薄圓筒柱彈塑性力學

薄圓筒柱彈塑性力學第一頁，共二十五頁，2022年，8月28日§6.1彈塑性邊值問題的提法一、彈塑性全量理論邊值問題i)

在V內的平衡方程:ii)

在V內幾何關系（應變-位移關系）:iii)

在V內全量本構關系:(6-3)邊界Su上給定位移，要求應力，應變，位移，它們滿足設在物體V內給定體力，在應力邊界ST上給定面力Ti，在位移以下方程和邊條件：第二頁，共二十五頁，2022年，8月28日v)

在上位移邊界條件：二、彈塑性增量理論的邊值問題i)

在V內的平衡方程其中是外法線的單位向量；由此可見，彈塑性邊值問題的全量理論提法同彈性邊值問題的提法基本相同，不同僅在于引入了非線性的應力-應變關系（6-3）式。iv)

在上的應力邊界條件:ii)

在V內的幾何關系（應變位移的增量關系）：第三頁，共二十五頁，2022年，8月28日iii)

在V內的增量本構關系：彈性區(qū)：塑性區(qū)：（6-9）(a)

對于理想塑性材料，屈服函數(shù)為，則第四頁，共二十五頁，2022年，8月28日彈性區(qū)：塑性區(qū)：（6-10）（b）對于等向強化材料，后繼屈服函數(shù)為，則第五頁，共二十五頁，2022年，8月28日iv）在ST

上的應力邊界條件：v）在Su上的位移邊界條件：vi）彈塑性交界處的連接條件：如果交界面的法向為ni，則在上有：(a)法向位移連續(xù)條件(b)應力連續(xù)條件上標（E）和（P）分別表示彈性區(qū)和塑性區(qū)。第六頁，共二十五頁，2022年，8月28日§6.2

“薄壁筒”的拉、扭變形考察薄壁圓筒承受拉力P

和扭矩T

聯(lián)合作用的彈塑性變形問題。采用圓柱坐標，取z

軸與筒軸重合。設壁厚為h

，筒的內外平均半徑為R

，則筒內應力為：

其余應力分量均為0。因此，不但應力狀態(tài)是均勻的，而且每一種外載（拉、扭）只與一個應力分量有關，調整P

和T

之間的比值，即可得到應力分量間的不同比例。假設材料是不可壓縮的（v=1/2）、理想塑性的Mises材料。采用以下無量綱量：在彈性階段，無量綱化的Hooke定律給出(6-16)第七頁，共二十五頁，2022年，8月28日進入塑性以后，Mises屈服條件：可化為：下面按增量理論和全量理論求解這個問題，比較兩種結果的異同。對理想彈塑性材料，增量本構方程是Prandtl-Reuses關系，于是：無量綱化后得到：消去得：一、按增量理論求解(6-19)(6-20)第八頁，共二十五頁，2022年，8月28日由（6-18）式知故從（6-21）式中消去和，就有：同樣地，如果已知某時刻的初始狀態(tài)（應力狀態(tài)和應變狀態(tài)）及從該時刻起的變形路徑則積分（6-22）或（6-23）式就可得到關系或關系。第九頁，共二十五頁，2022年，8月28日保持常數(shù)的階段ab

上，設在a點有由于在ab上例如對于實驗中經常采用的階梯變形路徑（圖6-1），考慮方程（6-22）變?yōu)椋簣D6-1積分并利用a點的已知條件，得出：類似地，對于階段bc

,第十頁，共二十五頁，2022年，8月28日二、按全量理論求解由于假設了材料不可壓，由（5-63）式化后得應力-應變關系為將(6-26)式按(6-16)式無量綱在本問題中用分量寫出來就是：，故第十一頁，共二十五頁，2022年，8月28日在圖6-2中，有三條不同的加載路徑從原點O到達點C在彈性范圍內，，屈服條件（6-18）在應變空間中寫出就是。可見圖中的陰影區(qū)域是彈性范圍。路徑①沿OBC。在B點有在BC段上有解出在C點類似地，對路徑②，即階梯變形路徑OAC可求得三、算例（1）用增量理論求解OCABD①②③第十二頁，共二十五頁，2022年，8月28日剛到達屈服，同時滿足由此得出在D點時的應力為：不難證明沿

DC

段皆有，即應力值不變，在C點也就仍為（2）用全量理論求解代入（6-27）式得出亦即C點的應變i）由于加載路徑不同，雖然最終變形一樣，但最終應力卻不同；ii）只有在比例加載的條件下，增量理論和全量理論的結果才一致。

由以上的結果可知：路徑③是比例加載路徑ODC，其上。在到達D點時，第十三頁，共二十五頁，2022年，8月28日

實驗觀察證實，在塑性狀態(tài)下仍可采取材料力學和彈性力學中關于扭轉的假定，即柱體在彈塑性自由扭轉狀態(tài)下，截面只在自身平面內轉動，但可以發(fā)生軸向自由翹曲?！?.5柱體的彈塑性自由扭轉

考慮任意截面形狀的長柱體，在扭轉力矩T作用下的自由扭轉問題。以表示柱體單位長度的扭轉角，則小變形時的位移分量為從小應變下的Cauchy公式得出應變?yōu)椋阂?、研究范圍和基本方?6-84)其中是截面的翹曲函數(shù)假定截面是單連通的，取柱體的軸線為

z

軸。第十四頁，共二十五頁，2022年，8月28日此式與材料的本構關系無關，不論是彈性還是塑性時都成立。在進入塑性之后，恒有按照增量本構關系，從剛進入塑性開始，可以推知進而在變形的一切階段均有(6-85)(6-86)在彈性時按Hooke定律求得：第十五頁，共二十五頁，2022年，8月28日

