高中概率知識(shí)點(diǎn)、考點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)歸納

高中數(shù)學(xué)第十一章高中數(shù)學(xué)第十一章-概率知識(shí)要點(diǎn)3.1．隨機(jī)事件的概率3.1.1隨機(jī)事件的概率1、必然事件：一般地，把在條件S下，一定會(huì)發(fā)生的事件叫做相

對于條件S的必然事件。2、不可能事件：把在條件S下，一定不會(huì)發(fā)生的事件叫做相對于條件S的不可能事件。3、確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱相對于條件S的確定事件。4、隨機(jī)事件：在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫相對于條件S的隨機(jī)事件。5、頻數(shù)：在相同條件S下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)n為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)。A6、頻率：事件A出現(xiàn)的比例f（A）=nA。nn7、概率：隨機(jī)事件A的概率是頻率的穩(wěn)定值，反之，頻率是概率的近似值.3.1.2概率的意義1、概率的正確解釋：隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生與否是隨機(jī)的，但隨機(jī)性中含有規(guī)律性。認(rèn)識(shí)了這種隨機(jī)中的規(guī)律性，可以比較準(zhǔn)確地預(yù)測隨機(jī)事件發(fā)生的可能性。2、游戲的公平性：抽簽的公平性。3、決策中的概率思想：從多個(gè)可選答案中挑選出正確答案的決策-來源網(wǎng)絡(luò)，僅供個(gè)人學(xué)習(xí)參考-來源網(wǎng)絡(luò)，僅供個(gè)人學(xué)習(xí)參考-來源網(wǎng)絡(luò)，僅供個(gè)人學(xué)習(xí)參考任務(wù)，那么“使得樣本出現(xiàn)的可能性最大”可以作為決策的準(zhǔn)則。極大似然法、小概率事件4、天氣預(yù)報(bào)的概率解釋：明天本地降水概率為70%解釋是“明天本地下雨的機(jī)會(huì)是70%”。5、試驗(yàn)與發(fā)現(xiàn)：孟德爾的豌豆試驗(yàn)。6、遺傳機(jī)理中的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。3.1.3概率的基本性質(zhì)1、事件的關(guān)系與運(yùn)算包含。對于事件A與事件B，如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，稱事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)，記作B二A(或A匸B)°不可能事件記作?°相等。若B二A且A二B，則稱事件A與事件B相等，記作A=B°事件A與事件B的并事件(和事件)：某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生。事件A與事件B的交事件(積事件)：某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B發(fā)生。事件A與事件B互斥：a*為不可能事件，即arb=0,即事件A與事件B在任何一次試驗(yàn)中并不會(huì)同時(shí)發(fā)生。事件A與事件B互為對立事件：ApB為不可能事件，Ay為必然事件，即事件A與事件B在任何一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生°2、概率的幾個(gè)基本性質(zhì)(】)0<p(A)<r2)必然事件的概率為1P(2)必然事件的概率為1P(E)=1?3)不可能事件的概率為0P(F)=0?(4)事件A與事件B互斥時(shí)，P(AjB)=P⑷+P(B)——概率的加法

公式。若事件B與事件A互為對立事件,，則A”為必然事件，P(A")=1?3.2古典概型3.2.1古典概型1、基本事件：基本事件的特點(diǎn)：(1)任何兩個(gè)事件是互斥的；任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本時(shí)間的和。2、古典概型：(1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)；(2)每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等。

