淺談高中數(shù)學(xué)中的化歸與轉(zhuǎn)化

淺談高中數(shù)學(xué)中的化歸與轉(zhuǎn)化淺談高中數(shù)學(xué)中的化歸與轉(zhuǎn)化

數(shù)學(xué)中的化歸與轉(zhuǎn)化思想辦法，指在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時，通過某種轉(zhuǎn)化過程，歸結(jié)到一類已經(jīng)解決或比擬容易解決的問題，最終求得問題的解答的一種伎倆和辦法。在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，掌握好化歸與轉(zhuǎn)化思想的特點(diǎn)，學(xué)會在解題時注意依據(jù)問題本身所提供的信息，利用動態(tài)思維，去尋求有利于問題解決的化歸與轉(zhuǎn)化的途徑和辦法，對學(xué)好數(shù)學(xué)很有幫忙。

一、化歸轉(zhuǎn)化的概念分析

化歸轉(zhuǎn)化法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一種分析問題解決問題的根本思想辦法?；瘹w轉(zhuǎn)化的原那么是以已知的、簡單的、具體的、特殊的、根本的知識為根底，將未知的化為已知的，復(fù)雜的化為簡單的，抽象的化為具體的，一般的化為特殊的，非根本的化為根本的，從而得出正確的解答。它是將一個非根本的問題通過分解、變形、代換，或運(yùn)用平移、旋轉(zhuǎn)和伸縮等多種方式，化歸為一個熟悉的根本的問題，從而求出解答。簡而言之，化歸是一種目的性的轉(zhuǎn)化?；瘹w思想，是將一個問題由難化易，由繁化簡，由復(fù)雜化簡單的過程，它是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的簡稱。

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，總會出現(xiàn)各種各樣的數(shù)學(xué)問題，掌握解題辦法從而高效解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目標(biāo)。只有把握精準(zhǔn)的數(shù)學(xué)解題辦法，才能解決多樣的數(shù)學(xué)問題。在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段，學(xué)生必須掌握化歸轉(zhuǎn)化思想，如數(shù)形結(jié)合、等價代換等，熟練運(yùn)用化歸思想解題是學(xué)好數(shù)學(xué)的良好途徑。實施等價轉(zhuǎn)化這一化歸思想的時候，教師要在教材中挖掘化歸與轉(zhuǎn)化的思想，在教學(xué)設(shè)計中進(jìn)行滲透，在實際教學(xué)過程中辯證地對待這一思想辦法，把難解決、抽象的問題化歸與轉(zhuǎn)化成比擬直觀的問題。

二、化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用策略

事實上，數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化比比皆是，如未知向已知轉(zhuǎn)化，復(fù)雜問題向簡單問題轉(zhuǎn)化，新知識向舊知識的轉(zhuǎn)化，命題之間的轉(zhuǎn)化，數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，空間向平面的轉(zhuǎn)化，高維向低維轉(zhuǎn)化，多元向一元轉(zhuǎn)化，高次向低次轉(zhuǎn)化等，這些都是轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn)。對于數(shù)學(xué)習(xí)題的解答，關(guān)鍵是如何順藤摸瓜，順利實現(xiàn)轉(zhuǎn)化。熟練、扎實地掌握根底知識、根本技能和根本辦法是轉(zhuǎn)化的根底；豐盛的聯(lián)想、機(jī)警細(xì)微的察看、比擬、類比是實現(xiàn)轉(zhuǎn)化的橋梁。

1.熟悉化策略

當(dāng)學(xué)生面臨的是一道以前沒有接觸過的陌生題目時，要設(shè)法把它化為曾經(jīng)解過的或比擬熟悉的題目，以便使學(xué)生充沛利用已有的知識、經(jīng)驗或解題模式，順利地解出原題。學(xué)生對于題目的熟悉程度，取決于對題目自身結(jié)構(gòu)的認(rèn)識和理解。從結(jié)構(gòu)上來分析，任何一道解答題，都包含條件和結(jié)論〔或問題〕兩個方面。因此，要把陌生的題目轉(zhuǎn)化為熟悉的題目，教師可指導(dǎo)學(xué)生變換題目的條件、結(jié)論〔或問題〕，從而順利完成解答。充沛聯(lián)想回顧根本知識和題型，可以幫忙學(xué)生熟悉更好地進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。按照波利亞的觀點(diǎn)，在解決問題之前，我們應(yīng)充沛聯(lián)想和回顧與原有問題相同或相似的知識點(diǎn)和題型，充沛利用相似問題中的方式、辦法和結(jié)論，從而解決現(xiàn)有的問題。對于同一道數(shù)學(xué)題，可以指導(dǎo)學(xué)生從不同的側(cè)面、不同的角度去認(rèn)識，全方位、多角度分析題意。學(xué)生根據(jù)自己的知識和經(jīng)驗，適時調(diào)整分析問題的視角，有助于更好地把握題意，找到自己熟悉的解題方向。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，同一素材的題目，常?？梢杂胁煌谋憩F(xiàn)形式，條件與結(jié)論〔或問題〕之間，也存在著多種聯(lián)系方式。因此，構(gòu)造輔助元素，有助于改變題目的形式，溝通條件與結(jié)論〔或條件與問題〕的內(nèi)在聯(lián)系，把陌生題轉(zhuǎn)化為熟悉題。數(shù)學(xué)解題中，構(gòu)造的輔助元素多種多樣，常見的有構(gòu)造圖形〔點(diǎn)、線、面、體〕，構(gòu)造算法，構(gòu)造多項式，構(gòu)造方程〔組〕，構(gòu)造坐標(biāo)系，構(gòu)造數(shù)列，構(gòu)造行列式，構(gòu)造等價性命題，構(gòu)造反例，構(gòu)造模型等。

