2019屆數(shù)學(xué)大復(fù)習(xí)第十二章概率、隨機(jī)變量及其分布12.2古典概型學(xué)案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE33學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE§12.2古典概型最新考綱考情考向分析1。理解古典概型及其概率計(jì)算公式.2。會(huì)計(jì)算一些隨機(jī)事件所包含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率.全國(guó)Ⅰ對(duì)古典概型每年都會(huì)考查，主要考查實(shí)際背景的可能事件，通常與互斥事件、對(duì)立事件一起考查．在高考中單獨(dú)命題時(shí)，通常以選擇題、填空題形式出現(xiàn),屬于中低檔題；與統(tǒng)計(jì)等知識(shí)結(jié)合在一起考查時(shí)，以解答題形式出現(xiàn)，屬中檔題。1．基本事件的特點(diǎn)（1)任何兩個(gè)基本事件是互斥的；(2)任何事件（除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．2．古典概型具有以下兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型,簡(jiǎn)稱古典概型．（1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè);(2）每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等．3．如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個(gè)，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個(gè)基本事件的概率都是eq\f(1，n)；如果某個(gè)事件A包括的結(jié)果有m個(gè),那么事件A的概率P（A)＝eq\f（m,n）。4．古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(A包含的基本事件的個(gè)數(shù),基本事件的總數(shù)).題組一思考辨析1．判斷下列結(jié)論是否正確（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)“在適宜條件下，種下一粒種子觀察它是否發(fā)芽”屬于古典概型,其基本事件是“發(fā)芽”與“不發(fā)芽”．(×)(2）擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個(gè)正面”“一正一反”“兩個(gè)反面"，這三個(gè)結(jié)果是等可能事件．(×)（3）從市場(chǎng)上出售的標(biāo)準(zhǔn)為500±5g的袋裝食鹽中任取一袋測(cè)其重量，屬于古典概型．(×)(4)有3個(gè)興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組，每位同學(xué)參加各個(gè)小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為eq\f（1，3）.(√）（5)從1，2,3，4,5中任取出兩個(gè)不同的數(shù),其和為5的概率是0。2。（√)（6）在古典概型中，如果事件A中基本事件構(gòu)成集合A，且集合A中的元素個(gè)數(shù)為n，所有的基本事件構(gòu)成集合I，且集合I中元素個(gè)數(shù)為m，則事件A的概率為eq\f(n,m）.（√)題組二教材改編2．[P127例3]一個(gè)盒子里裝有標(biāo)號(hào)為1，2,3,4的4張卡片,隨機(jī)地抽取2張，則取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率是（)A.eq\f（1，4） B.eq\f（1,3）C.eq\f(1，2） D.eq\f(2，3）答案D解析抽取兩張卡片的基本事件有：(1，2）,（1，3），(1,4),（2，3)，(2,4），（3,4)，共6種,和為奇數(shù)的事件有：（1，2）,（1，4），（2,3)，（3,4），共4種．∴所求概率為eq\f(4,6）＝eq\f（2,3)。3．［P145A組T5］袋中裝有6個(gè)白球,5個(gè)黃球，4個(gè)紅球，從中任取一球,則取到白球的概率為（)A。eq\f（2,5） B.eq\f(4,15）C.eq\f（3，5） D。eq\f(2,3）答案A解析從袋中任取一球，有15種取法，其中取到白球的取法有6種，則所求概率為P＝eq\f（6,15）＝eq\f(2，5)。4．［P134A組T6］已知5件產(chǎn)品中有2件次品，其余為合格品．