具有這兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概型。3、公式:()=—基本事件的總數(shù)—3.2.2(整數(shù)值)隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生如何用計(jì)算器產(chǎn)生指定的兩個(gè)整數(shù)之間的取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)？——書上例題。3.3幾何概型-來源網(wǎng)絡(luò)，僅供個(gè)人學(xué)習(xí)參考3.3.1幾何概型1、幾何概型：每個(gè)事件發(fā)生的概率只有與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例的概率模型。2、幾何概型中，事件A發(fā)生的概率計(jì)算公式：3.3.2均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生常用的是hi］上的均勻隨機(jī)數(shù)，可以用計(jì)算器來產(chǎn)生0~1之間的均勻隨機(jī)數(shù)。本章知識(shí)小結(jié)（1）在具體情境中，了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，進(jìn)一步了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別。（2）通過實(shí)例，了解兩個(gè)互斥事件的概率加法公式。3）通過實(shí)例，理解古典概型及其概率計(jì)算公式，會(huì)用列舉法計(jì)算一些隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率。-來源網(wǎng)絡(luò)，僅供個(gè)人學(xué)習(xí)參考-來源網(wǎng)絡(luò)，僅供個(gè)人學(xué)習(xí)參考-來源網(wǎng)絡(luò)，僅供個(gè)人學(xué)習(xí)參考-來源網(wǎng)絡(luò)，僅供個(gè)人學(xué)習(xí)參考4）了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬方法（包括計(jì)算器產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)來進(jìn)行模擬）估計(jì)概率，初步體會(huì)幾何概型的意義（參見例3）。5）通過閱讀材料，了解人類認(rèn)識(shí)隨機(jī)現(xiàn)象的過程。重難點(diǎn)的歸納：重點(diǎn)：1、了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，正確理解概率的意義.2、理解古典概型及其概率計(jì)算公式.3、關(guān)于幾何概型的概率計(jì)算4、體會(huì)隨機(jī)模擬中的統(tǒng)計(jì)思想：用樣本估計(jì)總體.難點(diǎn)：

2、設(shè)計(jì)和運(yùn)用模擬方法近似計(jì)算概率.1、理解頻率與概率的關(guān)系.:1、理解頻率與概率的關(guān)系.:fl3、把求未知量的問題轉(zhuǎn)化為幾何概型求概率的問題.（二）髙考概率概率考試內(nèi)容：隨機(jī)事件的概率?等可能性事件的概率?互斥事

件有一個(gè)發(fā)生的概率.相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率.獨(dú)立重復(fù)

試驗(yàn).考試要求：1）了解隨機(jī)事件的發(fā)生存在著規(guī)律性和隨機(jī)事件概率的意義.2）了解等可能性事件的概率的意義，會(huì)用排列組合的基本公式計(jì)算一些等可能性事件的概率。了解互斥事件、相互獨(dú)立事件的意義，會(huì)用互斥事件的概率加法公式與相互獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算一些事件的概率．會(huì)計(jì)算事件在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率.以下歸納9個(gè)常見考點(diǎn)：

解析概率與統(tǒng)計(jì)試題是高考的必考內(nèi)容。它是以實(shí)際應(yīng)用問題為

載體，以排列組合和概率統(tǒng)計(jì)等知識(shí)為工具，以考查對五個(gè)概率

事件的判斷識(shí)別及其概率的計(jì)算和隨機(jī)變量概率分布列性質(zhì)及其

應(yīng)用為目標(biāo)的中檔師，預(yù)計(jì)這也是今后高考概率統(tǒng)計(jì)試題的考查

特點(diǎn)和命題趨向。下面對其常見題型和考點(diǎn)進(jìn)行解析。

考點(diǎn)1考查等可能事件概率計(jì)算。在一次實(shí)驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個(gè)，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的

可能性都相等。如果事件A包含的結(jié)果有m個(gè)，那么P(A)m。這

n

就是等可能事件的判斷方法及其概率的計(jì)n算公式。高考常借助不同背景的材料考查等可能事件概率的計(jì)算方法

以及分析和解決實(shí)際問題的能力。例1(2004天津)從4名男生和2名女生中任3人參加演講比賽.(I)求所選3人都是男生的概率；求所選3人中恰有1名女生的概率；求所選3人中至少有1名女生的概率.考點(diǎn)2考查互斥事件至少有一個(gè)發(fā)生與相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生概

率計(jì)算。不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件A、B叫做互斥事件，它們至少有一個(gè)發(fā)生的事件為A+B,用概率的加法公式P（A+B）=P（A）+P（B）計(jì)算。事件A（或B）是否發(fā)生對事件B（或A）發(fā)生的概率沒有影響，則A、B叫做相互獨(dú)立事件，它們同時(shí)發(fā)生的事件為AB。用概率的乘法公式P（AB）=P（A）P（B）計(jì)算。高考常結(jié)合考試競賽、上網(wǎng)工作等問題對這兩個(gè)事件的識(shí)別

