電磁場(chǎng)電磁波教案

電磁場(chǎng)電磁波教案第一頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日1標(biāo)量（1）標(biāo)量：只有大小沒(méi)有方向的物理量。用斜體字母表示，如A。

（2）恒力作功W=F·S力F和位移S都是矢量，而功W是標(biāo)量，F(xiàn)和S進(jìn)行了一次點(diǎn)乘。（3）標(biāo)量還可能是復(fù)數(shù)，如交流電路中的復(fù)數(shù)電壓U，復(fù)數(shù)電流I等，人們把相位信息巧妙的存放在復(fù)數(shù)的幅角上，公式推導(dǎo)和計(jì)算都很方便。a一部分標(biāo)量是算數(shù)量：如質(zhì)量m、體積v、直流電阻R均大于等于0。b另一部分標(biāo)量是代數(shù)量：電量Q、靜電位φ

、磁通量Ψ等可正可負(fù)；電量Q正負(fù)可描述帶正電還是帶負(fù)電；磁通量Ψ的正負(fù)可描述磁力線的穿進(jìn)和穿出；忽略力F的方向?qū)傩院?，從它的正?fù)依然可甄別是吸力還是斥力；規(guī)定了參考方向以后，電流強(qiáng)度I的正負(fù)可描述電流的瞬時(shí)方向等等。在研究的問(wèn)題中，如果只存在兩種對(duì)立的廣義方向，則使用標(biāo)量進(jìn)行描述和處理是合理的。1-1標(biāo)量與矢量2023/2/152第二頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日2矢量：既有大小又有方向且滿足平行四邊形合成法則的物理量。例：物體的位移s，速度v，加速度a，角速度，力F，電場(chǎng)強(qiáng)度E等。3標(biāo)量場(chǎng)與矢量場(chǎng)場(chǎng)是物質(zhì)的存在形態(tài)，在空間同一點(diǎn)上，允許同時(shí)存在多種場(chǎng)，或者一種場(chǎng)的多種模式，這與實(shí)物粒子的不可入性和排他性有天壤之別。標(biāo)量場(chǎng)：標(biāo)量的空間分布構(gòu)成標(biāo)量場(chǎng)。矢量場(chǎng)：矢量的空間分布構(gòu)成矢量場(chǎng)?；蛘哒f(shuō)：如果在空間區(qū)域Ω上，每一點(diǎn)都存在一確定的物理量A，則場(chǎng)域上存在由場(chǎng)量A構(gòu)成的場(chǎng)，如果A是標(biāo)量，我們就說(shuō)Ω上存在一標(biāo)量場(chǎng)；如果A是矢量，則說(shuō)明場(chǎng)域Ω上存在一矢量場(chǎng)。用加粗的斜體字母表示，如A。手寫(xiě)體為斜體字母加箭頭，如。2023/2/153第三頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日4按時(shí)空變化規(guī)律的幾種典型場(chǎng)（2）如果A=A(t)，即場(chǎng)量A僅隨時(shí)間t變化，而在空間上呈現(xiàn)均勻分布，這種場(chǎng)被稱為均勻場(chǎng)。5常矢量：若矢量的大小及方向均與空間坐標(biāo)無(wú)關(guān)，這種矢量稱為常矢量。否則，稱為變矢量。（1）如果A=A(x,y,z)，即場(chǎng)量A不隨時(shí)間t變化，人們把這種場(chǎng)稱為靜態(tài)場(chǎng)或恒定場(chǎng)。

例如，房間的溫度場(chǎng)T(x,y,z)一般是均勻場(chǎng)，因?yàn)楸M管在一晝夜中溫度是變化的，但同一時(shí)刻t房間內(nèi)任意兩點(diǎn)間的溫差為0；換言之，不同點(diǎn)上的溫度變化是同步的，在均勻情況下，觀測(cè)不到波動(dòng)現(xiàn)象，只能觀測(cè)到整個(gè)場(chǎng)域在作同步的振動(dòng)。（3）均勻平面波（4）時(shí)變場(chǎng)例如：地球內(nèi)部密度分布，點(diǎn)電荷的靜電位φ和電場(chǎng)強(qiáng)度E。2023/2/154第四頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日1-2矢量的代數(shù)運(yùn)算2.加法：結(jié)合律：

