2023年高考數(shù)學(xué)壓軸題-圓錐曲線專題第12講：斜率問題四（原卷版）

第十二講：斜率問題（四）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】基礎(chǔ)目標(biāo)：掌握橢圓，雙曲線，拋物線的簡單性質(zhì)，直線斜率的表示和計(jì)算過程；應(yīng)用目標(biāo)：掌握橢圓，雙曲線，拋物線中，直線與其對應(yīng)的關(guān)系，傾斜角互補(bǔ)，斜率互為相反數(shù)；拓展目標(biāo)：能夠熟練應(yīng)用數(shù)形結(jié)合，觀察線段長度，位置關(guān)系等，進(jìn)行傾斜角和斜率的轉(zhuǎn)化.素養(yǎng)目標(biāo)：通過數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法，培養(yǎng)獨(dú)立思考和邏輯分析能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).【基礎(chǔ)知識(shí)】1、傾斜角互補(bǔ)直線和的傾斜角分別為和，當(dāng)時(shí)，則；2、角度相等當(dāng)角度的公共邊為軸、軸或與之平行的線段時(shí)，則可以找到兩條直線的傾斜角之間的關(guān)系，即傾斜角互補(bǔ)，斜率相加為零；3、線段相等等腰三角形的底邊為軸、軸或與之平行的線段時(shí)，則可以找到兩條直線的傾斜角之間的關(guān)系，即傾斜角互補(bǔ)，斜率相加為零；4、角平分線當(dāng)角平分線為軸、軸或與之平行的線段時(shí)，則可以找到兩條直線的傾斜角之間的關(guān)系，即傾斜角互補(bǔ)，斜率相加為零；【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：傾斜角互補(bǔ)例1．已知橢圓（）離心率等于，且橢圓C經(jīng)過點(diǎn).(1)求橢圓C的方程；(2)過點(diǎn)P作傾斜角分別為的兩條直線PA，PB，設(shè)PA，PB與橢圓C異于點(diǎn)P的交點(diǎn)分別為A，B，若，試問直線AB的斜率是否為定值？如果為定值，請求出此定值；如果不是定值，請說明理由.變式訓(xùn)練1：已知橢圓()的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，以的短半軸長為半徑的圓被直線截得的弦長為2.(1)求橢圓的方程；(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線（不過原點(diǎn)也不過點(diǎn)）交于兩點(diǎn)，且直線的傾斜角互補(bǔ)，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，求直線的斜率.

變式訓(xùn)練2：已知圓：，圓：，動(dòng)圓與圓和圓均內(nèi)切.(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程(2)點(diǎn)（）為軌跡上的點(diǎn)，過點(diǎn)作兩條直線與軌跡交于兩點(diǎn)，直線，的斜率互為相反數(shù)，則直線的斜率是否為定值？若是，求出定值：若不是，請說明理由.變式訓(xùn)練3：已知拋物線C1：與橢圓C2：（）有公共的焦點(diǎn)，C2的左?右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，該橢圓的離心率為.(1)求橢圓C2的方程；(2)如圖，若直線l與x軸，橢圓C2順次交于P，Q，R（P點(diǎn)在橢圓左頂點(diǎn)的左側(cè)），且∠PF1Q與∠PF1R互為補(bǔ)角，求△F1QR面積S的最大值.

考點(diǎn)二：角度問題（傾斜角互補(bǔ)）例1．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率等于，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)已知點(diǎn)，（）在橢圓上，點(diǎn)，是橢圓上不同于，的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足：，試問：直線的斜率是否為定值？請說明理由.變式訓(xùn)練1：已知橢圓：，為上焦點(diǎn)，左頂點(diǎn)到的距離為，且離心率為，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過的直線與交于，兩點(diǎn)，證明：.

變式訓(xùn)練2：在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到直線的距離.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(2)記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，在軸上是否存在一點(diǎn)，使若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.變式訓(xùn)練3：在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，點(diǎn)在圓上，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為是的中點(diǎn)，當(dāng)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)形成的軌跡為．(1)求的軌跡方程；(2)若點(diǎn)，試問在軸上是否存在點(diǎn)，使得過點(diǎn)的動(dòng)直線交于兩點(diǎn)時(shí)，恒有？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

考點(diǎn)三：長度相等（傾斜角互補(bǔ)）例1．已知橢圓的離心率為，經(jīng)過點(diǎn).(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)點(diǎn)A?B在橢圓C上，直線?分別與y軸交于點(diǎn)M?N，，試問直線的斜率是否為定值？如果是定值，請求出此定值；如果不是定值，請說明理由.變式訓(xùn)練1：已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，，離心率為，過且垂直于已知橢圓：的左?右焦點(diǎn)分別為?，焦距為2，點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的方程；(2)若點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，為軸上一點(diǎn)，，設(shè)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若直線，關(guān)于直線對稱，求直線的斜率.

