人教版二項(xiàng)式定理-典型例題解析

人教版二項(xiàng)式定理概念篇3[例1]展開－>.52x2分析一：直接用二項(xiàng)式定理展開式.3333解法一：－>=C<2>+C>－>+C>－>+C<2>－>+3554322051525352x22x22x22x233C<2－>+C－5445552x22x2=32x－120x+－+－.528x73210xx4分析二：對較繁雜的式子,先化簡再用二項(xiàng)式定理展開.3(4x35解法二：－>=52x232101=［Cx>+Cx>－3>+Cx>－3>+Cx>－3>+C<4x><－3>+35343323233405152535453210C－3>］5551=<1024x－3840xx－4320x+1620x－243>32x－120x+－+－.528x73210xx4說明：記準(zhǔn)、記熟二項(xiàng)式<ab>的展開式是解答好與二項(xiàng)式定理有關(guān)問題的前提條件.對較復(fù)雜的n二項(xiàng)式,有時先化簡再展開會更簡便.[例2]求二項(xiàng)式a－2b>的展開式.a4分析：直接利用二項(xiàng)式定理展開.解：根據(jù)二項(xiàng)式定理得a－2b>=Ca+Ca－b>+Ca－2b>+Ca－2b>+C－2b>44322340414243444a－8ab+24ab－32ab+16b.432234說明：運(yùn)用二項(xiàng)式定理時要注意對號入座,本題易誤把－2b中的符號－忽略.[例3]在－>,x的系數(shù)是.3106解法一：根據(jù)二項(xiàng)式定理可知x的系數(shù)是C.64解法二：－>的展開式的通項(xiàng)是T=Cx－>.31010－3rrrr+1令10－r即r=4,由通項(xiàng)公式可知含x項(xiàng)為第5項(xiàng),即T=Cx－>=9Cx.66346444+1∴x的系數(shù)為9C.64上面的解法一與解法二顯然不同,那么哪一個是正確的呢？問題要求的是求含x這一項(xiàng)系數(shù),而不是求含x的二項(xiàng)式系數(shù),所以應(yīng)是解法二正確.如果問題改為求66含x的二項(xiàng)式系數(shù),解法一就正確了,也即是C.64說明：要注意區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與指定某一項(xiàng)的系數(shù)的差異.二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)是兩個不同的概念,前者僅與二項(xiàng)式的指數(shù)與項(xiàng)數(shù)有關(guān),與二項(xiàng)式無關(guān),后者與二項(xiàng)式、二項(xiàng)式的指數(shù)與項(xiàng)數(shù)均有關(guān).2[例4]已知二項(xiàng)式<3－>,10x3x求其展開式第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)；1/9求其展開式第四項(xiàng)的系數(shù)；求其第四項(xiàng).分析：直接用二項(xiàng)式定理展開式.22解：<3－>的展開式的通項(xiàng)是T=C<3>－>r=0,1,…,10>.1010r－rxrxr+13x3x展開式的第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C=120.32展開式的第4項(xiàng)的系數(shù)為C3－>－77760.73331展開式的第4項(xiàng)為－77760<>,即－77760.7xx3x22說明：注意把<3－>寫成［3－］,從而湊成二項(xiàng)式定理的形式.1010xx3x3x1[例5]求二項(xiàng)式x+>的展開式中的常數(shù)項(xiàng).2102x1分析：展開式中第r+1項(xiàng)為Cx><>,要使得它是常數(shù)項(xiàng),必須使"的指數(shù)為零,依據(jù)是210r－rr2x0=1,≠0.解：設(shè)第r+1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng),則1515T=C210<>=Cx20r<><=0,1,…,10>,令20－得=8.rrrr－rrrr2r+12x221∴T=C<>=.8892∴第9項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng),其值為.,就是這項(xiàng)不含變元一般采用令通項(xiàng)T中的變元的指數(shù)r+1為零的方法求得常數(shù)項(xiàng).