23-基于動(dòng)態(tài)利率期限結(jié)構(gòu)模型的定價(jià)技術(shù)金融計(jì)算與建模

第23章基于動(dòng)態(tài)利率期限結(jié)構(gòu)模型的定價(jià)技術(shù)利用均衡模型對(duì)浮動(dòng)利率債券定價(jià)Vasicek和CIR單因子模型都是經(jīng)典的均衡利率模型。是通過對(duì)短期利率運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)的描述推導(dǎo)出的即期利率期限結(jié)構(gòu)模型，從而能夠?yàn)楦鞣N利率型金融工具進(jìn)行定價(jià)和風(fēng)險(xiǎn)管理。利用這兩種利率期限結(jié)構(gòu)，可以解決浮動(dòng)利率債券定價(jià)的問題。

設(shè)為剩余到期期限為年的貼現(xiàn)債券的當(dāng)前價(jià)格。于是有，時(shí)間點(diǎn)的即期利率

連續(xù)復(fù)合利率一年期遠(yuǎn)期利率一年期連續(xù)復(fù)合遠(yuǎn)期利率

純預(yù)期理論將遠(yuǎn)期利率視為對(duì)未來利率的預(yù)測(cè)，因此在這些均衡模型中，一年期遠(yuǎn)期利率可以用來替代浮動(dòng)利率債券未來的基礎(chǔ)利率，從而確定未來的現(xiàn)金流。利用現(xiàn)金流折現(xiàn)原理得到浮動(dòng)利率債券的定價(jià)公式其中：P為市場(chǎng)價(jià)格；為第期貼現(xiàn)率，即第i個(gè)時(shí)間點(diǎn)的即期利率；為第i期票息；CF為最后一期返還的面值；為從目前時(shí)點(diǎn)到以后第i個(gè)計(jì)息日的時(shí)間長(zhǎng)度（以年為單位）；n為債券剩余付息次數(shù)。在本章中將國(guó)債的折現(xiàn)利率提高0.4%作為金融債的折現(xiàn)利率

參數(shù)估計(jì)目前，對(duì)Vasicek和CIR這兩種均衡模型的參數(shù)估計(jì)方法主要有三類：純時(shí)間序列數(shù)據(jù)方法（PureTime-SeriesDataMethod）純截面數(shù)據(jù)方法（PureCrossSectionalDataMethod）混合時(shí)間序列/截面數(shù)據(jù)方法（JointTime-Series/CrossSectionalDataMethod）。CIR模型理論價(jià)格市場(chǎng)價(jià)格

其中：是市場(chǎng)上觀察到的貼現(xiàn)債券價(jià)格；是服從正態(tài)分布的殘差項(xiàng)，，對(duì)于不同的值是獨(dú)立同分布的；是待估參數(shù)；

CIR模型的離散狀態(tài)形式為，（23.3）其中：為時(shí)間間隔，這里取為一天；為服從正態(tài)分布的殘差，是待估參數(shù)。因此，連同風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)，總共有5個(gè)待估參數(shù)。由于假設(shè)了這些殘差都是服從正態(tài)分布的，因此可以采用極大似然法來估計(jì)這些參數(shù)。假設(shè)有T天的短期利率樣本數(shù)據(jù)（即每天的），以及第T天的M個(gè)貼現(xiàn)債券價(jià)格數(shù)據(jù)，估計(jì)第T＋1天的參數(shù)值時(shí)，構(gòu)造CIR模型的對(duì)數(shù)似然函數(shù)如下，假設(shè)只以時(shí)間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)（即第一類方法），這時(shí)，似然函數(shù)變?yōu)椋?/p>

