第09章第03節(jié)幾何概型(課時作業(yè))2022版高考文科數(shù)學(xué)【優(yōu)化探究】一輪復(fù)習(xí)(基礎(chǔ)版)

課時作業(yè)A組——基礎(chǔ)保分練1．(2022·武漢調(diào)研)在長為16cm的線段MN上任取一點(diǎn)P，以MP，NP的長為鄰邊的長作一矩形，則該矩形的面積大于60cm2的概率為()\f(1,4) \f(1,2)\f(1,3) \f(3,4)解析：設(shè)MP＝xcm,0＜x＜16，則NP＝(16－x)cm，由x(16－x)＞60，得6＜x＜10，所以所求概率為P＝eq\f(4,16)＝eq\f(1,4)，故選A.答案：A2．在長為12cm的線段AB上任取一點(diǎn)C.現(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別等于線段AC，CB的長，則該矩形面積小于32cm2的概率為()\f(1,6) \f(1,3)\f(2,3) \f(4,5)解析：設(shè)AC＝x(0＜x＜12)，則CB＝12－x，所以x(12－x)＜32，解得0＜x＜4或8＜x＜12.所以P＝eq\f(4＋4,12)＝eq\f(2,3).答案：C3.在如圖所示的圓形圖案中有12片樹葉，構(gòu)成樹葉的圓弧均相同且所對的圓心角為eq\f(π,3)，若在圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自樹葉(即圖中陰影部分)的概率是()A．2－eq\f(3\r(3),π) B．4－eq\f(6\r(3),π)\f(1,3)－eq\f(\r(3),2π) \f(2,3)解析：設(shè)圓的半徑為r，根據(jù)扇形面積公式和三角形面積公式得陰影部分的面積S＝24eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)πr2－\f(\r(3),4)r2))＝4πr2－6eq\r(3)r2，圓的面積S′＝πr2，所以此點(diǎn)取自樹葉(即圖中陰影部分)的概率為eq\f(S,S′)＝4－eq\f(6\r(3),π)，故選B.答案：B4．在區(qū)間[－1,1]上隨機(jī)取一個數(shù)k，使直線y＝k(x＋3)與圓x2＋y2＝1相交的概率為()\f(1,2) \f(1,3)\f(\r(2),4) \f(\r(2),3)解析：若直線y＝k(x＋3)與圓x2＋y2＝1相交，則圓心到直線的距離d＝eq\f(|3k|,\r(1＋k2))＜1，解得－eq\f(\r(2),4)＜k＜eq\f(\r(2),4)，故在區(qū)間[－1,1]上隨機(jī)取一個數(shù)k，使直線y＝k(x＋3)與圓x2＋y2＝1相交的概率為P＝eq\f(\f(\r(2),2),2)＝eq\f(\r(2),4)，故選C.答案：C5．已知平面區(qū)域D＝{(x，y)|－1≤x≤1，－1≤y≤1}，在區(qū)域D內(nèi)任取一點(diǎn)，則取到的點(diǎn)位于直線y＝kx(k∈R)下方的概率為()\f(1,2) \f(1,3)\f(2,3) \f(3,4)解析：由題設(shè)知，區(qū)域D是以原點(diǎn)為中心的正方形，直線y＝kx將其面積平分，如圖，所求概率為eq\f(1,2).答案：A6．(2022·寶雞市高三一檢)歐陽修《賣油翁》中寫道：“(翁)乃取一葫蘆置于地，以錢覆其口，徐以杓酌油瀝之，自錢孔入，而錢不濕”．賣油翁的技藝讓人嘆為觀止．設(shè)銅錢是直徑為4cm的圓，它中間有邊長為1cm的正方形孔．若隨機(jī)向銅錢上滴一滴油，則油滴(不計油滴的大小)正好落入孔中的概率為()\f(1,4π) \f(1,4)\f(1,16π) \f(1,16)解析：依題意得，所求的概率為eq\f(12,π×22)＝eq\f(1,4π)，選A.答案：A7.某人隨機(jī)地在如圖所示的正三角形及其外接圓區(qū)域內(nèi)部投針(不包括三角形邊界及圓的外界)，則針扎到陰影區(qū)域(不包括邊界)的概率為________．解析：設(shè)正三角形的邊長為a，圓的半徑為R，則正三角形的面積為eq\f(\r(3),4)a2.由正弦定理得2R＝eq\f(a,sin60°)，即R＝eq\f(\r(3),3)a，所以圓的面積S＝πR2＝eq\f(1,3)πa2.由幾何概型的概率計算公式得概率P＝eq\f(\f(\r(3),4)a2,\f(1,3)πa2)＝eq\f(3\r(3),4π).答案：eq\f(3\r(3),4π)8.如圖所示，OA＝1，在以O(shè)為圓心，OA為半徑的半圓弧上隨機(jī)取一點(diǎn)B，則△AOB的面積小于eq\f(1,4)的概率為________．