2021-2022學年陜西省西安市蓮湖區(qū)高一下學期期末數(shù)學試題【含答案】

2021-2022學年陜西省西安市蓮湖區(qū)高一下學期期末數(shù)學試

一、單選題

1.若角2a與240°角的終邊相同，則a

A.120°+h360°,%￡ZB12(r+hl80°MeZ

C240°+h360,kZD.2400+i-180°,AreZ

【分析】由題意得出2a=2407h360ReZ),由此可計算出角a的表達式.

【詳解】因為角2a與240。角的終邊相同，所以2a=2400+%.360“。eZ),

則a=120°+hl80°,keZ

故選B.

本題考查終邊相同的角之間的關(guān)系，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.下列命題正確的是()

A.若￡〃身工，則■〃工B.向量方與向量初的長度相當

C.若兩個單位向量平行，則這兩個單位向量相等D.若忖二7小卜3,則￡＞書

【分析】根據(jù)向量的相關(guān)概念即可逐一判斷.

【詳解】對于A：當族=6,貝伊，,不一定平行，故A錯，

對于B；向量在與向量而是相反向量，故長度相等，故B正確，

對于C；兩個單位向量平行，可能方向相同也可能相反，故向量不一定相等，故C錯,

對于D；向量有方向和大小，不能比較大小，故D錯，

故選：B

3.sin4()Osin50°-cos40°cos50°等于()

A.-1B.1C.0D.-cos10°

【分析】根據(jù)兩角和的余弦公式即可求解.

【詳解】由兩角和的余弦公式得：

sin40°sin50°-cos40°cos50°=-(cos40°cos50°-sin40°sin50°)=-cos(40"+50。-cos90°=0

故選：C

4.在四邊形"SCO中，設(shè)方=7力=$比=己，則反=（）

A.-5+b+cB.-G+B-5

C.a+b+cD.G-B+

D

【分析】根據(jù)向量加法、減法的運算求得友.

【詳解】DC=^C~^D=+=+c

故選：D

y=V2sin|2x+二

要得到函數(shù)的圖象,

5.V=3COS2X只需將函數(shù)4的圖象（）

兀71

A.向左平移1個單位B.向右平移1個單位

兀乃

C.向左平移W個單位D.向右平移％個單位

A

=V2sinf2x+：7T=V2sin2

【分析】先將化簡為

V=3C0S2X2,再根據(jù)三角

函數(shù)的圖象平移即可得出答案.

7T

y=V2cos2x=\/2sin|2x+^-|=V2sin2X+—

【詳解】24」，所以

y=V2sin|2x+：7T

4的圖象向左平移W個單位得.

y=V2sin2兀V2sin(2x+y

7

故選：A.

tan—+?=2tan2a+

(6)

6.已知。為任意角,若滿足，則I)

5_434

A.12B.3C.4D.3

B

ntan(2a+竺tan2a-\-—\=tan2

---FCLI3

【分析】將6看成一個整體，化簡3口"凱

即可根據(jù)正切的二倍角公式求出.

tan—4-a=2

(6

【詳解】由

tan(2a+也

=tan2a+7T+—=tan2a+—=tan2a+—

I3I3I3I6

可得

2x24

1-22~~3

故選：B.

7.下列函數(shù)中，最小正周期為儀且為偶函數(shù)的是（）

(7C

y=tan\x-{--y=cosl2x+y

A.B.

y=sin|2x|D.y=|sinx|

C.

D

【分析】A.根據(jù)函數(shù)的解析式判斷；B.根據(jù)函數(shù)的解析式判斷；C根據(jù)函數(shù)的圖象判

斷：D.根據(jù)函數(shù)的圖象判斷.

y=tanIx+y

【詳解】A.的最小正周期為萬，是非奇非偶函數(shù)，故錯誤;

y=cosf2x+^-i=-sin2x

B.的最小正周期為左，是奇函數(shù)，故錯誤;

)-sin|2x|

C.如圖所示：

了=5融|2從不周期函數(shù)，為偶函數(shù)，故錯誤;

故選：D

8.已知。為第三象限角，則（）

sin—>0cos—>0.._

A.2B.2C.sin2o〉0D.cos2a>0

C

a

【分析】根據(jù)。為第三象限角，可以得到5，2a的取值范圍，進一步得出答案.

