北師大版選擇性必修第一冊(cè)6.5正態(tài)分布作業(yè)

§5正態(tài)分布選題明細(xì)表知識(shí)點(diǎn)、方法題號(hào)正態(tài)分布1,2,5,9正態(tài)分布的性質(zhì)3,4,6,7正態(tài)分布的應(yīng)用8,10,11,12基礎(chǔ)鞏固1.下列函數(shù)是正態(tài)分布密度函數(shù)的是(B)A.μ,σ(x)=12πσB.μ,σ(x)=2π2πC.μ,σ(x)=12D.μ,σ(x)=12π解析:正態(tài)分布密度函數(shù)為μ,σ(x)=12π·σ·e-(x-μ)2.對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)的密度函數(shù)μ,σ(x)=12πeA.μ,σ(x)為偶函數(shù)B.μ,σ(x)的最大值是12πC.μ,σ(x)在x>0時(shí)單調(diào)遞減,在x≤0時(shí)單調(diào)遞增D.正態(tài)曲線關(guān)于直線x=1是對(duì)稱的解析:由正態(tài)分布密度函數(shù)知μ=0,即正態(tài)曲線關(guān)于y軸對(duì)稱.故選D.3.已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2,σ2),P(ξ<4)=0.84,則P(ξ≤0)=(A)A.0.16 B.0.32 C.0.68 D.0.84解析:因?yàn)镻(ξ<4)=0.84,μ=2,所以P(ξ≤0)=P(ξ≥4)=1-0.84=0.16.故選A.4.設(shè)隨機(jī)變量X～N(3,1),若P(X>4)=p,則P(2<X≤4)=(C)A.12+p B.1-pC.1-2pD.-pD.12解析:由X～N(3,1)得μ=3,所以P(3<X≤4)=122P(3<X≤4)=1-2p.故選C.5.正態(tài)分布密度函數(shù)μ,σ(x)=122πe-解析:由題意可知X～N(5,4),且μ=5,σ=2,所以P(3<X≤7)=P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.6826.答案:0.68266.已知正態(tài)分布總體的數(shù)據(jù)落在區(qū)間(-3,-1)里的概率和落在區(qū)間(3,5)里的概率相等,那么這個(gè)正態(tài)分布總體的數(shù)學(xué)期望為.?解析:由題意知區(qū)間(-3,-1)與(3,5)關(guān)于直線x=μ對(duì)稱,因?yàn)閰^(qū)間(-3,-1)和區(qū)間(3,5)關(guān)于直線x=1對(duì)稱,所以正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望為1.答案:1能力提升7.(多選題)(2021·江蘇徐州高二期末)根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn),某企業(yè)正常情況下生產(chǎn)的醫(yī)用口罩的過(guò)濾率x～N(0.9372,0.01392).若x～N(μ,σ2)(σ>0),則P(μ-2σ<x≤μ+2σ)=0.9545,P(μ-3σ<x≤μ+3σ)=0.9973,0.≈0.3164.對(duì)如下命題:甲,P(x≤0.9)<0.5;乙,P(x<0.4)>P(x>1.5);丙,P(x>0.9789)=0.00135;丁,假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常.記X表示一天內(nèi)抽取的50只口罩中過(guò)濾率大于μ+2σ的數(shù)量,則P(X≥1)≈0.6.其中真命題是(ABC)A.甲 B.乙 C.丙 D.丁解析:根據(jù)題意知μ=0.9372,σ=0.0139.所以由正態(tài)分布曲線得P(x≤0.9)<P(x≤0.9372)=0.5,所以甲正確;由正態(tài)分布曲線知P(x<0.4)=P(x>2×0.9372-0.4)=P(x>1.4744)>P(x>1.5),所以乙正確;因?yàn)镻(μ-3σ<x≤μ+3σ)=P(0.8955<x≤0.9789)=0.9973,所以由正態(tài)分布曲線知P(x>0.9789)=(1-0.9973)÷2=0.00135,所以丙正確;因?yàn)镻(x≥μ+2σ)=(1-0.9545)÷2=0.02275,所以P(x<μ+2σ)=1-0.02275=0.97725,所以P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.≈1-0.3164=0.6836,所以丁錯(cuò)誤.故選ABC.8.(多選題)(2021·江蘇啟東高二期中)某校將高二年級(jí)1000名參加生物選擇考同學(xué)的考試分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換為等級(jí)分,已知等級(jí)分X的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換區(qū)間為[30,100],若等級(jí)分X～N(80,25),則下列說(shuō)法正確的有(BD)0.9545;③P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.9973.)A.這次考試等級(jí)分超過(guò)80分的約有450人B.這次考試等級(jí)分在(65,95]內(nèi)的人數(shù)約為997C.P(85<X≤90)=0.0428D.