[例6]<1>求>展開式中系數(shù)最大項(xiàng)；7求－2>展開式中系數(shù)最大項(xiàng).7分析：利用展開式的通項(xiàng)公式,可得系數(shù)的表達(dá)式,列出相鄰兩項(xiàng)系數(shù)之間關(guān)系的不等式,進(jìn)而求出其最大值.C2C2,r7rr1r17解：設(shè)第r+1項(xiàng)系數(shù)最大,則有C2C2,rr1r17r77!7!(r!(7r1)!7!22,rr1r!(7r)!即7!22,r1r!(7)!(!(71)!rrrr2116,r,83rr又∵≤r≤7,∴r=5.0化簡得解得1213rr.r.713∴系數(shù)最大項(xiàng)為T=C2x=672x.555576解：展開式中共有8項(xiàng),系數(shù)最大項(xiàng)必為正項(xiàng),即在第一、三、五、七這四項(xiàng)中取得.又因－27括號內(nèi)的兩項(xiàng)中后兩項(xiàng)系數(shù)的絕對值大于前項(xiàng)系數(shù)的絕對值,故系數(shù)最大值必在中間或偏右,故只需比較2/9C(2)C34746T和T兩項(xiàng)系數(shù)的大小即可.=＞1,所以系數(shù)最大項(xiàng)為第五項(xiàng),即T4.7575C(2)4C6177說明：本例中<1>的解法是求系數(shù)最大項(xiàng)的一般解法,<2>的解法是通過對展開式多項(xiàng)分析,使解題過程得到簡化,比較簡潔.[例7]>的展開式中第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的系數(shù)相等,求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最大n的項(xiàng).分析：根據(jù)已知條件可求出n,再根據(jù)n的奇偶性確定二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).解：T=C>,T=Cx>,依題意有C2=C2解得n=8.x>的展開式中,二項(xiàng)式系數(shù)最大565685n6n5n6n67的項(xiàng)為T=C>x.444n5C2C2,r7rr1r17設(shè)第r+1項(xiàng)系數(shù)最大,則有∴5≤r≤6.∴r=5或r=6.C2C2.rr1r17r7∴系數(shù)最大的項(xiàng)為Tx,T=1792x.5667說明：求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng),根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),n為奇數(shù)時中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；n為偶數(shù)時,中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.求展開式中系數(shù)最大項(xiàng)與求二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是不同的,,一般采用列不等式,再解不等式的方法求得.應(yīng)用篇[例8]若n∈N,<+1>=aba、b∈則b的值<>*2n2nnnnnA.一定是奇數(shù)C.與b的奇偶性相反一定是偶數(shù)D.與a有相同的奇偶性n分析一：形如二項(xiàng)式定理可以展開后考查.解法一：由<+1>=ab,知ab=<1+>2222nnnnnn=C+C+C<>+C<>+…+C<>.222232n0n1n2n3nnn∴b=1+C<>+C<>+…22242n4nn∴b為奇數(shù).n答案：A分析二：選擇題的答案是唯一的,因此可以用特殊值法.解法二：n∈N,取n=1時,<+1>=<有b=1為奇數(shù).*2121取n=2時,<+1>=2+5,有b=5為奇數(shù).2222答案：A[例9]若將z>展開為多項(xiàng)式,經(jīng)過合并同類項(xiàng)后它的項(xiàng)數(shù)為<>10A.11B.33C.55D.66分析：+z>看作二項(xiàng)式展開.(xy)z］10解：我們把yz看成+z,按二項(xiàng)式將其展開,共有項(xiàng)即<+z>=10=x>z.