及其概率的綜合計(jì)算能力進(jìn)行考查。例2.（2005全國卷III）設(shè)甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)器是否需要照顧相互之間沒有影響。已知在某一小時(shí)內(nèi)，甲、乙都需要照顧的概率為0.05，甲、丙都需要照顧的概率為0.1,乙、丙都需要照顧的概率為0?125,（I）求甲、乙、丙每臺(tái)機(jī)器在這個(gè)小時(shí)內(nèi)需要照顧的概率分別是多少；（II）計(jì)算這個(gè)小時(shí)內(nèi)至少有一臺(tái)需要照顧的概率?？键c(diǎn)3考查對立事件概率計(jì)算。必有一個(gè)發(fā)生的兩個(gè)互斥事件A、B叫做互為對立事件。用概

率的減法公式P（A）=1-P（A）計(jì)算其概率。高考常結(jié)合射擊、電路、交通等問題對對立事件的判斷識(shí)別及其V/例3．（2005福建卷文）甲、乙兩人在罰球線投球命中的概率分別甲、乙兩人在罰球線各投球一次，求恰好命中一次的概率;甲、乙兩人在罰球線各投球二次，求這四次投球中至少一次命中的概率；考點(diǎn)4考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率計(jì)算。若n次重復(fù)試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)結(jié)果的概率都不依賴其它各次

試驗(yàn)的結(jié)果，則此試驗(yàn)叫做n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)。若在1次試驗(yàn)中

事件A發(fā)生的概率為P,則在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好

發(fā)生k次的概率為Pn(k)二p(A)二Ckpk(i_p)n-k。nn高考結(jié)合實(shí)際應(yīng)用問題考查n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件恰好

發(fā)生k次的概率的計(jì)算方法和化歸轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學(xué)思想方

法的應(yīng)用。例4.(2005湖北卷)某會(huì)議室用5盞燈照明，每盞燈各使用燈泡一只，且型號(hào)相同。假定每盞燈能否正常照明只與燈泡的壽命有關(guān)，該型號(hào)的燈泡壽命為1年以上的概率為pl,壽命為2年以上的概率為p2。從使用之日起每滿1年進(jìn)行一次燈泡更換工作，只更換已壞的燈泡，平時(shí)不換。在第一次燈泡更換工作中，求不需要換燈泡的概率和更換2只燈泡的概率；在第二次燈泡更換工作中，對其中的某一盞燈來說，求該盞燈需要更換燈泡的概率；(皿)當(dāng)p1=0.8,p2=0.3時(shí)，求在第二次燈泡更換工作，至少需要更換4只燈泡的概率(結(jié)果保留兩個(gè)有效數(shù)字)

pc考點(diǎn)5考查隨機(jī)變量概率分布與期望計(jì)算。pc解決此類問題時(shí)，首先應(yīng)明確隨機(jī)變量可能取哪些值，然后按照相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生概率的法公式去計(jì)算這些可能取值的概率值即可等到分布列，最后根據(jù)分布列和期望、方差公式去獲解。以此考查離散型隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望等概念和運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。:fl例5.（2005湖北卷）某地最近出臺(tái)一項(xiàng)機(jī)動(dòng)車駕照考試規(guī)定；每位考試者一年之內(nèi)最多有4次參加考試的機(jī)會(huì)，一旦某次考試通過，使可領(lǐng)取駕照，不再參加以后的考試，否則就一直考到第4次為止。如果李明決定參加駕照考試，設(shè)他每次參加考試通過的概率依次為0.6,0.7,0.8,0.9,求在一年內(nèi)李明參加駕照考試次數(shù)e的分布列和e:fl率?？键c(diǎn)6考查隨機(jī)變量概率分布列與其他知識(shí)點(diǎn)結(jié)合1、考查隨機(jī)變量概率分布列與函數(shù)結(jié)合。例6.（2005湖南卷）某城市有甲、乙、丙3個(gè)旅游景點(diǎn)，一位客

人游覽這三個(gè)景點(diǎn)的概率分別是0.4,0.5,0.6，且客人是否游

覽哪個(gè)景點(diǎn)互不影響，設(shè)e表示客人離開該城市時(shí)游覽的景點(diǎn)數(shù)

