小學(xué)數(shù)學(xué)解題方法、思路歸納11：找規(guī)律、集合、一筆畫等益智問題

第十一講找規(guī)律、集合、一筆畫等益智問題問題48：找規(guī)律找規(guī)律是小學(xué)數(shù)學(xué)解題中一種重要的思考方法。一些問題的解答需要通過觀察，發(fā)現(xiàn)問題的某種特征和變化規(guī)律性，有助于尋求解題途徑和方法。1.找數(shù)的排列規(guī)律對(duì)于排列著的一些數(shù)，只要認(rèn)真觀察數(shù)的特征，就能夠找到它們的排列規(guī)律。有了數(shù)的排列規(guī)律就能夠進(jìn)行解題。例1.填出下面每數(shù)組后面的三個(gè)數(shù)。（1）1、3、（1）1、3、4、7、11、18、（）、（）、（）。12 3（2）L2、3、3 5 75 、11-、（）、（）、（）13分析與解：（1）經(jīng)過觀察可以看出，這一組數(shù)的排列規(guī)律是：從第三個(gè)數(shù)開始，每一個(gè)數(shù)都是它前面兩個(gè)數(shù)的和。由此，后面的三個(gè)數(shù)分別是29、47、76。（2）這一列數(shù)的排列規(guī)律是第k個(gè)分?jǐn)?shù)的分母是第k個(gè)奇數(shù)，分子是從1 . 一一 .一7 8 9開始的第k個(gè)自然數(shù)，所以后面三個(gè)分?jǐn)?shù)依次是：-、-、-。15 17 19例2.把從1開始的自然數(shù)按下面的方式排列在A、B、C、D、E的下面，100位于哪一個(gè)字母的下面？2007呢？ABCDE12348765910111216151413分析與解：從排列的形式看出，把從1開始的自然數(shù)每8個(gè)一組排列，每組中第1個(gè)至第4個(gè)數(shù)分別排在字母A、B、C、D的下面；第5至第8個(gè)數(shù)分別80排在E、D、C、B的下面。由于100:8=12...4,那么100是第13組中的第4個(gè)數(shù)，100排在字母D的下面。由于2007:8=250^7,那么2007是第251組中的第7個(gè)數(shù)，2007排在字母C的下面。例3.兩個(gè)多位數(shù)1111111111與9999999999的乘積中有多少個(gè)奇數(shù)字？（華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題）分析與解：兩個(gè)多位數(shù)都是十位數(shù)，第一個(gè)因數(shù)各數(shù)位上的數(shù)都是1,第二個(gè)因數(shù)各位數(shù)上的數(shù)都是9。由于因數(shù)較大，先算出乘積再數(shù)出奇數(shù)的個(gè)數(shù)比較麻煩。我們從這樣的簡(jiǎn)單的兩個(gè)數(shù)的計(jì)算開始考察，找出奇數(shù)的規(guī)律。一位數(shù)的乘積：1x9=9, 奇數(shù)有1個(gè)；兩位數(shù)的乘積：11x99=1089, 奇數(shù)有2個(gè)；三位數(shù)的乘積：111x999=110889,奇數(shù)有3個(gè)；四位數(shù)的乘積：1111x9999=11108889,奇數(shù)有4個(gè)；計(jì)算到這里，我們可以看出乘積中奇數(shù)的個(gè)數(shù)有規(guī)律：乘積中奇數(shù)的個(gè)數(shù)與因數(shù)中1的個(gè)數(shù)或9的個(gè)數(shù)相同。我們?cè)龠M(jìn)行試算：五位數(shù)的乘積：11111x99999=11108889,奇數(shù)確實(shí)也有5個(gè)。由此可以推斷，兩個(gè)多位數(shù)1111111111與9999999999的乘積中有10個(gè)奇數(shù)。2.找圖形的規(guī)律一些圖形的排列是有規(guī)律的。通過觀察圖形，我們可以發(fā)現(xiàn)圖形的一些特點(diǎn)和規(guī)律。例4觀察下面圖形的變化規(guī)律，在“？”處應(yīng)該畫出怎樣的圖形？81