－kk(xy)z］C10kk0這時,由于和中各項(xiàng)z的指數(shù)各不相同,因此再將各個二項(xiàng)式+>展開,不同的乘積C<y>10k－10k3/9z=0,1,…,10>展開后,都不會出現(xiàn)同類項(xiàng).－kk下面,再分別考慮每一個乘積Cy>z=0,1,…,10>.10kk－k其中每一個乘積展開后的項(xiàng)數(shù)由+10k,而且各項(xiàng)中x和y的指數(shù)都不相同,也不會出現(xiàn)同類－項(xiàng).故原式展開后的總項(xiàng)數(shù)為…+1=66.答案：D說明：化三項(xiàng)式為二項(xiàng)式是解決三項(xiàng)式問題的常用方法.1[例10]求｜｜+－2>展開式中的常數(shù)項(xiàng).3|x|分析：把原式變形為二項(xiàng)式定理標(biāo)準(zhǔn)形狀.11解：∵｜｜+－2>=<－>,63x|||x||x|1∴展開式的通項(xiàng)是T=C<>－>－1>C<>.|x|62－r|x|6－rrrr6r6r+1|x|若T為常數(shù)項(xiàng),則62r=0,r=3.r+1∴展開式的第4項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng),即T－C－20.364說明：對某些不是二項(xiàng)式,但又可化為二項(xiàng)式的題目,可先化為二項(xiàng)式,再求解.[例求<－>展開式中的有理項(xiàng).39xx分析：展開式中的有理項(xiàng),就是通項(xiàng)公式中x的指數(shù)為整數(shù)的項(xiàng).1127r解：∵T=Cx>－x>=<－1>Cx.9r－rrr923r96r+1r3r令∈,即4+∈,且r=0,1,2,…,9.66∴r=3或r=9.r當(dāng)r=3時,=4,T－1>Cx－84x.3443946r6當(dāng)r=9時,=3,T－1>Cx－x.9339910∴<－>的展開式中的有理項(xiàng)是第4項(xiàng)－84x,第10項(xiàng)－x.3943xx說明：利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)T可求展開式中某些特定項(xiàng).r+1[例12]若－1>axax+…aa,求7767610aa…a；127aaaa；1357aaaa.0246分析：所求結(jié)果與各項(xiàng)系數(shù)有關(guān)可以考慮用"特殊值法,整體解決.解：令x=0,則a－1,令則aa+…aa=2=128.①707610∴aa…a=129.127令x－1,則aaaaaaaa－4>.②776543210(2)1由得：aaaa=［128－－4>］=8256.7135722(2)1由得aaaa=［－4>］－8128.7024622說明：本解法根據(jù)問題恒等式特點(diǎn)來用"特殊值法,這是一種重要的方法,它用于恒等式.<2>一般地,對于多項(xiàng)式g>=<q>aaaxaxaxaxaxax,g>各項(xiàng)的系數(shù)和為n234567012345674/911gg<的奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為［gg－］,gx的偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為［g－g－］.22[例13]證明下列各式<1>1+2C+4C+…+2C+2C=3；n－1n1nnn1n22nnn<2><C>+<C>+…+<C>=C；2201nnnnn2n<3>C+2C+3C+…nCn2.n－1123nnnnn分析：<1><2>與二項(xiàng)式定理的形式有相同之處可以用二項(xiàng)式定理,形如數(shù)列求和,因此可以研究它的通項(xiàng)尋求規(guī)律.證明：在二項(xiàng)展開式ab>=Ca+Cab+Cab+…+Cab+Cb中,n0nn1nn－12nn22n1nn－1nnn令a=1,b得<1+2>=1+2C+4C+…+2C+2C,即n12n－1n1nnnnnn1+2C+4C+…+2C+2C=3.n－1n1nn12nnnn2nn<2><1+><1+>=<1+x>,nn∴<1+C+Cx+…+Cx+…x><1+C+Cx+…+Cx+…+x>=<1+>.2rn2rn2n1n2nrn1n2nrn而C是>的展開式中x的系數(shù),由多項(xiàng)式的恒等定理,得2nnn2nCC+CC+…+CC+CC=C.0nnn1nn11nn1nnn0nn2nn∵C=C,0≤≤n,mnmnn∴<C>+<C>+…+<C>=C.22201nnnnn2n證法一：令S=C+2C+3C+…nC.