3

n+2k兀<a<一4+2k九

【詳解】???。為第三象限角，即2,

1,a3,a

一冗+k冗<——<一九+k九—

??.224即2是第二、四象限，

.a.a_aa

sm—>0sin—<0cos—>0Acos—<0A

??.2或2,2或2,故選項A、B錯誤，

...2乃+4k乃<2a<3乃+4攵乃

...sin2a>0,-l<cos2a<l,故C正確D錯誤.

故選：C.

0&{—,2n\

9.已知〈27,且cos20+cos0=0,貝ijsin20+sin,等于（）

A.0B.百C.一追D.2

C

0e[—,2it\cos0=—0=—

【分析】根據(jù)余弦的二倍角公式以及12J可得2,進而可得3,代

入即可求值.

【詳解】由cos26+cose=0得2cos2e+cose-l=0=（cose+l）（2cose-l）=0,因為

八（3兀"、八I八5兀

一,2兀cos0=—0--

12）,所以cos，＞0,進而得2,故3,所以

故選：C

10.已知非零向量°4°8不共線，且=+y麗，若方=4萬，則x,y滿足的

關(guān)系是（）

A1+y-2=0B2x+y—I=0

Cx+2y—2=0D2x+y-2=0

A

【分析】根據(jù)條件分解向量后，對比兩組系數(shù)消去4

［詳解］由。4=%48得°"-0P=之(°8-。0,即OP=(l+zl)。/-,又

,-X

I4-/I=—

2

OP=^OA+y.OB

22,故2,消去工后得x+y-2=o.

故選A

jr

f（x）=2sin（2x——）+l

ll.已知函數(shù)3,則下列說法正確的是（）

A.函數(shù)/（X）的圖象關(guān)于點5”）對稱B.函數(shù)/（X）圖象的一條對稱軸是直線

71

X=-----

12

/（X+-）D,若0<$<%<兀，則/(玉)</(“2)

C.3是奇函數(shù)

B

【分析】將選項A,B,C中的條件分別代入函數(shù)/（X）的解析式中，計算判斷對應(yīng)結(jié)

論：取特值計算判斷D作答.

【詳解】對于A,因“3）=2sm8+l="+l,則函數(shù)/（x）的圖象關(guān)于點9"）

不對

稱，A不正確;

對于B,因'"一石）"皿一5）+1=一1,而"x）mm=T,則數(shù)/.（X）圖象的一條對稱軸

兀

X=

是直線12,B正確;

J\x+-)=2sin[2(x+-)--]+l=2sin(2x+-)+1

對于C,3i33」3不是奇函數(shù)，C不正確;

5兀7兀而〃X1)=2s嗚+1=3

取*一五

對于D,12,顯然有0＜西＜、2＜兀

/(x,)=2sin—+1=2

6,D不正確.

故選：B

12.如圖，在平面四邊形/8CZ）中，AB1BC,AD1BD,△88為邊長為2G的等邊三

角形，點尸為邊8。上一動點，則萬?麗的取值范圍為（）

C

【分析】根據(jù)題意可計算出N8的長，由此建立平面直角坐標系，設(shè)點尸的坐標，進

而表示向量"Ra的坐標，計算萬?麗，結(jié)合二次函數(shù)的知識求得結(jié)果.

【詳解】由題意可知，△88為等邊三角形，則有ZD8C=60。，NABD=30。，

^￡＞=Sr＞xtan301=2^3x—=2

在RtAJSD中，3,N8=2AD=4.

如圖以B為原點，8c所在直線為x軸，8/所在直線為y軸建立平面直角坐標系，

則有“（°，4）,。（26，°）,由于?C=60。，故可設(shè)尸點坐標為且

0<x<V3,

所以"=Q,GX-4）而瓜）

2

36]_27

所以萬百二代2月＞伊x_4*x=4x、6底=4x-------

4"T

/3⑸2

百27

34x-------27

r-JV-------I4JT

因為04x413,當一4時,取得最小值4，當x=°時,

、2

4,一邁27

44

7取得最大值為0,

27----------

——<APCP<0

所以4

故選：C.