即在塑性階段不為零的應力分量仍只有其中為合剪應力?？梢?，在扭轉時柱體各點的應力狀態(tài)始終是純剪切，這是一個簡單加載過程。且主應力為：第十六頁，共二十五頁，2022年，8月28日二、彈性扭轉和薄膜比擬或由（6-86）式得到的應力分量表示的協(xié)調方程同時，只有一個平衡方程從（6-85）式中消去翹曲函數(shù)，得協(xié)調方程因此，可以引進彈性應力函數(shù)，使有則平衡方程自動滿足，而協(xié)調方程（6-90）化為第十七頁，共二十五頁，2022年，8月28日在彈性力學中，研究了和Poisson方程（6-93）并導致以下結論)合剪應力大?。篿ii）柱體截面的周界也是

=const曲線族之一，對單連通截面可令周界上iv）扭矩T與的關系可按St.Venant

條件求得：ii）合剪應力的方向沿=const曲線的切向，也就是與的梯度方向相垂直。其中A為柱體的一個截面。v）Prandtl薄膜比擬：將薄膜張于與柱體截面邊界形狀相同的邊框上，加均勻壓力，則與薄膜的高度成正比，的大小與薄膜的斜率成正比，扭矩T與薄膜曲面下的體積成正比。第十八頁，共二十五頁，2022年，8月28日達到，就算達到了彈性極限狀態(tài)，相應的截面上有一點的扭矩為彈性極限扭矩。以半徑為

a

的圓柱體為例，帶入方程（6-93）得于是在截面邊緣上最大令處導出

在塑性階段，平衡方程（6-91）不變，并仍可由引入應力函數(shù)來滿足，此時

三、全塑性扭轉和沙堆比擬當材料進入塑性時，因此，按彈性考慮，只要第十九頁，共二十五頁，2022年，8月28日

這樣，只從平衡方程、屈服條件和應力邊條件就能夠求出理想塑性體內的應力分布。這種情況叫做塑性力學中的靜定問題。則或即對于理想塑性材料，是常數(shù)，（6-99）式說明在截面上保持斜率不變。由此，Nadai提出下述沙堆比擬：將一個水平的底面做成截面的形狀，在其上堆放干沙，由于沙堆的靜止摩擦角為常數(shù)，則沙將形成一個斜率為常數(shù)的表面。因此，這表面可用來代表塑性應力函數(shù)，只相差一個可由屈服應力和沙堆摩擦角決定的比例因子。就是截面的塑性極限扭矩。這時，我們不用（也不再有）應力協(xié)調方程，而代之以屈服條件

第二十頁，共二十五頁，2022年，8月28日

仍以半徑為a的圓柱體為例，它處于全塑性扭轉狀態(tài)時，，按（6-100）式求出高度就應為表面必然是一個圓錐，既然斜率是與（6-96）式相比可知對圓柱體

沙堆比擬的思想，不僅可直接應用于實驗，也可用來指導計算三角形、矩形、任意正多角形等規(guī)則截面的柱體的塑性極限扭矩，因為這只需計算某些等斜“屋頂”下的體積。第二十一頁，共二十五頁，2022年，8月28日剪應力方向平行于邊界，大小為。同時我們也看到，一般來說，在截面內部，沙堆會出現(xiàn)尖頂和棱線，在這些點和線的兩側剪應力不連續(xù)。從沙堆比擬中看出，沙堆的梯度垂直于邊界，等線平行于邊界，每點的合它們是彈性區(qū)域收縮時的極限。當彈性區(qū)域收縮時，從不同方向擴展過來的兩個塑性區(qū)域相遇，因此會造成剪應力間斷。

如果截面邊界上有凸角（如三角形截面和矩形截面的頂點），從彈性力學知道，在凸角處剪應力等于零，因而盡管T增大，這里始終處于彈性階段。所以，作為彈性區(qū)域收縮極限的剪應力間斷線必定通過這樣的凸角。反之，如果截面邊界上有凹角，從彈性力學知道，這里剪應力無限大，因而一開始就進入塑性階段，棱線就一定不經過這里。第二十二頁，共二十五頁，2022年，8月28日四、彈塑性扭轉和薄膜-玻璃蓋比擬當時，柱體的截面上會存在一部分彈性區(qū)、一部分塑性區(qū)，的模為常數(shù)）。因此，提出的數(shù)學問題如下：（這是由于應力分量在上應該連續(xù)）。的性質（滿足Poisson方程）和的性質（梯度其上應力函數(shù)分別具有，在彈性區(qū)內滿足方程（6-93），在塑性區(qū)內滿足（6-99），尋求應力函數(shù)，在彈塑性區(qū)域交界線在截面邊界上都要連續(xù)Nadai指出，彈塑性交界線可以聯(lián)合應用薄膜比擬和沙堆比擬來求解。在一塊水平平板上，挖一個具有截面形狀的孔，復蓋以薄膜。在薄膜的上面，放上一個按沙堆比擬形狀作成的等傾玻璃蓋。a)如若壓力較小時，薄膜的變形不受“屋蓋”的影響，這是彈性扭轉的情況。b)隨著壓力的增加，薄膜逐漸貼到屋蓋上，貼附的區(qū)域就是塑性區(qū)域。此時，在貼附區(qū)域以外的自由薄膜仍滿足Poisson方程，所以仍是彈性區(qū)。由此可以確定彈塑性交界線的形狀。第二十三頁，共二十五頁，2022年，8月28日在圓截面情形，由于對稱性，可設的一個圓。在彈性區(qū)：有

右圖顯示了矩形截面柱體在彈塑