甲、乙、丙3人中恰有2人的等級(jí)分超過(guò)80分的概率為3解析:選項(xiàng)A,由X～N(80,25),則μ=80,σ=5,則這次考試等級(jí)分超過(guò)80分的概率為12,所以這次考試等級(jí)分超過(guò)80分的約有1000×1選項(xiàng)B,這次考試等級(jí)分在(65,95]內(nèi)的概率為P(65<X≤95)=P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.9973,所以這次考試等級(jí)分在(65,95]內(nèi)的人數(shù)約為1000×0.9973≈997,故選項(xiàng)B正確;選項(xiàng)C,P(85<X≤90)=12[P(70<X≤90)-P(75<X≤85)]=12[P(μ-2σ<X≤μ+2σ)-P(μ-σ<X≤μ+σ)]=選項(xiàng)D,等級(jí)分超過(guò)80分的概率為12,所以甲、乙、丙3人中恰有2人的等級(jí)分超過(guò)80分的概率為C32(12)2×9.(2021·浙江麗水期中)根據(jù)公共衛(wèi)生傳染病分析中心的研究,傳染病爆發(fā)疫情期間,如果不采取任何措施,則會(huì)出現(xiàn)感染者基數(shù)猛增,重癥擠兌,醫(yī)療資源負(fù)荷不堪承受的后果.如果采取公共衛(wèi)生強(qiáng)制措施,則會(huì)導(dǎo)致峰值下降,峰期后移.設(shè)不采取措施、采取措施情況下分別服從正態(tài)分布N(35,2),N(70,8),則峰期后移了天,峰值下降了%.(注:正態(tài)分布的峰值計(jì)算公式為12π解析:由題意可知,峰期后移了70-35=35(天);峰值下降了(12π×2-12π×8答案:355010.已知某地農(nóng)民工年均收入ξ服從正態(tài)分布,其正態(tài)曲線如圖所示.(1)寫出此地農(nóng)民工年均收入的正態(tài)分布密度函數(shù)的解析式;(2)求此地農(nóng)民工年均收入在8000元～8500元之間的人數(shù)百分比.解:設(shè)農(nóng)民工年均收入ξ～N(μ,σ2),結(jié)合圖象可知μ=8000,σ=500.(1)此地農(nóng)民工年均收入的正態(tài)分布密度函數(shù)的解析式為f(x)=12πσe所以P(8000<ξ≤8500)=12所以此地農(nóng)民工年均收入在8000元～8500元之間的人數(shù)百分比約為34.13%.11.在某次數(shù)學(xué)考試中,考生的成績(jī)X服從正態(tài)分布,即X～N(90,100).(1)試求考試成績(jī)X位于區(qū)間(70,110]內(nèi)的概率是多少?(2)若這次考試共有2000名考生,試估計(jì)考試成績(jī)?cè)趨^(qū)間(80,100]內(nèi)的考生大約有多少人?附:P(μ-σ<x<μ+σ)=0.6826,P(μ-2σ<x<μ+2σ)=0.9544.解:因?yàn)閄～N(90,100),所以μ=90,σ=100=10.(1)由于X在區(qū)間(μ-2σ,μ+2σ]內(nèi)取值的概率約是0.9544,而該正態(tài)分布中,μ-2σ=90-2×10=70,μ+2σ=90+2×10=110,于是考試成績(jī)X位于區(qū)間(70,110]內(nèi)的概率約是0.9544.(2)由μ=90,σ=10,得μ-σ=80,μ+σ=100.由于隨機(jī)變量X在區(qū)間(μ-σ,μ+σ]內(nèi)取值的概率約是0.6826,所以考試成績(jī)X位于區(qū)間(80,100]內(nèi)的概率約是0.6826,一共有2000名考生,所以考試成績(jī)?cè)趨^(qū)間(80,100]內(nèi)的考生大約有2000×0.6826≈1365(人).應(yīng)用創(chuàng)新12.(2021·安徽合肥一中期中)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程,檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取10個(gè)零件,并測(cè)量其尺寸(單位:cm).根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn),可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線在正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(10,0.01).(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常,記X表示一天內(nèi)抽取的10個(gè)零件中其尺寸在區(qū)間(9.8,10.2)之外的零件數(shù),求P(X≥1)及X的數(shù)學(xué)期望;(2)該工廠對(duì)生產(chǎn)的零件制定了兩種銷售方案(假設(shè)每種方案對(duì)銷售量沒(méi)有影響).方案一,每個(gè)零件均按85元定價(jià)銷售.方案二,若零件的實(shí)際尺寸在(9.8,10.1)范圍內(nèi),則該零件為A級(jí)零件,每個(gè)零件定價(jià)100元;否則為B級(jí)零件,每個(gè)零件定價(jià)為30元.問(wèn)哪種銷售方案的利潤(rùn)更大?請(qǐng)根據(jù)數(shù)據(jù)計(jì)算說(shuō)明.附:若X～N(μ,σ2),則P(μ-σ<X<μ+σ)=0.6827,P(μ-2σ<X<μ+2σ)=0.9545,0.≈0.6277.解:(1)抽取的一個(gè)零件的尺寸在區(qū)間(9.8,10.2)之內(nèi)的概率為0.9545,從而零件的尺寸在(9.8,10.2)之外的概率為0.0455,故X～B(10,0.0455).因此P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.≈0.3723.X