解析：因為OA＝1，若△AOB的面積小于eq\f(1,4)，則eq\f(1,2)×1×1×sin∠AOB＜eq\f(1,4)，所以sin∠AOB＜eq\f(1,2)，所以0＜∠AOB＜eq\f(π,6)或eq\f(5π,6)＜∠AOB＜π，所以△AOB的面積小于eq\f(1,4)的概率為eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)9．已知集合A＝[－2,2]，B＝[－1,1]，設(shè)M＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，在集合M內(nèi)隨機(jī)取出一個元素(x，y)．(1)求以(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)落在圓x2＋y2＝1內(nèi)的概率；(2)求以(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)到直線x＋y＝0的距離不大于eq\f(\r(2),2)的概率．解析：(1)集合M內(nèi)的點(diǎn)形成的區(qū)域面積S＝8.因為x2＋y2＝1的面積S1＝π，故所求概率為P1＝eq\f(S1,S)＝eq\f(π,8).(2)由題意eq\f(|x＋y|,\r(2))≤eq\f(\r(2),2)，即－1≤x＋y≤1，形成的區(qū)域如圖中陰影部分所示，面積S2＝4，故所求概率為P2＝eq\f(S2,S)＝eq\f(1,2).B組——能力提分練1．(2022·欽州質(zhì)檢)已知P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＋2eq\o(PA,\s\up6(→))＝0，現(xiàn)將一粒黃豆隨機(jī)撒在△ABC內(nèi)，則黃豆落在△PBC內(nèi)的概率是()\f(1,4) \f(1,3)\f(1,2) \f(2,3)解析：以PB，PC為鄰邊作平行四邊形PBDC，連接PD交BC于點(diǎn)O(圖略)，則eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PD,\s\up6(→))，∵eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＋2eq\o(PA,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝－2eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(PD,\s\up6(→))＝－2eq\o(PA,\s\up6(→))，由此可得，P是BC邊上的中線AO的中點(diǎn)，點(diǎn)P到BC的距離等于點(diǎn)A到BC的距離的eq\f(1,2)，∴S△PBC＝eq\f(1,2)S△ABC，∴將一粒黃豆隨機(jī)撒在△ABC內(nèi)，黃豆落在△PBC內(nèi)的概率為P＝eq\f(S△PBC,S△ABC)＝eq\f(1,2).答案：C2．在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,2)))上隨機(jī)取一個數(shù)x，則sinx＋cosx∈[1，eq\r(2)]的概率是()\f(1,2) \f(3,4)\f(3,8) \f(5,8)解析：因為x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,2)))，所以x＋eq\f(π,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(3π,4)))，由sinx＋cosx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))∈[1，eq\r(2)]，得eq\f(\r(2),2)≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))≤1，所以x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，故要求的概率為eq\f(\f(π,2)－0,\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6))))＝eq\f(3,4).答案：B3.如圖所示，A是圓上一定點(diǎn)，在圓上其他位置任取一點(diǎn)A′，連接AA′，得到一條弦，則此弦的長度小于或等于半徑的概率為()\f(1,2) \f(\r(3),2)\f(1,3) \f(1,4)解析：當(dāng)AA′的長度等于半徑長度時，∠AOA′＝eq\f(π,3)，A′點(diǎn)在A點(diǎn)左右都可取得，故由幾何概型的概率計算公式得P＝eq\f(\f(2π,3),2π)＝eq\f(1,3)，故選C.