①12n3nnnn令S=C+2C+…n－1>CnC12nn1nnnnnCn－1>C+…+2C+Cnn1n21nnnnCn－1>C+…+2C+C.②n1nn2nn1nn由①②得2SnCnCnC+…nCn<C+C+C+C+…+C>123nn1n23nnnnnnnnnn<C+C+C+C+…+Cn2.012n3nnnnnn∴Sn2,即C+2C+3C+…nCn2.n－1n－11n2n3nnnn(n!(k!(nk)!證法二：觀察通項(xiàng)：Ck.nnCknk1n1k!(nk)!∴原式nCnCnCnC+…nCn<C+C+C+C…+Cn2,n－10n11n12n13n1n－1n1n10n11n12n13n1n1n1即C+2C+3C+…nCn2.123nnnnn說明：解法二中CnC可作為性質(zhì)記住.[例14]求1.997精確到0.001的近似值.kk1n1n5分析：準(zhǔn)確使用二項(xiàng)式定理應(yīng)把1.997拆成二項(xiàng)之和形式如1.997=2－0.003.解：1.997－0.003>55=2－C20.003+C20.003－C20.003…543223152535≈32－0.24+0.00072≈31.761.說明：利用二項(xiàng)式定理進(jìn)行近似計(jì)算,關(guān)鍵是確定展開式中的保留項(xiàng),使其滿足近似計(jì)算的精確度.[例15]求證：51－1能被7整除.51分析：為了在展開式中出現(xiàn)7的倍數(shù),應(yīng)把51拆成7的倍數(shù)與其他數(shù)的和或差的形式.證明：51－1=<49+2>－1=C49+C492+…+C49·2+C2－1,51515150505101易知除C2－1以外各項(xiàng)都能被7整除.51又2－1=<2>－1=<7+1>－1=C7+C7+…+C7+C－1=7<C7+C7…+C>.5131717171616150101顯然能被7整除,所以51－1能被7整除.51數(shù)值>的整除問題,關(guān)鍵是將所給多項(xiàng)式通過恒等變形變?yōu)槎?xiàng)式形式,使其展開后的各項(xiàng)均含有除式.創(chuàng)新篇[例16]已知x+1>的展開式的最后三項(xiàng)系數(shù)之和為22,中間一項(xiàng)為20000.求.xn5/9分析：本題看似較繁,但只要按二項(xiàng)式定理準(zhǔn)確表達(dá)出來,不難求解！解：由已知C+C+C=22,即nn－42=0.又n∈N,∴n=6.2*nn1n2nnnT為中間一項(xiàng)T=Clgx>3=20000,即lgx3=1000.x=10.36441兩邊取常用對數(shù),有l(wèi)gx=1,lg±1,∴x=10或x=.2說明：當(dāng)題目中已知二項(xiàng)展開式的某些項(xiàng)或某幾項(xiàng)之間的關(guān)系時,常利用二項(xiàng)式通項(xiàng)公式,根據(jù)已知條件列出等式或不等式進(jìn)行求解.[例17]設(shè)f>=<1+>+<1+>,n∈N若其展開式中關(guān)于x的一次項(xiàng)的系數(shù)和為問,n為何mn*值時,含x項(xiàng)的系數(shù)取最小值？并求這個最小值.2分析：根據(jù)已知條件得到x的系數(shù)是關(guān)于x的二次表達(dá)式,然后利用二次函數(shù)性質(zhì)探討最小值問題.21m2n211解：C+Cn=11.C+C=m－n－n>=,221m1n2m2n22∵n∈N,*∴n=6或5,=5或6時,x項(xiàng)系數(shù)最小,最小值為25.2說明：本題是一道關(guān)于二次函數(shù)與組合的綜合題.1[例18]若+－2>的展開式的常數(shù)項(xiàng)為－20,求n.nx111≠0,當(dāng)＞0時,把三項(xiàng)式+－2>轉(zhuǎn)化為<－>＜0時,同理+－2>=<nx2nnxxx1－1><－>.然后寫出通項(xiàng),令含x的冪指數(shù)為零,進(jìn)而解出n.nx2nx11解：當(dāng)＞0時x+－2>=<－>,nx2nxx1其通項(xiàng)為T=C<>－>－1>C<>.2nr－rr2n2r－xxr2nr2nr+1x令2n－2r=0,得nr,∴展開式的常數(shù)項(xiàng)為－1>C；rn2n11當(dāng)＜0時x+－2>－1><－>.同理可得展開式的常數(shù)項(xiàng)為－1>C.nnx2nrn2nxx無論哪一種情況,常數(shù)項(xiàng)均為－1>C.rn2n令－1>C=20.