現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任取2件，恰有一件次品的概率為_(kāi)_______．答案0。6解析從5件產(chǎn)品中任取2件共有Ceq\o\al(2，5)＝10(種）取法，恰有一件次品的取法有Ceq\o\al(1，2）Ceq\o\al（1,3）＝6（種），所以恰有一件次品的概率為eq\f(6，10)＝0.6.題組三易錯(cuò)自糾5．將2本不同的數(shù)學(xué)書和1本語(yǔ)文書在書架上隨機(jī)排成一行，則2本數(shù)學(xué)書相鄰的概率為（)A.eq\f(1，2）B.eq\f（1,3)C。eq\f（2,3）D.eq\f（5,6）答案C解析設(shè)兩本不同的數(shù)學(xué)書為a1,a2,1本語(yǔ)文書為b,則在書架上的擺放方法有a1a2b，a1ba2,a2a1b，a2ba1,ba1a2,ba2a1，共6種，其中數(shù)學(xué)書相鄰的有4種．因此2本數(shù)學(xué)書相鄰的概率P＝eq\f(4,6）＝eq\f(2,3)。6．（2017·合肥檢測(cè)）已知函數(shù)f(x)＝2x2－4ax＋2b2,若a∈{4，6,8｝，b∈｛3,5，7｝，則該函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)的概率為_(kāi)_______．答案eq\f(2，3）解析要使函數(shù)f(x)＝2x2－4ax＋2b2有兩個(gè)零點(diǎn)，即方程x2－2ax＋b2＝0有兩個(gè)實(shí)根，則Δ＝4a2－4b2〉0，又a∈｛4，6，8｝，b∈｛3，5，7｝，即a>b，而a，b的取法共有3×3＝9（種），其中滿足a>b的取法有（4，3)，(6,3），（6，5),（8,3)，(8，5)，（8,7），共6種，所以所求的概率為eq\f(6,9)＝eq\f(2,3）。題型一基本事件與古典概型的判斷1．下列試驗(yàn)中，古典概型的個(gè)數(shù)為（）①向上拋一枚質(zhì)地不均勻的硬幣，觀察正面向上的概率；②向正方形ABCD內(nèi),任意拋擲一點(diǎn)P，點(diǎn)P恰與點(diǎn)C重合；③從1,2,3，4四個(gè)數(shù)中，任取兩個(gè)數(shù)，求所取兩數(shù)之一是2的概率；④在線段［0,5］上任取一點(diǎn),求此點(diǎn)小于2的概率．A．0B．1C．2D．3答案B解析①中，硬幣質(zhì)地不均勻,不是等可能事件，所以不是古典概型;②④的基本事件都不是有限個(gè)，不是古典概型；③符合古典概型的特點(diǎn)，是古典概型．2．（2018·沈陽(yáng)模擬）有兩個(gè)正四面體的玩具，其四個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2，3，4，下面做投擲這兩個(gè)正四面體玩具的試驗(yàn)：用（x，y）表示結(jié)果,其中x表示第1個(gè)正四面體玩具出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，y表示第2個(gè)正四面體玩具出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)．試寫出：(1）試驗(yàn)的基本事件；(2）事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和大于3”包含的基本事件；(3）事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)相等”包含的基本事件．解（1)這個(gè)試驗(yàn)的基本事件為(1，1)，（1，2）,（1，3)，（1,4），(2,1），(2,2)，(2,3），（2，4)，（3,1)，（3，2），（3，3)，(3,4)，(4，1），(4,2），(4，3)，(4,4）．(2)事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和大于3"包含的基本事件為(1，3),（1,4），(2,2），(2，3），（2,4),（3,1)，(3，2)，（3，3)，(3,4)，（4,1)，（4,2）,(4，3)，（4，4)．（3）事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)相等"包含的基本事件為（1，1)，(2，2)，（3，3),(4,4)．3．袋中有大小相同的5個(gè)白球,3個(gè)黑球和3個(gè)紅球，每球有一個(gè)區(qū)別于其他球的編號(hào)，從中摸出一個(gè)球．（1）有多少種不同的摸法？如果把每個(gè)球的編號(hào)看作一個(gè)基本事件建立概率模型，該模型是不是古典概型？（2）若按球的顏色為劃分基本事件的依據(jù)，有多少個(gè)基本事件？以這些基本事件建立概率模型,該模型是不是古典概型？