與沒有游覽的景點(diǎn)數(shù)之差的絕對值。（I）求e的分布及數(shù)學(xué)期望；（II）記“函數(shù)f（x）=x2—3ex+1在區(qū)間［2,+8）上單調(diào)遞

增”為事件A,求事件A的概率。2、考查隨機(jī)變量概率分布列與數(shù)列結(jié)合。例7甲乙兩人做射擊游戲，甲乙兩人射擊擊中與否是相互獨(dú)立事件，規(guī)則如下：若射擊一次擊中，原射擊者繼續(xù)射擊，若射擊一次不中，就由對方接替射擊。已知甲乙兩人射擊一次擊中的概率均為7，且第一次由甲開始射擊。(1)求前4次射擊中，甲恰好射擊3次的概率。(2)若第n次由甲射擊的概率為「求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式；求nnlima，并說明極n~8限值的實(shí)際意義。n3、考查隨機(jī)變量概率分布列與線形規(guī)劃結(jié)合。例8(2005遼寧卷)某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每種產(chǎn)品都是經(jīng)過第一和第二工序加工而成，兩道工序的加工結(jié)果相互獨(dú)立，每道工序的加工結(jié)果均有A、B兩個(gè)等級(jí)對每種產(chǎn)品，兩道工序的加工結(jié)果都為A級(jí)時(shí)，產(chǎn)品為一等品，其余均為二等品。(I)已知甲、乙兩種產(chǎn)品每一道工序的加工結(jié)果為A級(jí)的概率如表一所示，分別求生產(chǎn)出的甲、乙產(chǎn)品為一等品的概戸(甲)、P(乙);(II)已知一件產(chǎn)品的利潤如表二所示，用E、n分別表示一件甲、乙產(chǎn)品的利潤，在(I)的條件下，求E、n的分布列及EE、En；(皿)已知生產(chǎn)一件產(chǎn)品需用的工人數(shù)和資金額如表三所示.該工廠有工人40名，可用資金60萬元。設(shè)x、y分別表示生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品的數(shù)量，在(II)的條件下，y為何值時(shí)，z=xEE+yEnx最

大？最大值是多少？（解答時(shí)須給出圖示）

考查隨機(jī)變量概率分布列性質(zhì)性質(zhì)應(yīng)用考點(diǎn)7考查隨機(jī)變量概率分布列性質(zhì)應(yīng)用。

離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍

內(nèi)各個(gè)值的概率之和.，高考常結(jié)合應(yīng)用問題對隨機(jī)變量概率分布

列及其性質(zhì)的應(yīng)用進(jìn)行考查。:f?例9（2004年全國高考題）某同學(xué)參加科普知識(shí)競賽,需回答三個(gè)問題，競賽規(guī)則規(guī)定：每題回答正確得100分，回答不正確得0分。假設(shè)這名同學(xué)每題回答正確的概率均為0.8,且各題回答正確與否相互之間沒有影響.:f?①求這名同學(xué)回答這三個(gè)問題的總得分的概率分布和數(shù)學(xué)期望；②求這名同學(xué)總得分不為負(fù)分（即EM0）的概率。考點(diǎn)8樣本抽樣識(shí)別與計(jì)算。簡單隨機(jī)抽樣，系統(tǒng)抽樣，分層抽樣得共同特點(diǎn)是不放回抽樣，且各個(gè)體被抽取得概率相等，均為上（N為總體個(gè)體數(shù)，n為N樣本容量）。系統(tǒng)抽樣、分層抽樣的實(shí)質(zhì)分別是等距抽樣與按比例抽樣，只需按照定義，適用范圍和抽樣步驟進(jìn)行，就可得到符合條件的樣本。高考常結(jié)合應(yīng)用問題，考查構(gòu)照抽樣模型，識(shí)別圖形，搜集數(shù)據(jù)，處理材料等研究性學(xué)習(xí)的能力。例11（2005年湖北湖北高考題）某初級(jí)中學(xué)有學(xué)生270人，其中一年級(jí)108人，二、三年級(jí)各81人，現(xiàn)要利用抽樣方法抽取10