分析與解：排在第一行、第二行中的圖形都有這樣的規(guī)律：前兩個(gè)圖形疊合成第三個(gè)圖形，并且保留重疊部分的線段。根據(jù)這個(gè)規(guī)律，從第三行前兩個(gè)圖形可以知道，在“？”處應(yīng)該畫出下面的圖形。例5觀察下面的圖形，哪一個(gè)與眾不同?這個(gè)問題觀察角度不同，有兩個(gè)不同的答案。分析與解:第一種角度，從“正多邊形”的角度：共同點(diǎn)一一所有的圖形都由一個(gè)大圖形包含一個(gè)小圖形；小圖形都有陰影。如果我們把圓看作一種特殊的“正多邊形邊形”，那么（1）、（2）、（3）、（5）都是正多邊形，但（4）不是正多邊形，所以，圖形（4）與眾不同。第二種角度：從圖形的“相似性”角度:共同點(diǎn)與①相同。（1）（2）（4），（5）都由兩種不同的圖形構(gòu)成，但（3）共同點(diǎn)82

的兩個(gè)圖形都是圓，所以圖形（3）與眾不同。例6在同一平面內(nèi)有20條直線，它們最多能把平面分成多少部分？分析與解：由于直線的條數(shù)較多，全部畫出這些直線不便于觀察。因此我們從最簡(jiǎn)單的情形開始逐步觀察并歸納處相應(yīng)的規(guī)律。顯然當(dāng)這些直線盡可能相交時(shí)，能把平面分的更多。當(dāng)平面內(nèi)有1條直線時(shí)，最多把平面分成2個(gè)部分，如下面左邊的圖形所示;當(dāng)平面內(nèi)有2條直線時(shí)，最多把平面分成4個(gè)部分，如下面右邊的圖形所示;當(dāng)平面內(nèi)有3條直線時(shí)，最多把平面分成7個(gè)部分，如下面左邊的圖形所示;當(dāng)平面內(nèi)有2條直線時(shí)，最多把平面分成11個(gè)部分，如下面右邊的圖形所示；類似地，我們可以繼續(xù)考察。如果把上面的情形進(jìn)行如下的整理和研究，就可以找到這樣的規(guī)律：1條直線，最多把平面分成1+1=2（部分）；2條直線，最多把平面分成1+1+2=4（部分）；3條直線，最多把平面分成1+1+2+3=7（部分）834條直線，最多把平面分成1+1+2+3+4=11(部分)5條直線，最多把平面分成1+1+2+3+4+5=16(部分)可以概括出規(guī)律：平面內(nèi)的n條直線，最多可以把平面分成：1+1+2+3+4+……+n=1+(1+2+3+4+……+n)=1+險(xiǎn)土?(部分)2當(dāng)n=20時(shí)，用上面的公式計(jì)算得211個(gè)部分。其實(shí)我們還可以從另一個(gè)角度思考：1條直線，最多把平面分成2部分；2條直線，最多把平面分成4部分。它之所以比1條直線時(shí)多2個(gè)部分，是因?yàn)楹竺嬖黾拥囊粭l直線被前面的直線分成了2段，每一段都把它所在的第一條直線分好的部分再一分為二，所以它比一條直線時(shí)就多了2個(gè)部分；3條直線，最多把平面分成7部分。它之所以比2條直線時(shí)多3個(gè)部分，是因?yàn)楹竺嬖黾拥囊粭l直線被前面的2條直線分成了3段，每一段都把它所在的前面的2條直線分好的部分再一分為二，所以它比2條直線時(shí)就多了3個(gè)部分；我們用f(n)表示n條直線最多把平面分成的部分?jǐn)?shù)，那么增加一條直線后，它被前面的n條直線分成n+1段，每一段都把它所在的前面的n條直線分好的部分再一分為二，這樣它比n條直線時(shí)就多了n+1個(gè)部分，即n+1條直線最多把平面分成的部分?jǐn)?shù)比n條直線最多把平面分成的部分?jǐn)?shù)f(n)多了n+1個(gè)部分。