解（1)由于共有11個(gè)球，且每個(gè)球有不同的編號(hào)，故共有11種不同的摸法．又因?yàn)樗星虼笮∠嗤?，因此每個(gè)球被摸中的可能性相等，故以球的編號(hào)為基本事件的概率模型為古典概型．（2)由于11個(gè)球共有3種顏色，因此共有3個(gè)基本事件，分別記為A：“摸到白球”，B：“摸到黑球",C:“摸到紅球”，又因?yàn)樗星虼笮∠嗤?，所以一次摸球每個(gè)球被摸中的可能性均為eq\f(1，11),而白球有5個(gè)，故一次摸球摸到白球的可能性為eq\f（5，11），同理可知摸到黑球、紅球的可能性均為eq\f（3，11),顯然這三個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性不相等,故以顏色為劃分基本事件的依據(jù)的概率模型不是古典概型．思維升華一個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型，在于這個(gè)試驗(yàn)是否具有古典概型的兩個(gè)特點(diǎn)——有限性和等可能性，只有同時(shí)具備這兩個(gè)特點(diǎn)的概型才是古典概型．題型二古典概型的求法典例（1）（2017·全國(guó)Ⅱ）從分別寫有1，2,3,4,5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為(）A。eq\f（1,10)B。eq\f(1,5）C.eq\f（3，10）D。eq\f(2，5)答案D解析從5張卡片中隨機(jī)抽取1張,放回后再隨機(jī)抽取1張的情況如圖:基本事件總數(shù)為25，第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的事件數(shù)為10，∴所求概率P＝eq\f(10,25)＝eq\f（2,5).(2)袋中有形狀、大小都相同的4個(gè)球，其中1個(gè)白球，1個(gè)紅球,2個(gè)黃球,從中一次隨機(jī)摸出2個(gè)球,則這2個(gè)球顏色不同的概率為_(kāi)_______．答案eq\f(5，6)解析基本事件共有Ceq\o\al（2，4)＝6（種)，設(shè)取出兩個(gè)球顏色不同為事件A。A包含的基本事件有Ceq\o\al（1,2）Ceq\o\al(1,2）＋Ceq\o\al（1,1）Ceq\o\al（1,1）＝5（種）．故P(A）＝eq\f(5,6).(3）我國(guó)古代“五行”學(xué)說(shuō)認(rèn)為：“物質(zhì)分金、木、土、水、火五種屬性,金克木、木克土、土克水、水克火、火克金．”將這五種不同屬性的物質(zhì)任意排成一列，設(shè)事件A表示“排列中屬性相克的兩種物質(zhì)不相鄰"，則事件A發(fā)生的概率為_(kāi)_______．答案eq\f(1，12)解析五種不同屬性的物質(zhì)任意排成一列的所有基本事件數(shù)為Aeq\o\al（5,5)＝120，滿足事件A“排列中屬性相克的兩種物質(zhì)不相鄰”的基本事件可以按如下方法進(jìn)行考慮：從左至右,當(dāng)?shù)谝粋€(gè)位置的屬性確定后，例如：金，第二個(gè)位置(除去金本身)只能排土或水屬性，當(dāng)?shù)诙€(gè)位置的屬性確定后,其他三個(gè)位置的屬性也確定，故共有Ceq\o\al(1,5）Ceq\o\al（1，2）＝10(種)可能，所以事件A出現(xiàn)的概率為eq\f（10，120）＝eq\f（1，12).引申探究1．本例（2)中，若將4個(gè)球改為顏色相同,標(biāo)號(hào)分別為1,2,3，4的四個(gè)小球,從中一次取兩球,求標(biāo)號(hào)和為奇數(shù)的概率．解基本事件數(shù)仍為6.設(shè)標(biāo)號(hào)和為奇數(shù)為事件A，則A包含的基本事件為（1,2)，(1,4),(2,3)，（3,4),共4種，所以P(A)＝eq\f(4,6）＝eq\f(2,3）。2．本例(2)中，若將條件改為有放回地取球，取兩次，求兩次取球顏色相同的概率．解基本事件數(shù)為Ceq\o\al（1,4）Ceq\o\al（1,4)＝16，顏色相同的事件數(shù)為Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al（1，1)＋Ceq\o\al(1,2）Ceq\o\al(1，2）＝6，故所求概率P＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8)。思維升華求古典概型的概率的關(guān)鍵是求試驗(yàn)的基本事件的總數(shù)和事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù)，這就需要正確列出基本事件，基本事件的表示方法有列舉法、列表法和樹(shù)狀圖法，具體應(yīng)用時(shí)可根據(jù)需要靈活選擇．