安徽省滁州市定遠(yuǎn)縣重點(diǎn)中學(xué)2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理）試題 Word版含解析

2020學(xué)年第二學(xué)期期中試卷高二數(shù)學(xué)試題（理）注意事項(xiàng)：1.答題前在答題卡、答案紙上填寫(xiě)好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2.請(qǐng)將第I卷（選擇題）答案用2B鉛筆正確填寫(xiě)在答題卡上；請(qǐng)將第II卷（非選擇題）答案黑色中性筆正確填寫(xiě)在答案紙上.第I卷（選擇題60分）一、選擇題(共12小題，每小題5分，共60分)1.已知為正數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】設(shè)，則在上單調(diào)遞減．若，則，即；若，即，則有．綜上可得“”是“”的充要條件．選C．2.已知命題“函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)”；命題“存在，使成立”，若為真命題，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，則，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，所以在上恒成立，即，即在上恒成立，所以，又由命題，轉(zhuǎn)化為，即在上有解，設(shè)，則，所以在上為單調(diào)遞減函數(shù)，所以，所以，又因?yàn)闉檎婷}，所以均為真命題，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選B.點(diǎn)睛：本題考查了單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，不等式在一個(gè)區(qū)間上的恒成立與有解的求解，以及邏輯聯(lián)結(jié)詞中命題的真假判定，解答中正確求解兩個(gè)命題是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想在解題中的應(yīng)用.3.已知四棱錐中，，，，則點(diǎn)到底面的距離為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則由題設(shè)，即，即，由于，所以，故點(diǎn)到平面ABCD的距離，應(yīng)選答案D．4.自圓：外一點(diǎn)引該圓的一條切線，切點(diǎn)為，切線的長(zhǎng)度等于點(diǎn)到原點(diǎn)的長(zhǎng)，則的最小值為（）A. B. C.4 D.【答案】D【解析】，，，根據(jù)，化簡(jiǎn)得，即點(diǎn)在直線上，那么的最小值就是原點(diǎn)到直線的距離，，而，所以的最小值就是，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，但先求動(dòng)點(diǎn)軌跡，再轉(zhuǎn)化為求原點(diǎn)到直線的距離，意在考查轉(zhuǎn)化劃歸能力及運(yùn)算能力，點(diǎn)在直線外時(shí)，點(diǎn)到直線的距離是點(diǎn)和直線上其他點(diǎn)的距離的最小值，點(diǎn)在圓外時(shí)，點(diǎn)和圓上的點(diǎn)的連線的最大值是點(diǎn)到圓心的距離加半徑，最小值是點(diǎn)和圓心的距離減半徑，總之，再考查點(diǎn)，直線，圓的位置關(guān)系時(shí)，要充分利用數(shù)形結(jié)合來(lái)轉(zhuǎn)化為熟悉的最值的求法.5.設(shè)分別是橢圓E：的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓E于兩點(diǎn)，，若，則橢圓E的離心率為A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】【分析】設(shè).則,由余弦定理得,解得.所以,故三角形等腰直角三角形.故,離心率為.故選.6.已知雙曲線的中心為原點(diǎn)，是的焦點(diǎn)，過(guò)的直線與相交于，兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意知c=3,a2+b2=9，設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，則有：，兩式作差得：，又AB的斜率是，所以將4b2=5a2代入a2+b2=9得：a2=4,b2=5.所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是，則雙曲線的漸近線方程為.本題選擇A選項(xiàng).7.已知函數(shù)f（x）對(duì)定義域內(nèi)R內(nèi)的任意x都有f（x）=f（4﹣x），且當(dāng)x≠2時(shí)，其導(dǎo)數(shù)滿足＞，若2＜a＜4，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】確定函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，根據(jù)不等式得到函數(shù)單調(diào)區(qū)間，構(gòu)造函數(shù)，計(jì)算單調(diào)區(qū)間得到，根據(jù)對(duì)稱性得到，得到答案.【詳解】，故函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，，即，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.設(shè)，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，，故，，故，故.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性和對(duì)稱性比較函數(shù)值大小，意在考查學(xué)生對(duì)于函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用.8.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，是上一點(diǎn)，是直線與的一個(gè)交點(diǎn)，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)與x軸的交點(diǎn)為M，過(guò)Q向準(zhǔn)線作垂線，垂足為N，由，可得，又，根據(jù)拋物線的定義即可得出.【詳解】設(shè)與x軸的交點(diǎn)為M，過(guò)Q向準(zhǔn)線作垂線，垂足為N，，，又，，，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義及其性質(zhì)、向量的共線，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.9.