人參加某項(xiàng)調(diào)查，考慮選用簡單隨機(jī)抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣三種方案，使用簡單隨機(jī)抽樣和分層抽樣時(shí)，將學(xué)生按一、二、三年級(jí)依次統(tǒng)一編號(hào)為1,2,…，270；使用系統(tǒng)抽樣時(shí)，將學(xué)生統(tǒng)一隨機(jī)編號(hào)1，2,…，270,并將整個(gè)編號(hào)依次分為10段.如果抽得號(hào)碼有下列四種情況：①7,34,61，88,115,142,169,196,223,250；②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265；③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254；④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270；關(guān)于上述樣本的下列結(jié)論中，正確的是（）都不能為系統(tǒng)抽樣都不能為分層抽樣④都可能為系統(tǒng)抽樣都不能為系統(tǒng)抽樣都不能為分層抽樣④都可能為系統(tǒng)抽樣③都可能為分層抽樣A?②、C?C?D?D?考點(diǎn)9考查直方圖。這是統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，不是概率的吧？

例12.（2005江西卷）為了解某校高三學(xué)生的視力情況，隨機(jī)地

抽查了該校100名高三學(xué)生的視力情況，得到頻率分布直方圖，

如右，由于不慎將部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，但知道前4組的頻數(shù)成等比數(shù)

列，后6組的頻數(shù)成等差數(shù)列，設(shè)最大頻率為a,視力在4.6到

5.0之間的學(xué)生數(shù)為b,則a、b的值分別為（）A．0,27,78B．0,27,83C．2.7,78D．2.7,83方法小結(jié)：解決概率問題時(shí),一定要根據(jù)有關(guān)概念,判斷問題是否是等可能性事件、互斥事件、相互獨(dú)立事件，還是某一事件在n次獨(dú)立

重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的情況，以便選擇正確的計(jì)算方法，同

時(shí)注意上述各類事件的綜合問題，要全面考慮，特別是近幾年高

考概率與期望的綜合，體現(xiàn)了高考對概率知識(shí)要求的進(jìn)一步提高

下面僅以幾個(gè)例題作以小結(jié)。一、用排列組合求概率例1從0到9這10個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)數(shù)字組成一個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，這個(gè)三位數(shù)不能被3整除的概率為()

(A)19/54(B)35/5(C)38/54(D)41/60分析：等可能事件的概率關(guān)鍵是利用排列組合出基本事件數(shù)。

答案：B點(diǎn)評：本題將等可能事件與對立事件的概率，以及分類討論綜合

在一起，體現(xiàn)了知識(shí)交匯點(diǎn)的命題精神，是高考的熱點(diǎn)。二、互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率

例2某廠生產(chǎn)A產(chǎn)品，每盒10只進(jìn)行包裝,每盒產(chǎn)品都需要檢驗(yàn)合

格后才能出廠,規(guī)定以下,從每盒10只中任意抽4只進(jìn)行檢驗(yàn)，如

果次品數(shù)不超過1只，就認(rèn)為合格，否則就認(rèn)為不合格，已經(jīng)知道

某盒A產(chǎn)品中有2只次品

1)求該盒產(chǎn)品被檢驗(yàn)合格的概率2)若對該盒產(chǎn)品分別進(jìn)行兩次檢驗(yàn),求兩次檢驗(yàn)的結(jié)果不一致的概率

分析：對一個(gè)復(fù)雜事件的概率可以分拆成幾個(gè)互斥事件的概率或

者轉(zhuǎn)化為求其對立事件的概率。點(diǎn)評：求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，要保證兩者確是“相互獨(dú)立”事件。本例的“比賽型”題，分析比較簡單，只要結(jié)合有關(guān)比賽規(guī)則即可解決，此類題也是高考的熱點(diǎn)題。三、對立重復(fù)試驗(yàn)例3一位學(xué)生每天騎自行車上學(xué),從他家到學(xué)校有5個(gè)交通崗,假設(shè)他在交通崗遇到紅燈是相互獨(dú)立的，且首末兩個(gè)交通崗遇到紅燈的概率均為P,其余3個(gè)交通崗遇到紅燈的概率均為1。2（1）若p=2/3，求該學(xué)生在第三個(gè)交通崗第一遇到紅燈的概率；