跟蹤訓(xùn)練（2017·山東)某旅游愛(ài)好者計(jì)劃從3個(gè)亞洲國(guó)家A1，A2，A3和3個(gè)歐洲國(guó)家B1，B2，B3中選擇2個(gè)國(guó)家去旅游．(1）若從這6個(gè)國(guó)家中任選2個(gè)，求這2個(gè)國(guó)家都是亞洲國(guó)家的概率；（2）若從亞洲國(guó)家和歐洲國(guó)家中各任選1個(gè),求這2個(gè)國(guó)家包括A1但不包括B1的概率．解(1）由題意知，從6個(gè)國(guó)家中任選2個(gè)國(guó)家，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有:{A1,A2},｛A1，A3｝，｛A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，A3},｛A2，B1},｛A2,B2}，｛A2,B3｝，{A3，B1}，｛A3，B2}，{A3,B3}，{B1，B2｝,｛B1，B3}，｛B2,B3}，共15個(gè)．所選兩個(gè)國(guó)家都是亞洲國(guó)家的事件所包含的基本事件有：｛A1，A2},｛A1，A3｝，｛A2,A3}，共3個(gè),則所求事件的概率為P＝eq\f(3，15）＝eq\f(1，5)。(2）從亞洲國(guó)家和歐洲國(guó)家中各任選1個(gè)，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有:{A1，B1｝,｛A1，B2｝,{A1，B3｝,{A2,B1},｛A2,B2｝,｛A2，B3},{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3｝，共9個(gè)．包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有：{A1，B2}，｛A1，B3｝，共2個(gè)，則所求事件的概率為P＝eq\f(2，9）.題型三古典概型與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用典例某縣共有90個(gè)農(nóng)村淘寶服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)，隨機(jī)抽取6個(gè)網(wǎng)點(diǎn)統(tǒng)計(jì)其元旦期間的網(wǎng)購(gòu)金額(單位:萬(wàn)元）的莖葉圖如圖所示,其中莖為十位數(shù)，葉為個(gè)位數(shù)．（1）根據(jù)莖葉圖計(jì)算樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù);(2）若網(wǎng)購(gòu)金額（單位：萬(wàn)元）不小于18的服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)定義為優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)，其余為非優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)，根據(jù)莖葉圖推斷這90個(gè)服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)中優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（3)從隨機(jī)抽取的6個(gè)服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)中再任取2個(gè)作網(wǎng)購(gòu)商品的調(diào)查,求恰有1個(gè)網(wǎng)點(diǎn)是優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)的概率．解(1)由題意知，樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)eq\x\to（x）＝eq\f(4＋6＋12＋12＋18＋20，6）＝12.（2)樣本中優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)有2個(gè)，概率為eq\f（2，6）＝eq\f(1,3)，由此估計(jì)這90個(gè)服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)中優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)有90×eq\f(1,3）＝30（個(gè)）．