交換率：3.矢量與標(biāo)量相乘：與大小方向均相同：1.2023/2/155第五頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日1-3矢量的標(biāo)積2.矢量的模：矢量A的大小定義為A的模，以或A表示。3.單位矢量：模為1的矢量。則：任一矢量等于該矢量的模與其單位矢量的乘積。1.兩個(gè)矢量的標(biāo)積又稱為點(diǎn)積或內(nèi)積，以點(diǎn)號(hào)“”表示。若矢量A的坐標(biāo)分量為，矢量B的坐標(biāo)分量為，兩個(gè)矢量的標(biāo)積是一個(gè)標(biāo)量，且滿足交換律，即：則矢量A與矢量B的標(biāo)積的代數(shù)定義為：則定義：為矢量A的單位矢量，即的模為1，方向與A相同。2023/2/156第六頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日則矢量A為坐標(biāo)軸上投影的合成矢量，即

或者其中，為與軸的夾角稱為A矢量的方向余弦。分別表示x軸、y軸、z軸方向上的單位矢量，4.A的方向余弦：若，，則矢量A在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影分別為，2023/2/157第七頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日5.矢量標(biāo)積的幾何意義：由

可得：，，令與x軸夾角為，則，設(shè)是矢量B在矢量A方向上的投影大小標(biāo)積A·B等于矢量A的模與矢量B在矢量A的方向上的投影大小的乘積，或者說(shuō)等于矢量B的模與矢量A在矢量B的方向上的投影大小的乘積。是矢量A在矢量B方向上的投影大小

顯然：2023/2/158xyzAOBθ第八頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日兩個(gè)矢量的矢積仍然是一個(gè)矢量

注意：矢量的矢積運(yùn)算不滿足交換律1.矢量的矢積又稱為叉積或外積，以叉號(hào)“×”表示。在直角坐標(biāo)系中若矢量A和矢量B分別為則矢量A與矢量B矢積的代數(shù)定義可用行列式表示為1-4矢量的矢積2023/2/159第九頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日2.矢量矢積的幾何意義：，矢量，若矢量A與矢量B之間的設(shè)矢量夾角為θ，則有2023/2/1510xyzAOBθA×B

顯然：可見(jiàn)，矢量（A×B）的方向與矢量A及矢量B垂直，且由若矢量A旋轉(zhuǎn)到矢量B，并與矢量（A×B）構(gòu)成右旋關(guān)系，矢量（A×B）的大小為。第十頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日5.標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù):標(biāo)量場(chǎng)在某點(diǎn)的方向?qū)?shù)表示標(biāo)量場(chǎng)自該點(diǎn)沿某一方向上的變化率。

例如標(biāo)量場(chǎng)

在

P點(diǎn)沿

l方向上的方向?qū)?shù)定義為Pl2023/2/1511第十一頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日2023/2/1512梯度:標(biāo)量場(chǎng)在某點(diǎn)梯度的大小等于該點(diǎn)的最大方向?qū)?shù)，梯度的方

向?yàn)樵擖c(diǎn)具有最大方向?qū)?shù)的方向。可見(jiàn)，梯度是一個(gè)矢量。在直角坐標(biāo)系中，方向?qū)?shù)可寫(xiě)為若矢量l的方向余弦為

，則上式變?yōu)槿袅睿ǎ槭噶縂的三個(gè)坐標(biāo)分量，即而矢量l的單位矢量為數(shù)學(xué)關(guān)系推導(dǎo)：第十二頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日2023/2/1513那么，標(biāo)量場(chǎng)Φ沿矢量l方向上的方向?qū)?shù)可以寫(xiě)為矢量G稱為標(biāo)量Φ的梯度，以gradΦ表示，即

由此可見(jiàn)，標(biāo)量場(chǎng)Φ的梯度是一個(gè)矢量場(chǎng)。由式可見(jiàn)，當(dāng)?shù)姆较蚺c梯度方向一致時(shí)，方向?qū)?shù)取得最大值。因此，標(biāo)量場(chǎng)在某點(diǎn)梯度的大小等于該點(diǎn)的最大方向?qū)?shù)，梯度的方向?yàn)樵擖c(diǎn)具有最大方向?qū)?shù)的方向。第十三頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日在直角坐標(biāo)系中，標(biāo)量場(chǎng)

的梯度可表示為式中g(shù)rad

是英文字母

gradient的縮寫(xiě)。若引入算符，它在直角坐標(biāo)系中可表示為則梯度可表示為2023/2/1514第十四頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日梯度運(yùn)算規(guī)則:例1-4-1

已知標(biāo)量場(chǎng)，求（2,1,3）處方向?qū)?shù)的最大值。解：根據(jù)梯度的定義，求得該標(biāo)量場(chǎng)的梯度為：那么，在（2,1,3）處的梯度為，其模為因此，在（2,1,3）處方向?qū)?shù)的最大值為。第十五頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日例1-4-2