（2）若該學(xué)生至多遇到一次紅燈的概率不超過5/18，求p的取值

范圍。分析:首末兩個(gè)交通崗遇紅燈的概率相同，其余3個(gè)交通崗遇紅燈的概率也相同，可看作獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)。分析:點(diǎn)評:要注意恰有k次發(fā)生和某指定的k次發(fā)生的差異。對獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)來說，前者的概率為點(diǎn)評:總結(jié)：一個(gè)發(fā)生；（3）相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生；（4）獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)為載體。有的考題可能綜合多個(gè)概率題型；在等可能事件的概率計(jì)算中，關(guān)鍵有二：一是誰是一次試驗(yàn)（一次事件所含的基本事件的總數(shù)）；二是事件A總結(jié)：一個(gè)發(fā)生；（3）相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生；（4）獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)為載體。有的考題可能綜合多個(gè)概率題型；在等可能事件的概率計(jì)算中，關(guān)鍵有二：一是誰是一次試驗(yàn)（一次事件所含的基本事件的總數(shù)）；二是事件A所含基本事件數(shù)。當(dāng)然，所有基本事件是等可能的是前提；善于將復(fù)雜的事件分解為互斥事件的和與獨(dú)立事件的積是解題的關(guān)鍵。三)高考數(shù)學(xué)概率中的易錯(cuò)題辨析一、概念理解不清致錯(cuò)例1?拋擲一枚均勻的骰子，若事件A：“朝上一面為奇數(shù)”事件B：“朝上一面的點(diǎn)數(shù)不超過3”求P(A+B)錯(cuò)誤解法1：事件A：朝上一面的點(diǎn)數(shù)是1，3,5；事件B：趄上一面的點(diǎn)數(shù)為1,2,3,?：P(A+B)=P(A)+P(B)=3亠3iH=—662錯(cuò)因分析：事件A：朝上一面的點(diǎn)數(shù)是1,3,5；事件B：趄上一面的點(diǎn)數(shù)為1,2,3,很明顯，事件A與事件B不是互斥事件。即P(A+B)HP(A)+P(B),所以上解是錯(cuò)誤的。實(shí)際上：正確解法為：A+B包含：朝上一面的點(diǎn)數(shù)為1,2,3,5四種情況???P(A+B)=4=26一3錯(cuò)誤解法2：事件A：朝上一面的點(diǎn)數(shù)為1,3,5；事件B：朝上一面的點(diǎn)數(shù)為1,2,3,即以A、B事件中重復(fù)的點(diǎn)數(shù)1、3?P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A?B)=11113+__x22224錯(cuò)因分析：A、B事件中重復(fù)點(diǎn)數(shù)為1、3,所以P(A?B)=2；6致錯(cuò)這種錯(cuò)誤解法在于簡單地類比應(yīng)用容斥原理致錯(cuò)Card(AUB)=Card(A)+Card(B)一Card(AAB)正確解答：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A?B)=1122+^―—2263例2．某人拋擲一枚均勻骰子，構(gòu)造數(shù)列{a}，使例2．某人拋擲一枚均勻骰子，構(gòu)造數(shù)列na_]1，(當(dāng)?shù)趎次擲出偶數(shù)),:0(i=123,4)且S=2的概率。n[—1,(當(dāng)?shù)趎次擲出奇數(shù))n12“i8錯(cuò)解：記事件A：―2，即前8項(xiàng)中，5項(xiàng)取值1,另3項(xiàng)取8值－1?；S=2的概率P(A)=C5?(1)8882記事件B：Sn0(i=123,4)，將Sn0(i=123,4)分為兩種情形：ii(1)若第1、2項(xiàng)取值為1,則3,4項(xiàng)的取值任意(2)若第1項(xiàng)為1,第2項(xiàng)為一1,則第3項(xiàng)必為1第四項(xiàng)