以n=1,2,3,…,逐個代入,得n=3.rn2n說明：本題易忽略＜0的情況.22[例19]利用二項(xiàng)式定理證明<>＜.n－13n12n1分析：不易從二項(xiàng)展開式中得到,可以考慮其倒數(shù).n12223n1證明：欲證<>＜成立,只需證<>＜成立.n－1n－13n1223112111而<>=<1+>=C+C+C<>+…+C<>n－1n－12n1－0n11n12n1n1n12222n11=1++C<>+…+C<>2n1－2n1n12n122n1＞.231說明：本題目的證明過程中將<>轉(zhuǎn)化為<1+>,然后利用二項(xiàng)式定理展開式是解決本問題的n－1n－122關(guān)鍵.6/91[例20]求證：2≤<1+>＜n∈N>.n*n1分析：<1+>與二項(xiàng)式定理結(jié)構(gòu)相似,用二項(xiàng)式定理展開后分析.nn1證明：當(dāng)n=1時,<1+>=2.nn111111當(dāng)n≥2時,<1+>=1+C+C+…+C<>=1+1+C+…+C<>＞2.n1nn2nn2n2nn2nnnnnnnn1n(n(nkkk!n1又C<>=≤,kkk!nn1111111所以<1+>≤2+++…+＜2+++…+n2!3!1n!1223(nnn1111－>+<－>+…+<－>223n1n1=3－＜3.n1綜上有2≤<1+>＜3.nn說明：在此不等式的證明中,利用二項(xiàng)式定理將二項(xiàng)式展開,再采用放縮法和其他有關(guān)知識,將不等式證明到底.11[例21]求證：對于nN,<1+>＜<1+>.n+1*nnn1分析：結(jié)構(gòu)都是二項(xiàng)式的形式,因此研究二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)是常用方法.11Arn證明：<1+>展開式的通項(xiàng)T=C=nrr+1nrr!nrnn1(2)(nnnnr=r!nr1121r=－－…－>.r!nnn11Ar<1+>展開式的通項(xiàng)′=C=rrn+1rn1r+1n1n1(n!(nr1(2)(nnnnr=r!nr1121r=－－…－>.r!1n1n1n由二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)可明顯地看出T′r+1r+111所以<1+>＜<1+n+1nnn1,且有一項(xiàng)相同.證明時,根據(jù)題設(shè)特點(diǎn),采用比較通項(xiàng)大小的方法完成本題證明.[例22]設(shè)a、b、c是互不相等的正數(shù),且a、b、c成等差數(shù)列,n∈N,求證：a＞2b.*nn分析：題中雖未出現(xiàn)二項(xiàng)式定理的形式,但可以根據(jù)a、b、c成等差數(shù)列創(chuàng)造條件使用二項(xiàng)式定理.證明：設(shè)公差為d,則ab－d,bd.a－2bb－d>b+d>－2bnnnnn［b－Cbd+Cbd+…－1>d］［b+Cbd+Cbd+…d］n1n－12n－22nnn1n－12n－22nnnnn7/9=2<Cbd+Cbd…＞0.n22n4424nn說明：由a、b、c成等差,公差為d,可得ab－d,bd,這就給利用二項(xiàng)式定理證明此問題創(chuàng)造了可能性.問題即變?yōu)閎－d>bd>＞2b,然后用作差法改證b－d>bd>－2b＞0.nnnnnn[例23]求－3x>的展開式中x.265分析：先將1+2－3x分解因式,把三項(xiàng)式化為兩個二項(xiàng)式的積,即－3x>=<1+3>6226－>.6然后分別寫出兩個二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng),研究乘積項(xiàng)x的系數(shù),問題可得到解決.5解：原式><1－>,其中>展開式之通項(xiàng)為T=C3x,<1－>展開式之通項(xiàng)為666kk6k6k+1T=C－>.rr6r+1原式=<1+3>－x>展開式的通項(xiàng)為CC－1>3x.66rkk+rk6r6現(xiàn)要使r=5,又∵∈{0,1,2,3,4,5,6},r∈{0,1,2,3,4,5,6},kkr4kr3kr2kr1kr0.必須或或或或或r5故x項(xiàng)系數(shù)為C3C<－1>+C3C<－1>+C3C<－1>+C3C<－1>+C3C<－5051423344065616462636362646161>+C3C－1>－168.5