計(jì)算及。這里為空間點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，，如圖。點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為，表示對(duì)運(yùn)算，表示對(duì)運(yùn)算。xyzO解：令點(diǎn)的位置矢量為，點(diǎn)的位置矢量為，則再令則由題意第十六頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日則又同理則第十七頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日因此同理xyzO注意：上述運(yùn)算過(guò)程及結(jié)果在電磁場(chǎng)計(jì)算中經(jīng)常遇到，通常以表示產(chǎn)生電磁場(chǎng)的源坐標(biāo)，以表示場(chǎng)坐標(biāo)。圖中，表示源點(diǎn)，表示場(chǎng)點(diǎn)。當(dāng)計(jì)算某一分布源在空間某點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)時(shí)，為動(dòng)點(diǎn)，為定點(diǎn)；當(dāng)計(jì)算空間場(chǎng)量的分布特性或者空間某點(diǎn)各個(gè)場(chǎng)量之間的關(guān)系時(shí)，為動(dòng)點(diǎn)，為定點(diǎn)。第十八頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日通量定義：矢量

A

沿某一有向曲面

S的面積分稱為矢量

A通過(guò)該有向曲面

S的通量，以標(biāo)量

表示，即

6.矢量場(chǎng)的通量與散度通量的正、負(fù)、零：通量可為正、或?yàn)樨?fù)、或?yàn)榱?。?dāng)矢量穿出某個(gè)閉合面時(shí)，認(rèn)為該閉合面中存在產(chǎn)生該矢量場(chǎng)的源；當(dāng)矢量進(jìn)入這個(gè)閉合面時(shí)，認(rèn)為該閉合面中存在匯聚該矢量場(chǎng)的洞（或匯）。閉合的有向曲面的方向通常規(guī)定為閉合面的外法線方向。因此，當(dāng)閉合面中有源時(shí)，矢量通過(guò)該閉合面的通量一定為正；反之，當(dāng)閉合面中有洞時(shí)，矢量通過(guò)該閉合面的通量一定為負(fù)。所以，前述的源稱為正源，而洞稱為負(fù)源。

2023/2/1519第十九頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日電學(xué)實(shí)例：由物理得知，真空中的電場(chǎng)強(qiáng)度

E

通過(guò)任一閉合曲面的通量等于該閉合面包圍的自由電荷的電量

q與真空介電常數(shù)

0

之比，即，可見(jiàn)，當(dāng)閉合面中存在正電荷時(shí)，通量為正。當(dāng)閉合面中存在負(fù)電荷時(shí)，通量為負(fù)。在電荷不存在的無(wú)源區(qū)中，穿過(guò)任一閉合面的通量為零。這一電學(xué)實(shí)例充分地顯示出閉合面中正源、負(fù)源及無(wú)源的通量特性。但是，通量?jī)H能表示閉合面中源的總量，它不能顯示源的分布特性。為此需要研究矢量場(chǎng)的散度。

2023/2/1520第二十頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日散度：當(dāng)閉合面

S

向某點(diǎn)無(wú)限收縮時(shí)，矢量

A通過(guò)該閉合面S的通量與該閉合面包圍的體積之比的極限稱為矢量場(chǎng)

A

在該點(diǎn)的散度，以

divA表示，即式中div

是英文字母

divergence的縮寫(xiě)，

V為閉合面

S包圍的體積。上式表明，散度是一個(gè)標(biāo)量，它可理解為通過(guò)包圍單位體積閉合面的通量，可以簡(jiǎn)單的記為通量體密度。直角坐標(biāo)系中散度可表示為2023/2/1521第二十一頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日因此散度可用算符

表示為高斯散度定理或者寫(xiě)為

從數(shù)學(xué)角度可以認(rèn)為高斯定理建立了面積分和體積分的關(guān)系。從物理角度可以理解為高斯定理建立了區(qū)域

V中的場(chǎng)和包圍區(qū)域

V

的閉合面

S上的場(chǎng)之間的關(guān)系。因此，如果已知區(qū)域

V中的場(chǎng)，根據(jù)高斯定理即可求出邊界

S上的場(chǎng)，反之亦然。2023/2/1522第二十二頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日散度運(yùn)算規(guī)則:拉普拉斯算子:直角坐標(biāo)系中因此第二十三頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日式中稱為拉普拉斯算子。直角坐標(biāo)系表達(dá)式：例1-5-1