任意..P(B)_(扣+(*)3=I?；所求事件的概率為P=P(A)?P(B)=3.C5.88錯(cuò)因分析：S>0且S=2是同一事件的兩個(gè)關(guān)聯(lián)的條件，而不是i8兩個(gè)相互獨(dú)立事件。S>0對5=2的概率是有影響的，所以解答應(yīng)為:i8正解：ISn0(i=1;2,3,4)?:前4項(xiàng)的取值分為兩種情形i若1、3項(xiàng)為1；則余下6項(xiàng)中3項(xiàng)為1,另3項(xiàng)為-1即可。即p=C3.(亠；162若1、2項(xiàng)為正，為避免與第①類重復(fù)，則第3項(xiàng)必為-1,則后5項(xiàng)中只須3項(xiàng)為1,余下2項(xiàng)為-1，即P=c：.*,所求事件的概率為p=(C3+c,).(1)8=152二、有序與無序不分致錯(cuò)例3．甲、乙兩人參加普法知識(shí)競賽,共有10個(gè)不同的題目,其中選擇題6個(gè),判斷題4個(gè),甲、乙依次各抽一題。求：（1）甲抽到選擇題，乙提到判斷題的概率是多少？（2）甲、乙兩人中至少有1人抽到選擇題的概率是多少？錯(cuò)誤解法：（1）甲從選擇題抽到一題的結(jié)果為C16乙從判斷題中抽到一題的結(jié)果為

而甲、乙依次抽到一題的結(jié)果為???所求概率為：C41C120CC4二§C21510錯(cuò)因分析：甲、乙依次從10個(gè)題目各抽一題的結(jié)果，應(yīng)當(dāng)是

先選后排，所以應(yīng)為A2。為避免錯(cuò)誤，對于基本事件總數(shù)也可這10樣做：甲抽取一道題目的結(jié)果應(yīng)為C1種，乙再抽取余下的9道題10中的任一道的結(jié)果應(yīng)為C1種，正確解答：所以9C1C1464=-C1C115109（2）錯(cuò)誤解法：從對立事件考慮，甲、果為C2種，所以都抽到判斷題的概率為4乙都抽到判斷題的結(jié)丄，所求事件的概率15仝CoC9為-丄=141515錯(cuò)因分析：指定事件中指明甲、乙依次各抽一題，那么甲、乙都提到判斷題的結(jié)果應(yīng)為CiC1種，所以所求事件概率應(yīng)為43C1C121一4—=-C1C115109說明：對于第（2）問，我們也可以用這樣解答：2，這里啟示我們，當(dāng)基本事件是有序的，則指定事件151-Ct

C210是有序的（指定事件包含在基本事件中）；當(dāng)基本事件是無序的，-來源網(wǎng)絡(luò)，僅供個(gè)人學(xué)習(xí)參考-來源網(wǎng)絡(luò)，僅供個(gè)人學(xué)習(xí)參考-來源網(wǎng)絡(luò)，僅供個(gè)人學(xué)習(xí)參考-來源網(wǎng)絡(luò)，僅供個(gè)人學(xué)習(xí)參考-來源網(wǎng)絡(luò)，僅供個(gè)人學(xué)習(xí)參考則指定事件也必?zé)o序。關(guān)鍵在于基本事件認(rèn)識(shí)角度必須準(zhǔn)確。

例4．已知8支球隊(duì)中有3支弱隊(duì)，以抽簽方式將這8支球

隊(duì)分為A、B兩組，每組4支，求：A、B兩組中有一組恰有兩支

弱隊(duì)的概率。錯(cuò)解：將8支球隊(duì)均分為A、B兩組，共有C4C4種方法：A、B84兩組中有一組恰有兩支弱隊(duì)的分法為：先從3支弱隊(duì)取2支弱隊(duì),又從5支強(qiáng)隊(duì)取2支強(qiáng)隊(duì)，組成這一組共有C2C2種方法，其它球隊(duì)53分在另一組，只有一種分法。???所求事件的概率為：竺3。VC:7錯(cuò)因分析：從基本事件的結(jié)果數(shù)來看，分組是講求順序的，那么指定事件：“A、B組中有一組有2支弱隊(duì)”應(yīng)分為兩種情形。

即“A組有”或“B組有”所以正確解答為：正解：_6^或—CfC；——勺TOC\o"1-5"\h\z52—52—C4C47C4C4/A2784842說明：這道題也可從對立事件求解:

