牛頓定律的初值敏感性

牛頓定律的初值敏感性1第一頁，共十三頁，2022年，8月28日*牛頓定律的初值敏感性混沌（chaos）對(duì)牛頓定律確定性的絕對(duì)化理解，

1961年美國氣象學(xué)家洛侖茲在研究大氣對(duì)流對(duì)氣候的影響時(shí)，用牛頓力學(xué)建立了一組非線性微分方程：（,

,

b為參數(shù)）在上世紀(jì)六十年代受到了挑戰(zhàn)。2第二頁，共十三頁，2022年，8月28日初始值為0.506

與0.506127的兩條氣象曲線：結(jié)論：長(zhǎng)期的天氣預(yù)報(bào)是不可能準(zhǔn)確的。初值敏感性t氣候?qū)Τ跏贾档拿舾行袁F(xiàn)象稱為“蝴蝶效應(yīng)”。3第三頁，共十三頁，2022年，8月28日運(yùn)動(dòng)對(duì)初始值的依賴性可以分為兩類。第一類是運(yùn)動(dòng)情況一般地依賴初值：如單擺的自由小擺動(dòng)（線性微分方程）。第二類是運(yùn)動(dòng)情況敏感地依賴初值：如氣候的變化問題（非線性微分方程）。一般來說，服從非線性規(guī)律的非線性系統(tǒng)，對(duì)初始值表現(xiàn)出敏感性。介紹一個(gè)典型的非線性迭代方程的例子：4第四頁，共十三頁，2022年，8月28日04，0x1。若

=4，對(duì)三個(gè)初值有：5第五頁，共十三頁，2022年，8月28日混沌是在決定性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中出現(xiàn)的一種貌似隨機(jī)的運(yùn)動(dòng)。對(duì)初值敏感引起的隨機(jī)性，稱為內(nèi)在隨機(jī)性，在上面典型的非線性迭代方程中，還發(fā)現(xiàn)有“倍周期分叉”現(xiàn)象：▲當(dāng)

1

3時(shí),迭代的歸宿是一個(gè)確定的數(shù)。例如：=2.4時(shí)，xn+1=xn=7/12(n)，周期為1?！?dāng)

≥3時(shí),迭代出現(xiàn)多個(gè)確定的數(shù)值。而結(jié)果的飄忽不定，稱為混沌現(xiàn)象。（=3時(shí)，曲線開始分叉）6第六頁，共十三頁，2022年，8月28日例如：=3.2時(shí)，一個(gè)值對(duì)應(yīng)的有兩個(gè)值，

xn+2=xn

,0.7955→0.5130，

周期為2。

=3.5時(shí)，與一個(gè)值對(duì)應(yīng)的有4個(gè)值，

xn+4=xn

,

0.3828→0.8269

↑↓

周期為4。

0.8750←0.5009即其歸宿輪流取兩個(gè)值：即其歸宿輪流取四個(gè)值：即出現(xiàn)混沌現(xiàn)象，周期為。▲當(dāng)3.570≤≤4時(shí)，最后歸宿可取無窮多值，7第七頁，共十三頁，2022年，8月28日通過倍周期分叉走向混沌的道路，這是目前已知的一種典型方式，演示混沌擺(KL036)如下圖所示：8第八頁，共十三頁，2022年，8月28日計(jì)算出M3的軌道如下圖：對(duì)天體運(yùn)動(dòng)的力學(xué)，三體和三體以上的問題只有數(shù)值解。如果兩個(gè)質(zhì)量相等的大天體M1、M2，和一個(gè)質(zhì)量小的天體M3組成系統(tǒng)。在一定的初始條件下，小天體長(zhǎng)期軌道對(duì)初值敏感，不可預(yù)測(cè)。9第九頁，共十三頁，2022年，8月28日

這種軌道不可長(zhǎng)期預(yù)測(cè)的現(xiàn)象，從而變成二體問題了。就是小行星混沌運(yùn)動(dòng)的一種表現(xiàn)。稱為天體運(yùn)動(dòng)中的混沌現(xiàn)象。對(duì)太陽系中的行星，并未觀察到這種無序性，這是因?yàn)楦餍行嵌伎煽醋魇菃为?dú)在太陽引力作用下運(yùn)動(dòng)，火星和土星之間有許多小行星。它們的軌道就有混沌現(xiàn)象，有的會(huì)進(jìn)入地球大氣層，成為流星。19921994年，SL9慧星撞上木星，很可能10第十頁，共十三頁，2022年，8月28日混沌行為是長(zhǎng)期的現(xiàn)象，牛頓力學(xué)內(nèi)在隨機(jī)性的發(fā)現(xiàn)，對(duì)初值敏感性的認(rèn)識(shí)，民謠早有之：“缺掉一枚釘，壞了一支蹄鐵；缺少一支蹄鐵，跌翻了一匹馬；翻了一匹馬，死了一個(gè)騎馬的勇士；死了這位騎馬勇士，失去這場(chǎng)戰(zhàn)爭(zhēng)的勝利；失去了這個(gè)勝利，亡掉了這一帝國!”—喬治·赫伯特大行星在幾十億年的運(yùn)動(dòng)中，也有可能出現(xiàn)混沌現(xiàn)象。而是對(duì)牛頓力學(xué)認(rèn)識(shí)的深化。不是對(duì)牛頓力學(xué)的否定，11第十一頁，共十三頁，2022年，8月28日這正像無理數(shù)遠(yuǎn)多于有理數(shù)一樣，對(duì)混沌現(xiàn)象的研究是物理學(xué)的前沿和熱點(diǎn)。用《混沌學(xué)傳奇》代序中的一段話做結(jié)束語：世界在本質(zhì)上是非線性的。世界上的非線性系統(tǒng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于線性系統(tǒng)，因此可以說，“混沌學(xué)之出現(xiàn)，是現(xiàn)代科學(xué)和現(xiàn)代技術(shù)，特別是和計(jì)算機(jī)技術(shù)相結(jié)合的產(chǎn)物。天文地理，數(shù)理化生，莫不混沌，大至宇宙，小至基本粒子，無不由此理論支配，威力之大，影響之深，應(yīng)用之廣，莫可言狀?！?2第十二頁，共十三頁，2022年，8月28日（趙凱華，羅蔚茵）參考文獻(xiàn)▲“混沌行為與牛頓力學(xué)的內(nèi)在隨機(jī)性”（杜嬋英，漆安慎）《工科物理》1991