計(jì)算環(huán)境2003年8月13日作為計(jì)算時(shí)點(diǎn)指標(biāo)。計(jì)算數(shù)據(jù)集：基準(zhǔn)利率數(shù)據(jù)集ResDat.B2W（七日回購(gòu)利率兩周指數(shù)加權(quán)平均）；銀行間浮動(dòng)利率金融債券信息數(shù)據(jù)集ResDat.floatbond。基準(zhǔn)利率數(shù)據(jù)集B2W變量說明：Date—日期；Ir—基準(zhǔn)利率。銀行間浮動(dòng)利率金融債券信息數(shù)據(jù)集floatbond變量說明：Bdcd—債券代碼Bdnm—債券名稱Couprt—票面利率Freq —年付息頻率Matdt—到期日Maturity—到期期限ResDat.Floatbond創(chuàng)建過程：/*第一步，利用數(shù)據(jù)集Resdat.bdinfo選出銀行間浮動(dòng)利率金融債券，共31只。*/dataa;setResdat.bdinfo;ifCouptp='1'andtrdmktflg='3'andBdtype='3'andIssdt<'13Aug2003'dandmatdt>'13Aug2003'd;keepbdcdbdnmcouprtfreqmatdtmaturity;/*票息類型Couptp='1'為浮動(dòng)利率債券；交易地點(diǎn)標(biāo)識(shí)trdmktflg='3'為銀行間債券市場(chǎng)；Bdtype='3'為金融債券*/run;/*第二步，通過分析2003年浮動(dòng)利率債券的交易信息和報(bào)價(jià)信息，挑選出交易和報(bào)價(jià)頻繁、且在定價(jià)日有合理價(jià)格的8只浮動(dòng)利率債券，債券代碼分別為：020211，020212，020306，030206，000201，000202，000210，000213。*/dataResDat.Floatbond;seta;ifbdcdin(020211020212020306030206000201000202000210000213);run;/*2003年8月13日銀行間貼現(xiàn)金融債券共10只。代碼分別為：020304020209020216030204030207030208030209030210030212030211*/datab;setResdat.bdinfo;ifIntmd='0'andtrdmktflg='3'andBdtype='3'andIssdt<'13Aug2003'dandmatdt>'13Aug2003'd;keepbdcdbdnmcouprtfreqmatdtmaturity;run;datadiscountbd030813;setresdat.cbdqttn;ifbdcdin(020304020209020216030204030207030208030209030210030212030211)anddate='13Aug2003'd;price=Cldirpr;keepbdcdbdnmdatepriceYrstmat;labelprice='交易價(jià)格';run;procprintdata=discountbd030813labelnoobs;run;挑選出在定價(jià)日有交易價(jià)格的4只貼現(xiàn)債券如表23.1所示。表23.1貼現(xiàn)債券信息（2003年8月13日）債券代碼|債券名稱日期剩余期限交易價(jià)格02021602國(guó)開162003-08-132.20274094.6503020703國(guó)開072003-08-130.88083798.0203020803國(guó)開082003-08-130.40542799.0503021103國(guó)開112003-08-130.68138398.40數(shù)據(jù)預(yù)處理/*對(duì)原始數(shù)據(jù)及加工整理*/dataB2W;setResdat.B2W;where'05jan2001'd<=date<='13aug2003'd;run;datafloatbond;setResdat.floatbond;run;dataB2W;setB2W;dir=dif(ir);lagir=lag(ir);ivir=1/lagir;ifdir=.thendelete;run;/*B2W共656個(gè)觀測(cè)值*//*將數(shù)據(jù)集中的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成矩陣*/prociml;resetdeflib=work;useB2W;list;listall;readallvar{lagir}intoir;readallvar{dir}intodir;readallvar{ivir}intoivir;printirdirivir;storeirdirivir;run;quit;CIR模型利率期限結(jié)構(gòu)擬合/*計(jì)算常數(shù)（這些常數(shù)用于直接代入似然函數(shù)中進(jìn)行最優(yōu)化計(jì)算）*/prociml;resetdeflib=work;loadirdirivir;c1=sum(dir##2#365#ivir);/*，注意，*/c2=-2#sum(dir#ivir);c3=2*sum(dir);c4=sum((1/365)#ivir);c5=-2*656/365;c6=sum(ir#(1/365));printc1c2c3c4c5c6;quit;/*結(jié)果顯示：C1C2C3C4C5C60.03528660.3776176-0.00885282.768353-3.5945210.0392739*//*純時(shí)間序列估計(jì)*//*其中f就是極大似然函數(shù)*/prociml;resetdeflib=work;startF_BETTS(x);/*定義似然函數(shù)模塊*/f=-(656/2)*log(x[1]**2)-1/2*(x[1]**(-2))*(0.0352866416+(0.3776176352)*x[2]*x[3]+(-0.008852)*x[2]+(82.768352682)*x[2]*x[2]*x[3]*x[3]+(-3.594520548)*x[2]*x[2]*x[3]+(0.0392739233)*x[2]*x[2]);/*x[1]表示x[2]表示,x[3]表示。且有：-(656/2)#log(x[1]##2)=;剩余部分=*/return(f);finishF_BETTS;con={000,1501};/*規(guī)定參數(shù)取值范圍的條件矩陣con*/x={0.680.03};/*規(guī)定參數(shù)初值*/optn={13};/*輸出選項(xiàng),1最大化，0最小化，3輸出結(jié)果選擇項(xiàng)*/callnlpnra(rc,xres,"F_BETTS",x,optn,con);storexres;quit;/*估計(jì)結(jié)果：OptimizationResultsParameterEstimatesGradientObjectiveNParameterEstimateFunction1X10.0072440.0022122X21.3172010.0000131693X30.0199820.005146ValueofObjectiveFunction=2904.4708579*/時(shí)間序列和截面數(shù)據(jù)估計(jì)/*估計(jì)結(jié)果：