（3)樣本中優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)有2個(gè)，分別記為a1，a2，非優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)有4個(gè)，分別記為b1，b2，b3，b4,從隨機(jī)抽取的6個(gè)服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)中再任取2個(gè)的可能情況有：(a1,a2），(a1，b1),（a1，b2)，(a1，b3），（a1,b4），(a2，b1），（a2，b2），(a2，b3）,(a2，b4)，（b1，b2），(b1，b3)，(b1，b4），（b2,b3)，(b2,b4），（b3，b4)，共15種，記“恰有1個(gè)是優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)”為事件M，則事件M包含的可能情況有：（a1，b1），（a1，b2),（a1,b3），(a1，b4），（a2，b1）,(a2，b2），（a2，b3），（a2，b4)，共8種,故所求概率P(M)＝eq\f(8，15）。思維升華有關(guān)古典概型與統(tǒng)計(jì)結(jié)合的題型是高考考查概率的一個(gè)重要題型，已成為高考考查的熱點(diǎn)，概率與統(tǒng)計(jì)結(jié)合題，無(wú)論是直接描述還是利用概率分布表、頻率分布直方圖、莖葉圖等給出信息，準(zhǔn)確從題中提煉信息是解題的關(guān)鍵．跟蹤訓(xùn)練從某學(xué)校2016屆高三年級(jí)共800名男生中隨機(jī)抽取50名測(cè)量身高，被測(cè)學(xué)生身高全部介于155cm和195cm之間,將測(cè)量結(jié)果按如下方式分成八組：第一組[155，160)，第二組［160,165)，…，第八組［190,195］，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分，已知第六組比第七組多1人，第一組和第八組人數(shù)相同．(1)求第六組、第七組的頻率并補(bǔ)充完整頻率分布直方圖;(2)若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機(jī)抽取兩名，記他們的身高分別為x，y，求|x－y|≤5的概率．解(1)由頻率分布直方圖知，前五組的頻率為(0。008＋0。016＋0。04＋0.04＋0.06）×5＝0。82,所以后三組的頻率為1－0。82＝0.18,人數(shù)為0.18×50＝9，由頻率分布直方圖得第八組的頻率為0。008×5＝0。04，人數(shù)為0。04×50＝2，設(shè)第六組人數(shù)為m，則第七組人數(shù)為m－1，又m＋m－1＋2＝9,所以m＝4，即第六組人數(shù)為4,第七組人數(shù)為3，頻率分別為0。08，0。06，頻率除以組距分別等于0.016,0。012，則完整的頻率分布直方圖如圖所示：(2）由（1）知身高在［180，185)內(nèi)的男生有四名,設(shè)為a,b,c，d，身高在［190,195］的男生有兩名，設(shè)為A，B。若x,y∈［180,185），有ab，ac，ad,bc，bd，cd共6種情況；若x，y∈[190，195］，只有AB1種情況；若x，y分別在[180,185),［190，195］內(nèi),有aA，bA，cA，dA,aB，bB，cB,dB共8種情況，所以基本事件的總數(shù)為6＋8＋1＝15，事件｜x－y|≤5包含的基本事件的個(gè)數(shù)為6＋1＝7，故所求概率為eq\f（7，15)。六審細(xì)節(jié)更完善典例(12分）一個(gè)袋中裝有四個(gè)形狀大小完全相同的球,球的編號(hào)分別為1，2，3，4。（1)從袋中隨機(jī)取兩個(gè)球，求取出的球的編號(hào)之和不大于4的概率；(2）先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為m,將球放回袋中，然后再?gòu)拇须S機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為n,求n<m＋2的概率．（1)基本事件為取兩個(gè)球↓(兩球一次取出，不分先后,可用集合的形式表示）把取兩個(gè)球的所有結(jié)果列舉出來(lái)↓｛1,2｝，｛1，3｝，｛1,4｝，｛2,3｝，{2,4｝，{3,4}↓兩球編號(hào)之和不大于4（注意：和不大于4,應(yīng)為小于4或等于4)↓｛1，2}，｛1,3}↓利用古典概型概率公式求解P＝eq\f（2，6)＝eq\f（1,3)(2）兩球分兩次取，且有放回↓(兩球的編號(hào)記錄是有次序的，用坐標(biāo)的形式表示)基本事件的總數(shù)可用列舉法表示↓(1,1)，（1，2）,（1,3），（1，4),（2,1）,(2,2），（2，3），（2，4)，（3,1）,（3,2)，(3,3)，(3，4），(4，1)，（4，2），（4,3），(4,4)↓（注意細(xì)節(jié)，m是第1個(gè)球的編號(hào)，n是第2個(gè)球的編號(hào))n<m＋2的情況較多,計(jì)算復(fù)雜↓(將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題）計(jì)算n≥m＋2的概率↓n≥m＋2的所有情況為(1,3),（1，4)，（2,4)↓P1＝eq\f(3,16）↓(注意細(xì)節(jié)，P1＝eq\f（3,16)是n≥m＋2的概率，需轉(zhuǎn)化為其對(duì)立事件的概率)n〈m＋2的概率為1－P1＝eq\f(13,16)。