二、填空題

12

cosa--

13.。是第四象限角，13,貝ijsina=

"13

利用sin2a+cos2a=1及a為第四象限角，求出sina得解.

,/cosa=—sina=±V1-cos2a=±

【詳解】13,

5

sina=-----

因為。為第四象限角，所以13

_2,

故13

本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，屬于基礎(chǔ)題.

同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式(1)平方關(guān)系：sin'a+cos2a=1；(2)商數(shù)關(guān)系.

sina

tana=------

cosa

14.函數(shù)/G)=&anx-l的定義域為.

Tt兀

[―+%兀,萬+k7i)(kGZ)

八.X>---\-K7T,kGZ

【詳解】由tanx-lNO,得tanxNl,解得4,

——+kji<x<—+kjr,wZ)

7T,7t

——\-k7C<X<——F左乃，(左wZ)

??.42

—+k7t,—+k7i],(左eZ)

.?.函數(shù)的定義域為L42)

71T[.\

-+kt7C,—+K7TI,(keZ)

答案:

y=3sin(a)x+(p)(a)>0,刎<—)

15.如圖是函數(shù)2的圖像的一部分，則此函數(shù)的解析式為

【分析】首先由周期求出“，再根據(jù)函數(shù)過點一家,即可求出夕，從而求出函數(shù)解

析式.

丁=-7__一;=乃T=——=n

【詳解】解：由圖可知6I6J，所以①,解得0=2,

1一二,013sinf--+=0_—+(p-2kn,keZ

再由函數(shù)過點I6人所以I3J,所以3,

71..._?I7171

0=一+2左肛左wZm<—(p=一

解得3，因為…2所以3,

71

y=3sin|2x+二

所以3

y=3sin(2x+y

故

16.勒洛三角形是具有類似圓的“定寬性”的面積最小的曲線，它由德國機械工程專家,

機構(gòu)運動學家勒洛首先發(fā)現(xiàn)，其作法是：以等邊三角形每個頂點為圓心，以邊長為半

徑，在另兩個頂點間作一段弧，三段弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形.已知等邊

三角形的邊長為1,則勒洛三角形的面積是.

TC-A/3

2

【分析】根據(jù)題意作出圖形，觀察可發(fā)現(xiàn)該圖形的面積可用3個相同扇形面積之和減

去中間2個等邊三角形面積來計算.

【詳解】由題意得，勒洛三角形的面積為：三個圓心角和半徑均分別為3和1的扇形

面積之和減去兩個邊長為1的等邊三角形的面積，

217112C112.n兀一G

3x—x—xr-2x—xlxsin—=---------

即23232.

兀-石

故2

三、解答題

17.已知向量，=（'〃/），"=（「2）,?=（2,3）

⑴若@+5與垂直，求實數(shù)加的值；

（2）若,一日與萬共線，求實數(shù)機的值.

1

m=一

（1）2

（2）m=3

【分析】（1）根據(jù)向量垂直的坐標運算直接求解即可；

（2）根據(jù)向量共線的坐標運算直接求解即可.

【詳解】（產(chǎn)+B=（iT），a+B空垂直，.@%=2儂+1）-3=0,解得

1

m=一

2

⑵丁G—B萬與I共線，??3（加-1）=6,解得,m=3

/'（x）=\/2sin|2x+—|

18.已知函數(shù)‘I12人

（1）求函數(shù)/（X）的單調(diào)遞增區(qū)間；

兀5兀

⑵當8J時，求函數(shù)/（X）的值域.

.7兀75兀

ta------+—(*)

2424

(1)

⑵L

【分析】（1）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案;

（2）利用整體思想結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.

