shù)夕Gr,y)=/ln(y+/TT7)是關(guān)于y的奇函數(shù),且積分區(qū)域關(guān)

于z軸對稱，因此

匕=0.

D

故

ji+y)+JTJ+y]匕

D

=|1"=「M"2'cosOdr

D

=亍j(1+cos外cos0(\0

=(](1+4cos04-6cos204-4cos304-cos4O')cosM

“(4cos20-{-\cos*O')d3

o

=a4(4X--X-1--|-4X-1-X-1-X-^-)

=3

4

22.【解】（1）二次型/的矩陣為