2.簡單化策略

當(dāng)學(xué)生面臨的是一道結(jié)構(gòu)復(fù)雜、難以入手的題目時，教師要設(shè)法引導(dǎo)學(xué)生把它轉(zhuǎn)化為一道或幾道比擬簡單、易于解答的新題，以便通過對新題的考查，啟迪解題思路，以簡馭繁，解出原題。簡單化是熟悉化的補(bǔ)充和發(fā)揮。一般說來，我們對于簡單問題往往比擬熟悉或容易熟悉。因此，在實際解題時，這兩種策略常常是結(jié)合在一起進(jìn)行的，只是著眼點(diǎn)有所不同而已。解題中，實施簡單化策略的途徑是多方面的，常用的有尋求中間環(huán)節(jié)、分類考察討論、簡化已知條件、恰當(dāng)分解結(jié)論等。具體進(jìn)行解題時，可尋求中間環(huán)節(jié)，挖掘隱含條件。一些結(jié)構(gòu)復(fù)雜的綜合題，就其生成背景而論，大多是由假設(shè)干比擬簡單的根本題，經(jīng)過適當(dāng)組合抽去中間環(huán)節(jié)而構(gòu)成的。因此，從題目的因果關(guān)系入手，尋求可能的中間環(huán)節(jié)和隱含條件，把原題分解成一組相互聯(lián)系的系列題，是實現(xiàn)復(fù)雜問題簡單化的一條重要途徑。數(shù)學(xué)題解題的復(fù)雜性，主要在于它的條件、結(jié)論〔或問題〕包含多種不易辨認(rèn)的可能情形。對于這類問題，選擇恰當(dāng)?shù)姆诸愐?guī)范，把原題分解成一組并列的簡單題，有助于實現(xiàn)復(fù)雜問題簡單化。有些數(shù)學(xué)題，條件比擬抽象、復(fù)雜，不太容易入手。這時，不妨簡化題中某些已知條件，甚至?xí)簳r撇開不顧，先考慮一個簡化問題。這樣簡單化了的問題，對于解答原題，常常能起到穿針引線的作用。有些問題，解題的主要困難，來自結(jié)論的抽象概括，難以直接和條件聯(lián)系起來，這時，不妨猜測一下，能否把結(jié)論分解為幾個比擬簡單的局部，以便各個擊破，解出原題。

3.直觀化策略

當(dāng)學(xué)生面對的是一道內(nèi)容抽象、不易捉摸的題目時，要設(shè)法把它轉(zhuǎn)化為形象鮮明、直觀具體的問題，以便憑借事物的形象把握題中所提及的各對象之間的聯(lián)系，找到原題的解題思路。有些數(shù)學(xué)題，內(nèi)容抽象，關(guān)系復(fù)雜，給學(xué)生理解題意增添了困難，常常會由于題目的抽象性和復(fù)雜性，使正常的思維難以進(jìn)行到底。對于這類題目，教師可以引導(dǎo)學(xué)生借助圖表的直觀性，利用示意圖或表格分析題意，使抽象內(nèi)容形象化，復(fù)雜關(guān)系條理化，思維有相對具體的依托，便于學(xué)生深入思考，發(fā)現(xiàn)解題線索。有些波及數(shù)量關(guān)系的題目，如果用代數(shù)辦法求解，計算量偏大，可以讓學(xué)生借助圖形，給題中有關(guān)數(shù)量以恰當(dāng)?shù)膸缀畏治觯貙捊忸}思路，找出簡捷、合理的解題途徑。不少波及數(shù)量關(guān)系的題目，與函數(shù)的圖象密切相關(guān)，靈活運(yùn)用圖象的直觀性，常常能以簡馭繁，獲取簡便、巧妙的解法。

4.正難那么反原那么

當(dāng)數(shù)學(xué)問題的正面討論遇到困難時，可考慮問題的背面，設(shè)法從問題的背面去探討，使問題獲解。〔1〕直接轉(zhuǎn)化法：把原問題直接轉(zhuǎn)化為根本定理、根本公式或根本圖形問題?！?〕換元法：運(yùn)用“換元〞把式子轉(zhuǎn)化為有理式或使整式降冪等，把較復(fù)雜的函數(shù)、方程、不等式問題轉(zhuǎn)化為易于解決的根本問題?！?〕數(shù)形結(jié)合法：研究原問題中數(shù)量關(guān)系〔解析式〕與空間形式〔圖形〕關(guān)系，通過互相變換獲得轉(zhuǎn)化途徑?！?〕等價轉(zhuǎn)化法：把原問題轉(zhuǎn)化為一個易于解決的等價命題，從而到達(dá)化歸的目的?！?〕特殊化辦法：把原問題的形式向特