_7T一，7T兀_,兀71

2x4--G2hr——，2E+一(左㈤

【詳解】（1）解：令122222

xe也-4,而+空(kwZ)

v7

得2424

,7兀,5兀

KTI--------,KTlH-----(左⑶

??.）（X）的單調(diào)遞增區(qū)間為2424

兀5兀_71兀4兀

xe-,—2x4-—e—,—

(2)解：當1_88」時，12133」，

sin(2x+-^-]e-^-,1

,I12j2

??J-1，

兀5兀16

X€----/、>72

.?.當18'8」時，函數(shù)/(x)的值域為L2

cos+sin(兀-9)

2cos(與一6)-sin(]+

19.（1）若角e的終邊上有一點P（L2）,求值:

ae[0,->1cosfa+—1=—sinfa-—'l

⑵已知I2),l⑵13,求I4)的值.

_312-5百

⑴5.（2）26.

【分析】（1）利用誘導公式和三角函數(shù)定義即可化簡并求值：

sinf?+—sin[a-/]=sin[+=]一,

（2）根據(jù)已知條件求出I12人根據(jù)14；L<12J3」即可求解.

【詳解】（1）因為角?的終邊上有一點0°'2）,所以tan0=2,

cos(~^)+sin(K-cos?+sin。1+tan。1+23

(3K(兀方一2sin6-cos。-2tan^-l-2x2-15

2cos-----0N-sm—+，

所以㈠J12)

1215G12-573

=--X-----X---=--------

13213226

20.已知向/=("*=(一2,0)

⑴求的坐標以及”否與a之間的夾角;

⑵當"Lif2」時，求|\。a-t/b\的取值范圍.

⑴力=G6),?

⑵［后網(wǎng)

【分析】（1）根據(jù)向量的坐標運算即可求解"-'=3'8），根據(jù)模長和數(shù)量積即可求

解夾角，（2）根據(jù)模長公式求模長，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】⑴（一2，。）,

力=">(-2,0)=0,可

設(shè)力與￡之間的夾角為氏?邛+⑻=2町邛+⑻=2

_3xl+Nx百__6__皂

cos6=

|a-i|-|a|-273x2一4百一2

兀

...。€［。，兀］,...向量與a的夾角為％

⑵因為W=2，W=2/范=以（-2）+0=-2

=a~-2ta-b+t2b"=4尸+4f+4=4(/+；)+3

Zfc_】，一弓g1/一-'十弓十°一不二;

當L2」時，記I2）單調(diào)遞減，當L22」時,g⑺單調(diào)遞增,

故當‘--5,g（‘）取最小值為3,當‘一5時，g（'）取最大值為7,

「111-2_

故當q‘5」時，…I心7］,』“叫的取值范圍是W1

/(x)=sin2x+V3sinxcosx+cos2x——

21.已知函數(shù)2

⑴求/（X）的最小正周期:

(2)填寫下面表格，并用“五點法”畫出/G)在一個周期內(nèi)的圖像.

⑴兀

(2)填表見解析；作圖見解析

【分析】(1)根據(jù)二倍角與輔助角公式化簡函數(shù)即可求解:

(2)根據(jù)五點法定義列表作圖即可.

f(x)=sin2x+A/3sinxcosx+coslx--

【詳解】⑴2

V3._1_.吟

=——sin2x+—cos2x=sin2x+—

22I6

.??函數(shù)”x)的最小正周期八萬

(2)由題意列表如下，

71715兀2TC1In

X

6nT~V2

C兀713兀

2,XH—0712兀

62T

sin2x+—\

I6j

010-I0

作圖像如下:

22.某游樂場的摩天輪示意圖如圖.已知該摩天輪的半徑為30米，輪上最低點與地面

的距離為2米，沿逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)一周所需時間為7=24分鐘.在圓周上

均勻分布12個座艙，標號分別為1?12（可視為點），在旋轉(zhuǎn)過程中，座艙與地面的

距離h與時間t的函數(shù)關(guān)系基本符合正弦函數(shù)模型，現(xiàn)從圖示位置，即1號座艙位于

圓周最右端時開始計時，旋轉(zhuǎn)時間為t分鐘.

⑴求1號座艙與地