即f(n+1)=f(n)+n+1利用f(1)=2逐步往里代入計(jì)算，就可以算出f(20)=211。答：在同一平面內(nèi)的20條直線，最多能把平面分成211個(gè)部分。843.找計(jì)算的規(guī)律在小學(xué)數(shù)學(xué)解題中尋找規(guī)律進(jìn)行計(jì)算，經(jīng)?？梢允褂?jì)算簡(jiǎn)便，也是培養(yǎng)良好思維品質(zhì)的重要方法。例7分?jǐn)?shù)3化成純循環(huán)小數(shù)后，小數(shù)點(diǎn)后第1000位上的數(shù)字是幾？前10007位小數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和是多少？分析與解：把3化成純循環(huán)小數(shù)：30.428571，循環(huán)節(jié)為428571，有67 7個(gè)數(shù)字。由于1000-6=166……4,那么這個(gè)純循環(huán)小數(shù)前1000位所包含的循環(huán)節(jié)有166個(gè)，于是最后的四個(gè)數(shù)字依次是4、2、8、5,即小數(shù)點(diǎn)后第1000位上的數(shù)字是5。在每個(gè)循環(huán)節(jié)上奇數(shù)位上的數(shù)字和是4+8+7=19,因此這個(gè)純循環(huán)小數(shù)前1000位小數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和是：19X166+4+8=3166。答：小數(shù)點(diǎn)后第1000位上的數(shù)字是5。前1000位小數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和是3166。問題49：集合的元素個(gè)數(shù)問題我們?cè)诩臃ㄟ\(yùn)算的概念中，如果A集合的基數(shù)（元素個(gè)數(shù)）是a,B集合的基數(shù)（元素個(gè)數(shù)）是b,并且兩集合沒有相同的元素，即就是A集合與B集合的交集是空集，那么求A、B兩個(gè)集合并集的基數(shù)（元素個(gè)數(shù)），就是把兩集合的基數(shù)（元素個(gè)數(shù)）合并成一個(gè)數(shù)，用法計(jì)算：a+b。但是當(dāng)A集合與B集合的交集不是空集時(shí)，問題就要用其它的方法解決。例1.五年級(jí)一班學(xué)生去圖書館借閱課外書，每人都借了課外書。借語文課外書的有24人，借數(shù)學(xué)課外書的有26人，語文和數(shù)學(xué)課外書都借的有6人。全班有多少人？85分析：我們借助韋恩圖（或文氏圖）來思考，如下圖所示。A表示借語文課外書的人，有24人；B表示借數(shù)學(xué)課外書的人，有26人；C表示只借語文課外書的人；D表示只借數(shù)學(xué)課外書的人；E表示既借語文課外書又借數(shù)學(xué)課外書的人。求全班人數(shù)是多少人？就是求集合A、B的并集的元素的個(gè)數(shù)。從圖可以看出，求全班人數(shù)就是用借語文課外書的人數(shù)加借數(shù)學(xué)課外書的人數(shù)，再減去語文和數(shù)學(xué)課外書都借的人數(shù)（也就是圖中重疊部分表示的人數(shù)）。