3支弱隊(duì)分法同一組共有：Ci+Ci種結(jié)果。55???所求事件概率為???所求事件概率為,C1+C11一55C4C484三、分步與分類不清致錯(cuò)

例5．某人有5把不同的鑰匙，逐把地試開某房門鎖，試問

他恰在第3次打開房門的概率？錯(cuò)誤解法：由于此人第一次開房門的概率為丄，若第一次未開，5第2次能打開房門的概率應(yīng)為丄；所以此人第3次打開房門的概率4為1。3錯(cuò)因分析：此人第3次打開房門實(shí)際是第1次未打開，第2

次未打開，第3次打開“這三個(gè)事件的積事件”，或者理解為“開

房門是經(jīng)過未開、未開、開”這三個(gè)步驟，不能理解為此事件只

有“開房門”這一個(gè)步驟，所以，正確解答應(yīng)為：正解：第1次未打開房門的概率為4；第2次未開房門的概率5為3；第3次打開房門的概率為1,所求概率為：一4x3x1_1。435435例5.某種射擊比賽的規(guī)則是：開始時(shí)在距目標(biāo)100m晁射擊,若命中記3分，同時(shí)停止射擊。若第一次未命中，進(jìn)行第二次射擊，但目標(biāo)已在150m遠(yuǎn)處，這時(shí)命中記2分，同時(shí)停止射擊；若第2次仍未命中，還可以進(jìn)行第3次射擊，此時(shí)目標(biāo)已在200m遠(yuǎn)處。若第3次命中則記1分，同時(shí)停止射擊，若前3次都未命中，則記0分。已知身手甲在100m處擊中目標(biāo)的概率為1,他命中目2標(biāo)的概率與目標(biāo)的距離的平方成反比，且各次射擊都是獨(dú)立的。

求：射手甲得k分的概率為P，求P，P，P，P的值。k3210:設(shè)射手射擊命中目標(biāo)的概率P與目標(biāo)距離之間的關(guān)系X為P=-L，由已知1=_Lnk=5000221002錯(cuò)誤解法：p-1P3-勺錯(cuò)因分析：求P時(shí)，將第150m處射擊命中目標(biāo)的概率作為第22次命中目標(biāo)的概率，隔離了第1次射擊與第2次射擊的關(guān)系，實(shí)際上，第2次射擊行為的發(fā)生是在第1次未擊中的前提下才作出的。

???P應(yīng)為“第1次未擊中，第2次擊中”這兩個(gè)事件的積事2件的概率。求P1時(shí)也如此。正解：P3=2四、考慮不周致錯(cuò)

例6?某運(yùn)動(dòng)員射擊一次所得環(huán)數(shù)的分布列如下:X78910P0.20.20.20.2現(xiàn)進(jìn)行兩次射擊，以該運(yùn)動(dòng)員兩次射擊中最高的環(huán)數(shù)作為他的成績記為?，求：?的分布列。錯(cuò)誤解法：?的取值為8,9,10。?=7,兩次環(huán)數(shù)為7,7；?=8,兩次成績?yōu)?,8或8,8；?=9,兩次成績7,9或8,9或9,9；?=10,兩次隊(duì)數(shù)為7,10或8,10或9,10或10,10。??P(?=7)=0.2x0.2=0.04(分布列略)錯(cuò)因分析：?=8，即兩次成績應(yīng)為7,8或&7或&8實(shí)際為三種情形P(?=8)=2x0.2x0.3+0.32=0.21?=9兩次環(huán)數(shù)分別為7,9(或9,7)；&9(或9,8),9.9A同理P(?=9)=2x0.2x0.3+2x0.3x0.3+0.32=0.39同理P(?=10)=0.122x2+0.3x0.2x4+0.22=0.36例7?將n個(gè)球等可能地放入到N(nXn)個(gè)有編號(hào)的盒子中(盒子中容納球的個(gè)數(shù)不限)。求A：某指定的n個(gè)盒子中恰有一-來源網(wǎng)絡(luò)，僅供個(gè)人學(xué)習(xí)參考-來源網(wǎng)絡(luò)，僅