OptimizationResultsParameterEstimatesGradientObjectiveNParameterEstimateFunction

1X10.0072520.0003032X21.8491630.0005143X30.0205200.0025724X40.0183240.0010195X5-1.7997390.000632*//*根據(jù)CIR模型的參數(shù)估計(jì)利率期限結(jié)構(gòu)*/datacirrate;sigma=0.007252;a=1.849163;u=0.020520;lemda=-1.7997399;gamma=((a+lemda)**2+2*sigma**2)**(1/2);r1=0.021027;dot=0to30by0.05;P=(2*gamma*exp((a+lemda+gamma)*t/2)/((a+lemda+gamma)*(exp(gamma*t)-1)+2*gamma))**(2*a*u/(sigma**2))*exp(-(2*(exp(gamma*t)-1)/((a+lemda+gamma)*(exp(gamma*t)-1)+2*gamma))*r1);p1=(2*gamma*exp((a+lemda+gamma)*(t+1)/2)/((a+lemda+gamma)*(exp(gamma*(t+1))-1)+2*gamma))**(2*a*u/(sigma**2))*exp(-(2*(exp(gamma*(t+1))-1)/((a+lemda+gamma)*(exp(gamma*(t+1))-1)+2*gamma))*r1);R=-1/t*log(P);/*連續(xù)復(fù)合利率*/R=(1/P)**(1/t)-1;/*即期利率*/fr=log(P)-log(P1);/*一年期連續(xù)復(fù)合遠(yuǎn)期利率*/fr=(P/P1)-1;/*一年期遠(yuǎn)期利率*/output;end;run;為浮動(dòng)利率債券定價(jià)程序略結(jié)果分析用極大似然法，通過Newton-Raphson非線性最優(yōu)化方法分別估計(jì)出兩個(gè)模型的參數(shù)如下。表23.2參數(shù)估計(jì)結(jié)果（2003年8月13日當(dāng)天的參數(shù)）模型估計(jì)方法Vasicek純時(shí)間序列1.3198940.0199860.001071時(shí)間序列/截面1.5982980.0203520.001073-200.014609CIR純時(shí)間序列1.3172010.0199820.007244時(shí)間序列/截面1.8491630.0205200.007252-1.7997390.018324從兩個(gè)模型的參數(shù)估計(jì)結(jié)果來看，用純時(shí)間序列數(shù)據(jù)以及混合使用時(shí)間序列和截面數(shù)據(jù)兩種方法的估計(jì)結(jié)果存在一定的差異。而且純時(shí)間序列估計(jì)方法得不到風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)參數(shù)的估計(jì)值，只能作為外生變量事先給定，從而有一定的人為主觀性。這兩種方法的差異說明了在參數(shù)估計(jì)過程中引入更多有效的信息確實(shí)能夠提高參數(shù)的準(zhǔn)確性和有效性。在得出這些參數(shù)之后，將它們代入到原模型中可以模擬短期利率的變動(dòng)過程。模型模擬利率過程與實(shí)際利率過程的比較見圖23.1。圖23.1模型模擬利率過程與實(shí)際利率過程（藍(lán)色：CIR模擬利率過程；黑色：Vasicek模擬利率過程；紅色：真實(shí)利率過程）在估計(jì)出兩個(gè)短期利率模型參數(shù)的基礎(chǔ)上，結(jié)合前文給出的零息票債券理論價(jià)格公式，可以推導(dǎo)出利率期限結(jié)構(gòu)。圖23.2Vasicek模型的利率期限結(jié)構(gòu)（藍(lán)色：遠(yuǎn)期利率；黑色：即期利率）圖23.3CIR模型的利率期限結(jié)構(gòu)（藍(lán)色：遠(yuǎn)期利率；黑色：即期利率）為了分析對(duì)浮動(dòng)利率債券定價(jià)是否合理，需要將浮動(dòng)利率債券的理論價(jià)格與市場(chǎng)的實(shí)際價(jià)格進(jìn)行對(duì)照，并分析其中的差異。