規(guī)范解答解（1)從袋中隨機(jī)取兩個(gè)球，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有{1，2}，{1，3｝，｛1,4}，{2，3｝，｛2,4｝，｛3,4}，共6個(gè)．從袋中取出的球的編號(hào)之和不大于4的事件有{1,2｝,｛1,3}，共2個(gè)．因此所求事件的概率P＝eq\f(2,6）＝eq\f(1,3).[4分]（2）先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，記下編號(hào)為m，放回后，再?gòu)拇须S機(jī)取一個(gè)球，記下編號(hào)為n，其一切可能的結(jié)果有(1，1），（1,2），（1，3)，（1,4),（2，1)，(2,2)，(2，3），(2，4），(3，1),（3,2),(3,3）,（3,4），(4，1）,(4，2)，(4,3），（4,4)，共16個(gè)．[6分］又滿足條件n≥m＋2的事件為(1,3）,（1，4)，(2,4），共3個(gè)，所以滿足條件n≥m＋2的事件的概率P1＝eq\f(3,16).[10分]故滿足條件n<m＋2的事件的概率為1－P1＝1－eq\f（3，16)＝eq\f(13,16)。［12分]1．（2016·全國(guó)Ⅰ）為美化環(huán)境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個(gè)花壇中，余下的2種花種在另一個(gè)花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是（）A.eq\f(1,3）B。eq\f(1,2）C。eq\f(2,3）D。eq\f(5,6)答案C解析將4種顏色的花任選2種種在一個(gè)花壇中，余下2種種在另一個(gè)花壇中，有（（紅黃）、（白紫)），（(白紫)、(紅黃)）,(（紅白）、（黃紫）)，(（黃紫)、（紅白）），（（紅紫)、(黃白）），（(黃白)、(紅紫）），共6種種法，其中紅色和紫色不在一個(gè)花壇的種法有((紅黃）、(白紫))，（(白紫）、（紅黃))，（(紅白)、(黃紫)），(（黃紫),（紅白)），共4種，故所求概率為P＝eq\f（4,6)＝eq\f(2,3).2．（2016·全國(guó)Ⅲ）小敏打開(kāi)計(jì)算機(jī)時(shí),忘記了開(kāi)機(jī)密碼的前兩位，只記得第一位是M，I,N中的一個(gè)字母，第二位是1,2,3，4,5中的一個(gè)數(shù)字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開(kāi)機(jī)的概率是（）A.eq\f(8,15)B。eq\f(1，8)C.eq\f(1，15)D。eq\f（1,30）答案C解析第一位是M，I，N中的一個(gè)字母，第二位是1,2，3，4，5中的一個(gè)數(shù)字,所以總的基本事件的個(gè)數(shù)為15，密碼正確只有一種,概率為eq\f（1,15),故選C.3．（2017·山東)從分別標(biāo)有1,2,…，9的9張卡片中不放回地隨機(jī)抽取2次，每次抽取1張，則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是(）A。eq\f（5,18)B.eq\f（4,9)C.eq\f（5,9)D.eq\f(7，9)答案C解析由題意，得P(抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同）＝eq\f(5×4，C\o\al(2,9））＝eq\f(5,9）.故選C.4．（2018·梅州一模)甲、乙兩校各有3名教師報(bào)名支教，若從這6名教師中任選2名，則選出的2名教師來(lái)自同一學(xué)校的概率為(）A.eq\f（5,9） B.eq\f（4,9)C。eq\f(3，5) D。eq\f(2,5)答案D解析從6名教師中任選2名教師的種數(shù)為Ceq\o\al（2,6)＝15，其中來(lái)自同一學(xué)校的種數(shù)為2Ceq\o\al（2，3)＝2×3＝6，故所求事件的概率P＝eq\f(2,5），故選D.5．(2017·深圳一模)一個(gè)不透明袋中裝有大小、質(zhì)地完全相同的四個(gè)球，四個(gè)球上分別標(biāo)有數(shù)字2,3,4，6.現(xiàn)從中隨機(jī)選取三個(gè)球，則所選的三個(gè)球上的數(shù)字能構(gòu)成等差數(shù)列的概率是（)A.eq\f（1,4） B.eq\f(1,2)C。