也可以用借語文課外書的人數(shù)（A集合的基數(shù)）加只借數(shù)學(xué)課外書的人數(shù)（D集合的基數(shù)）；還可以用借數(shù)學(xué)課外書的人數(shù)（B集合的基數(shù)）加只借語文課外書的人數(shù)（C集合的基數(shù)）。解：24+26—6=50—6=44（人）或24+（26—6）=44（人），或26+（24—6）=44（人）答：全班有44人.例2.學(xué)校體育隊(duì)有39人。按照運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目統(tǒng)計(jì)：參加游泳的同學(xué)有20人，參加滑冰的同學(xué)有16人，參加長(zhǎng)跑的同學(xué)有24人；游泳和滑冰都參加的有6,滑冰和長(zhǎng)跑都參加的有10人，長(zhǎng)跑和游泳都參加的有9人。三個(gè)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目都參加的同學(xué)有多少人？分析：借助韋恩圖，根據(jù)求三個(gè)集合元素個(gè)數(shù)的規(guī)律，可以求出三個(gè)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目都參加的同學(xué)有多少人。解：39+（6+10+9）-（20+16+24）=39+25-60=4（人）答：三個(gè)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目都參加的同學(xué)有4人。上面求集合元素個(gè)數(shù)問題的思路和解答方法，可以類似地遷移到求重疊面積86的問題。問題50：圖形的一筆畫與哥尼斯堡七橋問題對(duì)于一個(gè)平面圖形能不能一筆畫出來，也是小學(xué)數(shù)學(xué)解題中經(jīng)常遇到的問題。解答一筆畫問題的關(guān)鍵是要找出能夠進(jìn)行一筆畫圖形的特征和條件，再根據(jù)題目給出的圖形具體判斷是否可以一筆畫，以及怎樣畫出來。所謂“一筆畫問題”就是指能夠一筆畫成一個(gè)平面圖形，并且滿足以下要求：①下筆后不能再離開紙；②每一條線不能重復(fù)畫，只能畫一次；③畫的時(shí)候任意兩條線可以交叉通過。例1.試一試，下面的“田”字形、“串”字形和“品”字形圖形，能不能一筆畫出來？分析與解：按照一筆畫的畫法要求，經(jīng)過嘗試可以發(fā)現(xiàn)：“田”字形圖形總不能一筆畫?！按弊中蔚膱D形，從直線的一個(gè)端點(diǎn)開始畫起，如下圖所示，總可以用多種方法一筆畫出來。由于“品”字形的圖形的3個(gè)“口”字沒有連在一起，根本就不能一筆畫出。一筆畫問題的解答與著名的“哥尼斯堡七橋問題”有關(guān)。哥尼斯堡七橋問題：18世紀(jì)在哥尼斯堡城（今俄羅斯，加里寧格勒）的普萊格爾河上有7座橋，將河中的兩個(gè)島和河岸連結(jié)。城中的居民經(jīng)常沿河過橋散步，于是提出了一個(gè)問題：能否一次走遍7座橋，而每座橋只許通過一次，最后仍回到起始地點(diǎn)。這個(gè)問題就是著名的“哥尼斯堡七橋問題”。87“哥尼斯堡七橋問題”看起來似乎不難，所以，很多人都想試一試，尋找走法。但是，人們始終沒有能夠找到答案，最后都以失敗而告終。當(dāng)時(shí)，瑞士著名的數(shù)學(xué)家歐拉，從眾多人的失敗中想到，這種走法可能根本就不存在。隨后他用數(shù)學(xué)方法證實(shí)了自己的想法是正確的。并于1736年發(fā)表了一篇論文《哥尼斯堡的七座橋》。