答案：C4．(2022·唐山五校聯(lián)考)向圓(x－2)2＋(y－eq\r(3))2＝4內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在x軸下方的概率為________．解析：由題意，設(shè)圓心為C，圓與x軸的交點(diǎn)為A，B，易得∠ACB＝60°，圓在x軸下方的部分為一弓形，其面積為eq\f(2π,3)－eq\r(3)，又圓的面積為4π，∴該點(diǎn)落在x軸下方的概率為eq\f(\f(2π,3)－\r(3),4π)＝eq\f(1,6)－eq\f(\r(3),4π).答案：eq\f(1,6)－eq\f(\r(3),4π)5.(2022·石家莊檢測)“勾股定理”在西方被稱為“畢達(dá)哥拉斯定理”，三國時期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用數(shù)形結(jié)合的方法給出了勾股定理的詳細(xì)證明．如圖所示的“勾股圓方圖”中，四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個邊長為c的大正方形，若直角三角形中的兩直角邊分別為a，b，則有a2＋b2＝c2.現(xiàn)在向正方形ABCD區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地投擲一枚飛鏢，若b＝2a，則飛鏢落在正方形EFGH內(nèi)的概率是________．解析：小正方形EFGH的邊長GH＝b－a＝a，正方形ABCD的邊長c＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(5)a，所以飛鏢落在小正方形EFGH內(nèi)的概率為P＝eq\f(a2,5a2)＝eq\f(1,5).答案：eq\f(1,5)6．已知關(guān)于x的二次函數(shù)f(x)＝b2x2－(a＋1)x＋1.(1)若a，b分別表示將一質(zhì)地均勻的正方體骰子(六個面的點(diǎn)數(shù)分別為1,2,3,4,5,6)先后拋擲兩次時第一次、第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，求y＝f(x)恰有一個零點(diǎn)的概率；(2)若a，b∈[1,6]，求滿足y＝f(x)有零點(diǎn)的概率．解析：(1)設(shè)(a，b)表示一個基本事件，則拋擲兩次骰子的所有基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,5)，(6,6)，共36個．用A表示事件“y＝f(x)恰有一個零點(diǎn)”，即Δ＝[－(a＋1)]2－4b2＝0，則a＋1＝2b.則A包含的基本事件有(1,1)，(3,2)，(5,3)，共3個，所以P(A)＝eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).即事件“y＝f(x)恰有一個零點(diǎn)”的概率為eq\f(1,12).(2)用B表示事件“y＝f(x)有零點(diǎn)”，即a＋1≥2b.試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為{(a，b)|1≤a≤6,1≤b≤6}，構(gòu)成事件B的區(qū)域為{(a，b)|1≤a≤6,1≤b≤6，a－2b＋1≥0}．如圖所示：所以所求的概率為P(B)＝eq\f(\f(1,2)×5×\f(5,2),5×5)＝eq\f(1,4).即事件“y＝f(x)有零點(diǎn)”的概率為eq\f(1,4).7．已知袋子中放有大小和形狀相同的小球若干，其中標(biāo)號為0的小球1個，標(biāo)號為1的小球1個，標(biāo)號為2的小球n個．若從袋子中隨機(jī)抽取1個小球，取到標(biāo)號為2的小球的概率是eq\f(1,2).(1)求n的值；(2)從袋子中不放回地隨機(jī)抽取2個小球，記第一次取出的小球標(biāo)號為a，第二次取出的小球標(biāo)號為b.①記“a＋b＝2”為事件A，求事件A的概率；②在區(qū)間[0,2]內(nèi)任取2個實數(shù)x，y，求事件“x2＋y2＞(a－b)2恒成立”的概率．解析：(1)依題意eq\f(n,n＋2)＝eq\f(1,2)，得n＝2.(2)①記標(biāo)號為0的小球為s，標(biāo)號為1的小球為t，標(biāo)號為2的小球為k，h，則取出2個小球的可能情況有：(s，t)，(s，k)，(s，h)，(t，s)，(t，k)，(t，h)，(k，s)，(k，t)，(k