eq\f(1,3） D。eq\f(2，3)答案B解析因?yàn)閺乃膫€(gè)球中隨機(jī)選三個(gè)共有Ceq\o\al(3,4)＝4(種）不同的選法，其中能構(gòu)成等差數(shù)列的三個(gè)數(shù)分別為（2，3,4），（2,4,6）,共2種不同的選法，所以根據(jù)古典概型概率公式，得P＝eq\f（2,4)＝eq\f（1,2)，故選B.6．設(shè)m，n分別是先后拋擲一枚骰子得到的點(diǎn)數(shù),則在先后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有5的條件下,方程x2＋mx＋n＝0有實(shí)根的概率為（）A.eq\f(11,36) B。eq\f（7，36）C.eq\f(7，11） D。eq\f(7，10)答案C解析先后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有5的情況有：(1，5),（2，5)，（3，5),(4，5)，(5,5)，(6,5），（5，1),(5，2)，(5，3），（5，4)，(5,6），共11種，其中使方程x2＋mx＋n＝0有實(shí)根的情況有：(5，5），(6，5)，(5,1)，(5,2)，（5，3），（5，4)，(5，6)，共7種．故所求事件的概率P＝eq\f（7,11)。7．（2016·四川)從2，3,8,9中任取兩個(gè)不同的數(shù)字，分別記為a，b，則logab為整數(shù)的概率是________．答案eq\f（1，6)解析從2,3，8，9中任取2個(gè)不同的數(shù)字，記為(a，b)，則有（2，3）,(3，2)，（2,8），（8,2)，(2,9），（9,2），（3，8)，（8，3)，（3，9），(9，3），(8,9）,（9,8)，共有12種情況，其中符合logab為整數(shù)的有l(wèi)og39和log28兩種情況，∴P＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6）。8．(2018屆唐山模擬）無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)a1a2a3a4a5，當(dāng)a1<a2，a2>a3，a3<a4，a4〉a5時(shí)稱為波形數(shù)，則由1，2,3，4,5任意組成的一個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)是波形數(shù)的概率是________．答案eq\f（2，15）解析∵a2〉a1，a2>a3，a4>a3,a4〉a5，∴a2只能是3,4，5中的一個(gè)．(1)若a2＝3，則a4＝5，a5＝4，a1與a3是1或2,這時(shí)共有Aeq\o\al(2，2)＝2(個(gè)）符合條件的五位數(shù)．(2）若a2＝4，則a4＝5，a1，a3，a5可以是1,2，3，共有Aeq\o\al（3，3）＝6（個(gè))符合條件的五位數(shù)．（3)若a2＝5,則a4＝3或4,此時(shí)分別與（1）(2)中的個(gè)數(shù)相同．∴滿足條件的五位數(shù)有2（Aeq\o\al（2,2）＋Aeq\o\al（3，3)）＝16(個(gè))．又由1,2,3,4，5任意組成的一個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)有Aeq\o\al(5，5）＝120(個(gè)），故所求概率為eq\f(16，120）＝eq\f（2，15）。9．袋中共有15個(gè)除了顏色外完全相同的球，其中有10個(gè)白球,5個(gè)紅球．從袋中任取2個(gè)球，則所取的2個(gè)球中恰有1個(gè)白球、1個(gè)紅球的概率為_(kāi)_______．答案eq\f（10，21)解析從袋中任取2個(gè)球共有Ceq\o\al（2,15)＝105(種)取法，其中恰好1個(gè)白球、1個(gè)紅球共有Ceq\o\al(1，10)Ceq\o\al(1,5）＝50（種）取法，所以所取的球恰好1個(gè)白球、1個(gè)紅球的概率為eq\f（50,105)＝eq\f（10,21).10．10件產(chǎn)品中有7件正品，3件次品，從中任取4件，則恰好取到1件次品的概率是________．答案eq\f（1，2)解析從10件產(chǎn)品中取4件，共有Ceq\o\al(4，10)種取法，取到1件次品的取法有Ceq\o\al(1,3）Ceq\o\al（3，7)種，由古典概型概率計(jì)算公式得P＝eq\f（C\o\al（1,3）C\o\al（3，7），C\o\al(4,10）)＝eq\f(3×35，210)＝eq\f（1，2).11．設(shè)連續(xù)拋擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為m，n,令平面向量a＝（m，n），b＝（1，－3)．