表23.3Vasicek模型的浮動(dòng)利率債券定價(jià)結(jié)果（2003年8月14日）債券代碼債券名稱日期理論全價(jià)交易全價(jià)誤差00020100國(guó)開012003-08-14102.160102.6853-0.5248600020200國(guó)開02.101.032..00021000國(guó)開102003-08-14102.366102.33770.0278400021300國(guó)開132003-08-14101.694101.9602-0.2666602021102國(guó)開112003-08-14103.539103.11480.4246802021202國(guó)開122003-08-14104.157103.49730.6601402030602進(jìn)出06.103.786.03020603國(guó)開06.100.875.表23.4CIR模型的浮動(dòng)利率債券定價(jià)結(jié)果（2003年8月14日）債券代碼債券名稱日期理論全價(jià)交易全價(jià)誤差00020100國(guó)開012003-08-1498.094102.6853-4.5908800020200國(guó)開02.96.706..00021000國(guó)開102003-08-14100.288102.3377-2.0501700021300國(guó)開132003-08-1499.286101.9602-2.6740002021102國(guó)開112003-08-14101.538103.1148-1.5764102021202國(guó)開122003-08-14101.822103.4973-1.6750702030602進(jìn)出06.101.013..03020603國(guó)開06.106.717..利用套利模型為可贖回/可回售債券定價(jià)可贖回債券和可回售債券定價(jià)原理可贖回債券和可回售債券均可以被拆分為一個(gè)不含權(quán)債券和一個(gè)期權(quán)；買入一個(gè)可贖回債券，相當(dāng)于買入一個(gè)不含權(quán)債券，同時(shí)賣出一個(gè)債券看漲期權(quán)。買入一個(gè)可回售債券，相當(dāng)于買入一個(gè)不含權(quán)債券，同時(shí)買入一個(gè)債券看跌期權(quán)。拆分以后，就可以通過分別為不含權(quán)債券和附息債券歐式期權(quán)定價(jià)，然后將兩個(gè)價(jià)格相加（或相減），來為可贖回債券和可回售債券定價(jià)。

附息債券歐式期權(quán)定價(jià)原理

考慮一個(gè)執(zhí)行價(jià)格為X、到期日為T的附息債券的歐式看漲期權(quán)。假設(shè)債券在期權(quán)到期后共提供n次現(xiàn)金流，設(shè)第i次現(xiàn)金流為，且發(fā)生在時(shí)間。定義：：在時(shí)間T使得附息債券價(jià)格等于執(zhí)行價(jià)格的短期利率的值。：在時(shí)間T當(dāng)時(shí)，在時(shí)間支付單位1的貼現(xiàn)債券的價(jià)值。該期權(quán)的收益是：其中，是時(shí)間到期的貼現(xiàn)債券在時(shí)間T的價(jià)格。由于所有的利率都是與短期利率正相關(guān)的，因此所有債券的價(jià)格都是與負(fù)相關(guān)的。這意味著，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，在時(shí)間T附息債券的價(jià)值大于X,應(yīng)當(dāng)執(zhí)行。又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，構(gòu)成附息債券的在時(shí)間到期的貼現(xiàn)債券在時(shí)間T的值大于。因此，期權(quán)的收益為這說明，附息債券歐式期權(quán)是n個(gè)基于貼現(xiàn)債券的歐式期權(quán)的總和，其中，第i個(gè)基于貼現(xiàn)債券的歐式期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格為，到期日為T，其基礎(chǔ)債券的到期日為。于是，附息債券歐式期權(quán)的定價(jià)方法為：附息債券歐式期權(quán)的價(jià)格等于這n個(gè)基于貼現(xiàn)債券的歐式期權(quán)的價(jià)格的和。