求空間任一點(diǎn)的位置矢量的散度。解：已知因此第二十四頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日環(huán)量：矢量場(chǎng)

A沿有向閉合曲線

l的線積分稱為矢量場(chǎng)

A

沿該曲線的環(huán)量，以

表示，即7.矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度可見(jiàn)，若在閉合有向曲線

l上，矢量場(chǎng)

A的方向處處與線元

dl

的方向保持一致，則環(huán)量

>0；若處處相反，則

<0

。可見(jiàn)，環(huán)量可以用來(lái)描述矢量場(chǎng)的旋渦特性。2023/2/1525第二十五頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日

由物理學(xué)得知，真空中磁感應(yīng)強(qiáng)度

B沿任一閉合有向曲線

l的環(huán)量等于該閉合曲線包圍的傳導(dǎo)電流強(qiáng)度

I

與真空磁導(dǎo)率

0

的乘積。即

式中電流

I的正方向與

dl的方向構(gòu)成

右旋關(guān)系。由此可見(jiàn)，環(huán)量可以表示產(chǎn)生具有旋渦特性的源的強(qiáng)度，但是環(huán)量代表的是閉合曲線包圍的總的源強(qiáng)度，它不能顯示源的分布特性。為此，需要研究矢量場(chǎng)的旋度。

2023/2/1526第二十六頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日旋度：旋度是一個(gè)矢量。若以符號(hào)

rotA

表示矢量

A

的旋度，則其方向是使矢量

A

具有最大環(huán)量強(qiáng)度的方向，其大小等于對(duì)該矢量方向的最大環(huán)量強(qiáng)度，即式中

rot

是英文字母

rotation的縮寫(xiě)，en

為最大環(huán)量強(qiáng)度的方向上的單位矢量，S為閉合曲線

l

包圍的面積。上式表明，矢量場(chǎng)的旋度大小可以認(rèn)為是包圍單位面積的閉合曲線上的最大環(huán)量，或簡(jiǎn)單記為最大環(huán)量面密度。

2023/2/1527第二十七頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日直角坐標(biāo)系中旋度可用矩陣表示為

或用算符

表示為

應(yīng)該注意，無(wú)論梯度、散度或旋度都是微分運(yùn)算，它們表示場(chǎng)在某點(diǎn)附近的變化特性，場(chǎng)中各點(diǎn)的梯度、散度或旋度可能不同。因此，梯度、散度及旋度描述的是場(chǎng)的點(diǎn)特性或稱為微分特性。函數(shù)的連續(xù)性是可微的必要條件。因此在場(chǎng)量發(fā)生不連續(xù)處，也就不存在前面定義的梯度、散度或旋度。

2023/2/1528第二十八頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日斯托克斯旋度定理

同高斯定理類似，從數(shù)學(xué)角度可以認(rèn)為斯托克斯定理建立了面積分和線積分的關(guān)系。從物理角度可以理解為斯托克斯定理建立了區(qū)域

S中的場(chǎng)和包圍區(qū)域

S

的閉合曲線

l上的場(chǎng)之間的關(guān)系。因此，如果已知區(qū)域

S中的場(chǎng)，根據(jù)斯托克斯定理即可求出邊界

l上的場(chǎng)，反之亦然。或者寫(xiě)為2023/2/1529第二十九頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日旋度運(yùn)算規(guī)則:例1-6-1

證明，式中為常矢量，為位置矢量。證：令，而，則那么第三十頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日

散度處處為零的矢量場(chǎng)稱為無(wú)散場(chǎng)，旋度處處為零的矢量場(chǎng)稱為無(wú)旋場(chǎng)。

8.無(wú)散場(chǎng)和無(wú)旋場(chǎng)兩個(gè)重要公式：

左式表明，任一矢量場(chǎng)A的旋度的散度一定等于零

。因此，任一無(wú)散場(chǎng)可以表示為另一矢量場(chǎng)的旋度，或者說(shuō)，任何旋度場(chǎng)一定是無(wú)散場(chǎng)。2023/2/1531

右式表明，任一標(biāo)量場(chǎng)

的梯度的旋度一定等于零。因此，任一無(wú)旋場(chǎng)一定可以表示為一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)的梯度，或者說(shuō)，任何梯度場(chǎng)一定是無(wú)旋場(chǎng)。