已知函數(shù)f(x)＝ex－(x＋1)2(e為2.71828…)，則f(x)的大致圖象是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用特殊值代入，可排除A、D,根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性可排除B，即可得出結(jié)果.【詳解】函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故排除A、D，又，當(dāng)時(shí)，，所以在為減函數(shù)，故排除B,故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的圖象、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，識(shí)別函數(shù)圖象問(wèn)題，往往可根據(jù)特殊值或特殊自變量所在區(qū)間利用排除法解答，屬于中檔題.10.已知兩點(diǎn)均在焦點(diǎn)為的拋物線上，若，線段的中點(diǎn)到直線的距離為1，則的值為（）A.1 B.1或3 C.2 D.2或6【答案】B【解析】因?yàn)榫€段的中點(diǎn)到直線的距離為1，所以，選B.點(diǎn)睛：1.凡涉及拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離時(shí)，一般運(yùn)用定義轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線距離處理．2．若為拋物線上一點(diǎn)，由定義易得；若過(guò)焦點(diǎn)的弦AB的端點(diǎn)坐標(biāo)為，則弦長(zhǎng)為可由根與系數(shù)的關(guān)系整體求出；若遇到其他標(biāo)準(zhǔn)方程，則焦半徑或焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可由數(shù)形結(jié)合的方法類似地得到．11.已知，，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】已知，,..當(dāng)時(shí)，有最小值.故選A.12.已知函數(shù)f(x)＝xlnx－aex(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A. B.(0，e)C. D.(－∞，e)【答案】A【解析】【分析】先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)題意將導(dǎo)函數(shù)為零轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，然后求的導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，列表分析導(dǎo)函數(shù)符號(hào)變化規(guī)律，確定單調(diào)性，進(jìn)而確定圖象，最后根據(jù)圖象確定實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】f(x)＝xlnx－aex(x>0)，∴f′(x)＝lnx＋1－aex(x>0)，由已知函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)可得y＝a和g(x)＝在(0，＋∞)上有兩個(gè)交點(diǎn)，g′(x)＝(x>0)，令h(x)＝－lnx－1，則h′(x)＝－－<0，∴h(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減且h(1)＝0，∴當(dāng)x∈(0，1]時(shí)，h(x)≥0，即g′(x)≥0，g(x)在(0，1]上單調(diào)遞增，g(x)≤g(1)＝，當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，h(x)<0，即g′(x)<0，g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，故g(x)max＝g(1)＝，而x→0時(shí)，g(x)→－∞，x→＋∞時(shí)，g(x)→0；若y＝a和g(x)在(0，＋∞)上有兩個(gè)交點(diǎn)，只需0<a<.【點(diǎn)睛】極值點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，一般轉(zhuǎn)化為方程解的問(wèn)題，再通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兞糠蛛x轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)值域問(wèn)題.二、填空題(共4小題，每小題5分，共20分)13.已知，平面與平面法向量分別為，，且，，則__________.【答案】3【解析】【詳解】∵，且平面與平面的法向量分別為，，∴，解得：．14.拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為,則此拋物線的方程為_(kāi)_______.【答案】【解析】由題意得拋物線的焦點(diǎn)為，雙曲線的漸進(jìn)線方程為，取其中一條為，即．由題意得，解得．所以拋物線的方程為．答案：.15.已知函數(shù)，若在區(qū)間上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)________．【答案】【解析】由題意知f′(x)＝x＋2a?≥0在上恒成立，即2a≥?x＋在上恒成立，∵＝，∴2a≥，即a≥.16.下列說(shuō)法中所有正確命題的序號(hào)是__________．①“”是“”成立的充分非必要條件；②、，則“”是“”的必要非充分條件；③若一個(gè)命題的逆命題為真，則它的否命題一定為真；④設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則“”是“”成立的充要條件.【答案】②③④【解析】對(duì)于①中，，則，所以是的必要不充分條件，所以不正確；對(duì)于②中，由時(shí)，則，而當(dāng)，則成立，所以是的必要不充分條件，所以知正確的；對(duì)于③中，原命題的逆命題與原命題的否命題，互為逆否關(guān)系，說(shuō)以一個(gè)命題的逆命題為真，則它的否命題一定為真是正確的；對(duì)于④中，在等比數(shù)列中，當(dāng)時(shí)，，即成立，當(dāng)時(shí)，則，所以，所以在等比數(shù)列中，是的充要條件，所以是正確的，故選②③④.三、解答題(共6小題，共70分)17.設(shè)命題，命題：關(guān)于不等式的解集為.（1）若命題為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若命題或是真命題，且是假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）當(dāng)為真時(shí)，；（2）的取值范圍是．【解析】【詳解】試題分析：命題為真命題，即不等式的解集為，利用判別式求出實(shí)數(shù)的取值范圍；根據(jù)題意得命題，有且僅有一個(gè)為真命題，分別討論真假與假真，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍．解析：（1）當(dāng)為真時(shí)，∵不等式的解集為，∴當(dāng)時(shí)，恒成立.∴，∴∴當(dāng)為真時(shí)，（2）當(dāng)為真時(shí)，∵，∴當(dāng)為真時(shí)，；當(dāng)為真時(shí)，，由題設(shè)，命題或是真命題，且是假命題，真假可得，假真可得綜上可得或則的取值范圍是.18.已知?jiǎng)狱c(diǎn)與平面上兩定點(diǎn)，連線的斜率的積為定值．（1）試求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)直線：與曲線交于，兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求直線的方程．【答案】（1）（）；（2）或【解析】【分析】（1）設(shè)出P的坐標(biāo)，利用動(dòng)點(diǎn)P與平面上兩定點(diǎn)連線的斜率的積為定值，建立方程，化簡(jiǎn)可求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程C．（2）直線l：y＝kx+1與曲線C方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理計(jì)算弦長(zhǎng)，即可求得結(jié)論．【詳解】解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x，y），由題意得：kPAkPB＝∴，化簡(jiǎn)，整理得故P點(diǎn)的軌跡方程是，（x≠±）（2）設(shè)直線l與曲線C的交點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2），由得，（1+2k2）x2+4kx＝0∴x1+x2＝，x1x2＝0，|MN|＝，整理得，k4+k2﹣2＝0，解得k2＝1，或k2＝﹣2（舍）∴k＝±1，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意．∴直線l的方程是y＝±x+1，即：x﹣y+1＝0或x+y﹣1＝0【點(diǎn)睛】本題考查軌跡方程的求解，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查弦長(zhǎng)公式的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．19.已知，分別是雙曲線E：的左、右焦點(diǎn)，P是雙曲線上一點(diǎn)，到左頂點(diǎn)的距離等于它到漸近線距離的2倍，求雙曲線的漸近線方程；當(dāng)時(shí)，的面積為，求此雙曲線的方程．【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（1）由到左頂點(diǎn)的距離等于它到漸近線距離的倍，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式可得，從而可得雙曲線的漸近線方程；（2）由余弦定理，結(jié)合雙曲線的定義可得，再根據(jù)的面積為，可得，得，從而可得結(jié)果.試題解析：（1）因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，則點(diǎn)到漸近線距離為（其中c是雙曲線的半焦距），所以由題意知，又因?yàn)?，解得，故所求雙曲線的漸近線方程是.（2）因?yàn)?，由余弦定理得，即．又由雙曲線的定義得，平方得，相減得．根據(jù)三角形的面積公式得，得．再由上小題結(jié)論得，故所求雙曲線方程是.20.已知函數(shù),其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)當(dāng)時(shí)，求證:對(duì)任意的.【答案】(1)上單調(diào)遞減.(2)證明見(jiàn)及解析.【解析】【詳解】分析：(1)將代入，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)即可判定函數(shù)的單調(diào)性．(2)將不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一次函數(shù)，討論在時(shí)一次函數(shù)對(duì)任意的兩個(gè)端點(diǎn)都小于0，即可證明．詳解：(1);∴在上單調(diào)遞減(2)要證對(duì)恒成立即證;對(duì)恒成立令,即證當(dāng)時(shí)，恒成立即證;成立∵∴①式成立現(xiàn)證明②式成立:令設(shè)在,使得,則在単調(diào)遞增,在単調(diào)遞減∴,=∵，∴∴綜上所述.在,恒成立.點(diǎn)睛：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，是高考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，充分理解導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性、極值、最值的關(guān)系，證明在一定條件下不等式成立，解不等式或求參數(shù)的取值情況，屬于難題．21.已知拋物線焦點(diǎn)為，點(diǎn)A，B，C為該拋物線上不同的三點(diǎn)，且滿足.（1）求；（2）若直線交軸于點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）寫(xiě)出焦點(diǎn)及三點(diǎn)坐標(biāo)，利用，可得三點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系，再根據(jù)拋物線的定義將到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，可求得；（2）設(shè)出直線方程，將直線方程與拋物線聯(lián)立利用根與系數(shù)的關(guān)系，可得的取值范圍．【詳解】設(shè)由拋物線得焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，，,所以由得，（1）拋物線的準(zhǔn)線方程為，由拋物線定義得：，，，所以.（2）顯然直線斜率存在，設(shè)為，則直線方程為，聯(lián)立消去得，所以，即...①且，所以，代入式子得又點(diǎn)也在拋物線上，所以，即.②由①，②及可解得即，又當(dāng)時(shí)，直線過(guò)點(diǎn)，此時(shí)三點(diǎn)共線，由得與共線，即點(diǎn)也在直線上，此時(shí)點(diǎn)必與之一重合，不滿足點(diǎn)為該拋物線上不同的三點(diǎn)，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.22.已知函數(shù)，實(shí)數(shù)．（1）若時(shí)，求函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（2）若時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值．【答案】（1）單增區(qū)間為；單減區(qū)間為；（2）【解析】【分析】（1）先由