貼現(xiàn)債券的歐式期權(quán)定價(jià)公式

在連續(xù)時(shí)間形式的Ho-Lee模型中，基于貼現(xiàn)債券的歐式期權(quán)有如下定價(jià)公式：在時(shí)間0，時(shí)間T到期的基于到期日為s的貼現(xiàn)債券（）的歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)的價(jià)格分別為

其中：L是該債券的面值，X是它的執(zhí)行價(jià)格； ；。

在Hull-White模型中

其中：L是該債券的面值，X是它的執(zhí)行價(jià)格；

；計(jì)算環(huán)境本章選擇2005年1月31日作為計(jì)算可贖回債券和可回售債券價(jià)格的時(shí)間點(diǎn)。取2005年1月31日之前發(fā)行，2005年1月31日之后到期的可贖回/可回售政策性金融債，共16支，其發(fā)行單位全部為國(guó)家開發(fā)銀行，其中有一支包含的是延期選擇權(quán)。

為了計(jì)算方便，本章僅考慮只包含一次選擇權(quán)的可贖回/可回售債券；本章的重點(diǎn)考察對(duì)象是期權(quán)，因此選擇2005年1月31日之后行權(quán)的債券，共13支。

如果某支債券在2005年1月這一個(gè)月內(nèi)既不存在報(bào)價(jià)，又不存在成交價(jià)格，也就是說在這一個(gè)月內(nèi)完全無法得到有關(guān)這支債券的任何價(jià)格信息，在這種情況下，這支債券在2005年1月31日這一天的價(jià)格，即使可以由以前的價(jià)格求得“合理價(jià)格”（假設(shè)債券的到期收益率不變計(jì)算的價(jià)格），也是沒有可比性的。因此，本章選擇在2005年1月有價(jià)格的9支債券作為樣本債券。然后根據(jù)債券在過去三個(gè)月內(nèi)的報(bào)價(jià)頻數(shù)和成交頻數(shù)之和，將這9支債券按流動(dòng)性排序，選擇用流動(dòng)性較高的前5支債券（0302020，0302150，0402020，040211，040216）來擬合模型，再用擬合的結(jié)果為剩下的4支債券（020205，0302130，0302160，040224）定價(jià)。計(jì)算數(shù)據(jù)集：價(jià)格頻數(shù)前五的含權(quán)債券數(shù)據(jù)集Resdat.optionbond1，用來計(jì)算模型參數(shù)；價(jià)格頻數(shù)非前五的含權(quán)債券數(shù)據(jù)集Resdat.optionbond2，用來計(jì)算合理價(jià)格（定價(jià)研究）；利用Nelson-SiegelSvensson擴(kuò)展模型擬合銀行間市場(chǎng)的固定利率政策性金融債券，得到的利率期限結(jié)構(gòu)模型參數(shù)Resdat.Nelson。Resdat.optionbond1及Resdat.optionbond2具體生成過程見習(xí)題1。Resdat.optionbond1及Resdat.optionbond2變量說明：Bdcd—債券代碼Bdnm—債券名稱Par—債券面值Putflg—回售標(biāo)識(shí)，1為是，2為否Callflg—贖回標(biāo)識(shí)，1為是，2為否Matdt—到期日Maturity—到期期限Optionmat—含權(quán)期限Couprt1—票面利率1，期權(quán)執(zhí)行日之前的票面利率Couprt2—票面利率2，期權(quán)執(zhí)行日之后的票面利率Freq —年付息頻率Price—債券2005年1月31日合理價(jià)格（全價(jià)）結(jié)果分析用債券Resdat.optionbond1中的債券數(shù)據(jù)擬合Ho-Lee模型，得到的擬合結(jié)果為：用債券Resdat.optionbond1中的債券數(shù)據(jù)擬合Hull-White模型，得到的擬合結(jié)果為：

表23.5Ho-Lee模型為可贖回和可回售政策性金融債券定價(jià)結(jié)果（2005年1月31日）債券代碼不含權(quán)部分理論價(jià)格期權(quán)部分理論價(jià)格期權(quán)種類含權(quán)債券理論價(jià)格含權(quán)債券實(shí)際價(jià)格02020579.4810.46投資人回售權(quán)89.94100.58030213094.180.00發(fā)行人贖回權(quán)94.18101.01030216086.035.81投資人回售權(quán)91.84101.28040224115.360.00發(fā)行人贖回權(quán)115.3699.77表23.6Hull-White模型為可贖回和可回售政策性金融債券定價(jià)結(jié)果（2005年