（1）求事件“a⊥b”發(fā)生的概率；(2)求事件“|a|≤｜b|”發(fā)生的概率．解（1)由題意知,m∈{1,2,3，4，5，6｝，n∈{1，2,3，4,5,6},故(m,n)所有可能的情況共36種．因?yàn)閍⊥b,所以m－3n＝0，即m＝3n,有(3，1)，(6，2），共2種，所以事件“a⊥b”發(fā)生的概率為eq\f（2，36）＝eq\f(1,18）。(2)由|a|≤|b|，得m2＋n2≤10,有（1,1)，(1，2)，（1,3)，（2,1),（2,2)，(3,1），共6種，其概率為eq\f（6，36)＝eq\f（1，6)。所以事件“|a|≤|b｜”發(fā)生的概率為eq\f（1，6).12．海關(guān)對(duì)同時(shí)從A，B，C三個(gè)不同地區(qū)進(jìn)口的某種商品進(jìn)行抽樣檢測(cè)，從各地區(qū)進(jìn)口此種商品的數(shù)量（單位：件)如下表所示．工作人員用分層抽樣的方法從這些商品中共抽取6件樣品進(jìn)行檢測(cè).地區(qū)ABC數(shù)量50150100（1）求這6件樣品中來(lái)自A，B，C各地區(qū)商品的數(shù)量;(2)若在這6件樣品中隨機(jī)抽取2件送往甲機(jī)構(gòu)進(jìn)行進(jìn)一步檢測(cè)，求這2件商品來(lái)自相同地區(qū)的概率．解（1)A，B，C三個(gè)地區(qū)商品的總數(shù)量為50＋150＋100＝300，抽樣比為eq\f(6，300)＝eq\f(1，50），所以樣本中包含三個(gè)地區(qū)的個(gè)體數(shù)量分別是50×eq\f(1,50)＝1,150×eq\f(1,50）＝3,100×eq\f(1，50）＝2.所以A，B，C三個(gè)地區(qū)的商品被選取的件數(shù)分別是1，3，2.（2）設(shè)6件來(lái)自A，B,C三個(gè)地區(qū)的樣品分別為：A；B1,B2，B3；C1,C2.則從6件樣品中抽取的這2件商品構(gòu)成的所有基本事件為：｛A，B1}，{A，B2}，｛A,B3｝，｛A,C1}，{A，C2},｛B1,B2｝，｛B1，B3｝,｛B1，C1}，{B1，C2},｛B2，B3｝,｛B2，C1}，{B2,C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1,C2},共15個(gè)．每個(gè)樣品被抽到的機(jī)會(huì)均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的．記事件D:“抽取的這2件商品來(lái)自相同地區(qū)"，則事件D包含的基本事件有：｛B1，B2｝,｛B1，B3}，{B2，B3｝,｛C1，C2}，共4個(gè)．所以P(D）＝eq\f(4,15）,即這2件商品來(lái)自相同地區(qū)的概率為eq\f（4,15)。13．連續(xù)2次拋擲一枚骰子（六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2,3，4，5,6），記“兩次向上的數(shù)字之和等于m”為事件A，則P（A)最大時(shí),m＝________。答案7解析1＋1＝2，1＋2＝3，1＋3＝4,1＋4＝5，1＋5＝6,1＋6＝7,2＋1＝3，2＋2＝4,2＋3＝5,2＋4＝6，2＋5＝7，2＋6＝8，…，依次列出m的可能取值，知7出現(xiàn)次數(shù)最多．14.（2016·山東)某兒童樂(lè)園在“六一"兒童節(jié)推出了一項(xiàng)趣味活動(dòng)．參加活動(dòng)的兒童需轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的轉(zhuǎn)盤兩次,每次轉(zhuǎn)動(dòng)后,待轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),記錄指針?biāo)竻^(qū)域中的數(shù)．設(shè)兩次記錄的數(shù)分別為x，y.獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下：①若xy≤3，則獎(jiǎng)勵(lì)玩具一個(gè)；②若xy≥8，則獎(jiǎng)勵(lì)水杯一個(gè);③其余情況獎(jiǎng)勵(lì)飲料一瓶．假設(shè)轉(zhuǎn)盤質(zhì)地均勻,四個(gè)區(qū)域劃分均勻，小亮準(zhǔn)備參加此項(xiàng)活動(dòng)．（1）求小亮獲得玩具的概率；（2）請(qǐng)比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小,并說(shuō)明理由．解(1)用數(shù)對(duì)(x，y）表示兒童參加活動(dòng)先后記錄的數(shù),則基本事件空間Ω與點(diǎn)集S＝｛(x，y)｜x∈N，y∈N,1≤x≤4,