歐拉解決問題的方法是：把上面的問題用圖形表示出來，用A、C表示兩個(gè)小島，B、D表示兩個(gè)岸，七座橋看作7條線，如下圖所示。經(jīng)過這樣的抽象，于是“哥尼斯堡七橋問題”就等價(jià)于圖形的“一筆畫問題”了。下面我們繼續(xù)研究一筆畫問題，以此來理解數(shù)學(xué)家歐拉對(duì)哥尼斯堡七橋問題的解答。歐拉認(rèn)為，能夠一筆畫的圖形首先必須是連通圖。連通圖就是指一個(gè)圖形各部分總是有邊相連的。如在上面的例題中，“品”字形的圖形不是連通圖，根本就不能一筆畫。“串”字形的圖形是一個(gè)連通圖，可以一筆畫；“田”字形的圖形也是一個(gè)連通圖，但卻不能一筆畫。一個(gè)連通圖有什么特征和條件就可以一筆畫呢？假設(shè)一個(gè)連通圖可以一筆畫，我們來考察在每一個(gè)連接點(diǎn)處線的情況。（1）在圖形的每一個(gè)點(diǎn)上如果有進(jìn)去（或出來）的線就必須有出來（或進(jìn)去）的線，從而每個(gè)點(diǎn)所連的線數(shù)必須有偶數(shù)條才能完成一筆畫，這個(gè)點(diǎn)叫做偶點(diǎn)。如在下面左邊的圖形中，點(diǎn)A、B、C、D和E都是偶點(diǎn)，并且在每一點(diǎn)上都可以起筆，一筆畫后又回到這一點(diǎn)，也就是起筆與落筆是同一個(gè)點(diǎn)。這個(gè)圖形可以一筆畫。88

(2)如果在圖形的一個(gè)點(diǎn)A上起筆開始畫，最后落筆在另一個(gè)點(diǎn)B上，那么在其它各點(diǎn)上仍然是有進(jìn)去的線就必須有出來的線，這些點(diǎn)都是偶點(diǎn)，而在這兩點(diǎn)A、B上，每個(gè)點(diǎn)都連接著奇數(shù)條線，這樣的點(diǎn)叫做奇點(diǎn)。如上面中間的圖形，有2個(gè)奇點(diǎn)A、B，這個(gè)圖形也可以一筆畫。再如上面例題中，“串”字形的圖形，有2個(gè)奇點(diǎn)，這個(gè)圖形也能夠一筆畫。(3)如果在一個(gè)圖形中，奇點(diǎn)數(shù)多于2個(gè)，就不能一筆畫。如上面例題中的“田”字形的圖形，有4個(gè)奇點(diǎn)，這個(gè)圖形就不能一筆畫。要畫出這個(gè)圖形至少要用2筆才能畫出。如果把這個(gè)圖形再添上一條線段，如變成上面的右邊的圖形，奇點(diǎn)就變成了2個(gè)，圖形就可以按：EtG—HtF—B—G—CtHtD—EtAtF的順序，一筆畫，起筆與落筆分別在2個(gè)奇點(diǎn)E、F上。通過這樣的分析就知道一筆畫圖形的特征和條件：如果一個(gè)平面圖形可以一筆畫，那么圖形必須是連通圖。在一個(gè)連通圖中，如果圖中都是偶點(diǎn)，那么就能夠一筆畫，并且起筆與落筆是同一個(gè)點(diǎn)。如果圖中有兩個(gè)奇點(diǎn)，那么也能夠一筆畫，且起筆與落筆在這兩個(gè)奇點(diǎn)上。如果圖中有兩個(gè)以上的奇點(diǎn)，那么這個(gè)圖形就不能一筆畫。對(duì)“哥尼斯堡七橋問題”的抽象所畫出來的圖形也是一個(gè)連通圖，圖形中有4個(gè)奇點(diǎn)，所以不能一筆畫。歐拉的研究結(jié)果從反面說明：不存在一次走遍7座橋，而每座橋只許通過一次的走法。歐拉對(duì)“七橋問題”的研究，是圖論研究的開始，同時(shí)也為拓?fù)鋵W(xué)的研究提供了一個(gè)初等問題的例子，這在數(shù)學(xué)發(fā)展史上有著重要意義。例2.判斷下面的圖形能不能一筆畫？89分析與解：我們按一筆畫圖形的特征和條件進(jìn)行判斷。圖形①有10個(gè)結(jié)點(diǎn)，其中有5個(gè)點(diǎn)上有2條線、5個(gè)點(diǎn)上有4條線，它們都是偶點(diǎn)，因此