變式訓(xùn)練2：已知橢圓C：的短軸長為2，直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)在橢圓C上，且直線PA與PB關(guān)于直線對稱.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求證：直線AB的斜率為定值.變式訓(xùn)練3：已知點(diǎn)，直線l的方程為，雙曲線的右焦點(diǎn)為，雙曲線的兩條漸近線與直線l圍成的三角形的面積為．(1)求雙曲線的方程；(2)直線過點(diǎn)與雙曲線相交于A，B兩點(diǎn)，直線FA與直線FB分別與y軸交于C，D兩點(diǎn)，證明：（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

考點(diǎn)四：角平分線（已知）例1．已知橢圓C：（）的離心率為，點(diǎn)在橢圓C上，點(diǎn)F是橢圓C的右焦點(diǎn).(1)求橢圓C的方程；(2)過點(diǎn)F的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，則在x軸上是否存在一點(diǎn)P，使得x軸平分？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由，變式訓(xùn)練1：已知拋物線，過焦點(diǎn)的直線l交拋物線C于M、N兩點(diǎn)，且線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2．（1）求直線l的方程；（2）設(shè)x軸上關(guān)于y軸對稱的兩點(diǎn)P、Q，（其中P在Q的右側(cè)），過P的任意一條直線交拋物線C于A、B兩點(diǎn)，求證：始終被x軸平分．

變式訓(xùn)練2：已知橢圓：的離心率為，點(diǎn)為橢圓C上一點(diǎn)．(1)求橢圓的方程；(2)若是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且的角平分線總是垂直于軸，求證：直線的斜率為定值．考點(diǎn)五：角平分線（翻譯）例1．已知曲線的焦點(diǎn)為，曲線上有一點(diǎn)滿足.(1)求拋物線的方程；(2)過原點(diǎn)作兩條相互垂直的直線交曲線于異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)，直線與軸相交于，試探究軸上存在一點(diǎn)是否存在異于的定點(diǎn)滿足恒成立.若存在，請求出點(diǎn)坐標(biāo).

變式訓(xùn)練1：設(shè)拋物線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離為6，且點(diǎn)到軸的距離為．（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)，過焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，證明：．變式訓(xùn)練2：已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)到直線的距離為，且，.(1)記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，求曲線的方程；(2)若直線與曲線交于兩點(diǎn)，直線與曲線交于，兩點(diǎn)，直線與的交點(diǎn)為（不在曲線上），且，設(shè)直線，的斜率分別為，.求證：為定值.

考點(diǎn)六：定比分點(diǎn)（弦長的應(yīng)用）例1．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，，離心率為，過且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為1．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)的兩條直線分別交曲線于兩點(diǎn)和兩點(diǎn)，且，求直線的斜率與直線的斜率之和．變式訓(xùn)練1：已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C：的焦點(diǎn)為F，P為拋物線C上一點(diǎn)，PF與y軸垂直，Q為y軸上一點(diǎn)，且，若.(1)求；(2)設(shè)點(diǎn)，過點(diǎn)作兩條不同的直線分別交拋物線C于A，B兩點(diǎn)和D，E兩點(diǎn)，且滿足，求證為定值.

變式訓(xùn)練2：已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)．(1)求橢圓的方程；(2)動(dòng)直線與橢圓相切，點(diǎn)是直線上的兩點(diǎn)，且，求四邊形的面積；(3)過橢圓內(nèi)一點(diǎn)作兩條直線分別交橢圓于點(diǎn)，和，設(shè)直線與的斜率分別是，若，試問是否為定值，若是，求出定值，若不是，說明理由．變式訓(xùn)練3：在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，點(diǎn)P為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且的周長為.記點(diǎn)P的軌跡為C.(1)試說明曲線C的形狀，并求C的方程；(2)設(shè)點(diǎn)M在直線上，且M不在C上，過M的兩條直線分別交C于A，B兩點(diǎn)和R，H兩點(diǎn)，且，直線和的斜率都存在且不為零，求直線的斜率與直線的斜率的比值.

【當(dāng)堂小結(jié)】1、知識(shí)清單：（1）橢圓，雙曲線，拋物線的簡單性質(zhì)；（2）傾斜角互補(bǔ)，斜率相加為零；（3）數(shù)形結(jié)合把圖形轉(zhuǎn)化為傾斜角，斜率求解；2、易錯(cuò)點(diǎn)：數(shù)形結(jié)合將圖形轉(zhuǎn)化為傾斜角；3、考查方法：數(shù)形結(jié)合思想，數(shù)與形的轉(zhuǎn)化；4、核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)抽象.【過關(guān)檢測】1．已知拋物線，直線與交于兩點(diǎn)且（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．(1)求拋物線的方程；(2)設(shè)，若直線的傾斜角互補(bǔ)，求的值．

2．已知橢圓的焦距為，左、右焦點(diǎn)分別為，為橢圓上一點(diǎn)，且軸，，為垂足，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過橢圓的右焦點(diǎn)的直線（斜率不為）與橢圓交于兩點(diǎn)，為軸正半軸上一點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)．3．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，．(1)求拋物線的方程；(2)過點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，試問拋物線上是否存在定點(diǎn)使得直線與的斜率互為倒數(shù)？若存在求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在說明理由．

4．已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，到的一條漸近線的距離為1.直線與交于不同的兩點(diǎn)，，當(dāng)直線經(jīng)過的右焦點(diǎn)且垂直于軸時(shí)，.(1)求的方程；(2)是否存在軸上的定點(diǎn)，使得直線過點(diǎn)時(shí)，恒有？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.5．已知橢圓C：的離心率為，點(diǎn)和點(diǎn)都在橢圓C上，直線PA交x軸于點(diǎn)M．(1)求橢圓C的方程，并求點(diǎn)M的坐標(biāo)（用m，n表示）；(2)設(shè)O為原點(diǎn)，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對稱，直線PB交x軸于點(diǎn)N，問：y軸上是否存在點(diǎn)Q（不與O重合），使得？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為，其離心率，且橢圓C經(jīng)過點(diǎn).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)M作兩條不同的直線與橢圓C分別交于點(diǎn)A，B（均異于點(diǎn)M）.若∠AMB的角平分線與y軸平行，試探究直線AB的斜率是否為定值？若是，請給予證明；若不是，請說明理由.7．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，其中P為E的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且．(1)求拋物線E的方程；(2)過的直線與E交于C，D兩點(diǎn)，在x軸上是否存在定點(diǎn)，使得x軸平分？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

8．已知