第三十一頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日兩個(gè)重要公式：第一式是判別場(chǎng)量是否是旋度場(chǎng)的準(zhǔn)則。若，則矢量可以寫(xiě)成的形式。例：矢量能否表示成某矢量場(chǎng)的旋度？說(shuō)明理由。說(shuō)明：矢量是無(wú)散場(chǎng)。因?yàn)槿我粺o(wú)散場(chǎng)可以表示成另一矢量場(chǎng)的旋度，因此，可以表示成某矢量場(chǎng)的旋度。解：對(duì)矢量求散度。第三十二頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日兩個(gè)重要公式：第二式是判別場(chǎng)量是否是梯度場(chǎng)的準(zhǔn)則。若，則矢量可以寫(xiě)成的形式。例：矢量是否為梯度場(chǎng)？說(shuō)明理由。解：對(duì)矢量求旋度。說(shuō)明：矢量是無(wú)旋場(chǎng)。因?yàn)槿魏翁荻葓?chǎng)一定是無(wú)旋場(chǎng)，因此，是梯度場(chǎng)。第三十三頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日9.格林定理

設(shè)任意兩個(gè)標(biāo)量場(chǎng)

及，若在區(qū)域V中具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，如下圖示。

SV,

那么，可以證明該兩個(gè)標(biāo)量場(chǎng)

及

滿足下列等式根據(jù)方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系，上式又可寫(xiě)成式中S

為包圍V的閉合曲面，為標(biāo)量場(chǎng)

在S表面的外法線en

方向上的偏導(dǎo)數(shù)。上兩式稱為標(biāo)量第一格林定理。2023/2/1534第三十四頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日基于上式還可獲得下列兩式：上兩式稱為標(biāo)量第二格林定理。

設(shè)任意兩個(gè)矢量場(chǎng)P

與Q

，若在區(qū)域V中具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，那么，可以證明該矢量場(chǎng)P及Q滿足下列等式式中S

為包圍V

的閉合曲面，面元dS

的方向?yàn)镾

的外法線方向，上式稱為矢量第一格林定理。

2023/2/1535第三十五頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日基于上式還可獲得下式：此式稱為矢量第二格林定理。

無(wú)論何種格林定理，都是說(shuō)明區(qū)域

V中的場(chǎng)與邊界

S上的場(chǎng)之間的關(guān)系。因此，利用格林定理可以將區(qū)域中場(chǎng)的求解問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)檫吔缟蠄?chǎng)的求解問(wèn)題。

此外，格林定理說(shuō)明了兩種標(biāo)量場(chǎng)或矢量場(chǎng)之間應(yīng)該滿足的關(guān)系。因此，如果已知其中一種場(chǎng)的分布特性，即可利用格林定理求解另一種場(chǎng)的分布特性。格林定理廣泛地用于電磁理論。2023/2/1536第三十六頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日10.矢量場(chǎng)的惟一性定理

位于某一區(qū)域中的矢量場(chǎng)，當(dāng)其散度、旋度以及邊界上場(chǎng)量的切向分量或法向分量給定后，則該區(qū)域中的矢量場(chǎng)被惟一地確定。

已知散度和旋度代表產(chǎn)生矢量場(chǎng)的源，可見(jiàn)惟一性定理表明，矢量場(chǎng)被其源及邊界條件共同決定的。2023/2/1537第三十七頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日

若矢量場(chǎng)

F(r)

在無(wú)限區(qū)域中處處是單值的，且其導(dǎo)數(shù)連續(xù)有界，源分布在有限區(qū)域V

中，則當(dāng)矢量場(chǎng)的散度及旋度給定后，該矢量場(chǎng)

F(r)可以表示為

11.亥姆霍茲定理式中2023/2/1538第三十八頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日2023/2/1539（1）無(wú)限空間中的矢量場(chǎng)被其散度及旋度惟一的確定，而且它給出了場(chǎng)與源之間的定量關(guān)系。（2）已知，梯度場(chǎng)是無(wú)旋場(chǎng)，旋度場(chǎng)是無(wú)散場(chǎng)。所以，任一矢量場(chǎng)均可表示為一個(gè)無(wú)旋場(chǎng)與一個(gè)無(wú)散場(chǎng)之和。（3）如果矢量場(chǎng)的散度及旋度已知，即可求出該矢量場(chǎng)。因此，矢量場(chǎng)的散度及旋度特性是研究矢量場(chǎng)的首要問(wèn)題。式中定理表明：亥姆霍茲定理：第三十九頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日12.正交曲面坐標(biāo)系

已知矢量A在圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中可分別表示為式中

a,b,c

均為常數(shù)，A

是常矢量嗎？圓柱(r,,z)yzxP00=

0r=r0z=z

0Oxzy=

0

0

0球(r,,

)r=r