概率論連續(xù)型隨機變量

概率論連續(xù)型隨機變量1第一頁，共四十頁，2022年，8月28日定義：設隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)，如果存在非負函數(shù)f(x),

使得對于任意實數(shù)x,

有

連續(xù)型隨機變量則稱X為連續(xù)型隨機變量，其中函數(shù)f(x)稱為X

的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度。

可知,連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)F(x)是整個實軸上的連續(xù)函數(shù).若概率密度f(x)在點x連續(xù),則

F(x)=f(x)2第二頁，共四十頁，2022年，8月28日分布函數(shù)F(x)與密度函數(shù)f(x)的幾何意義x

yF(x)x3第三頁，共四十頁，2022年，8月28日概率密度函數(shù)f(x)的性質(zhì)(3)常利用這兩個性質(zhì)檢驗一個函數(shù)能否作為連續(xù)性隨機變量的密度函數(shù)，或求其中的未知參數(shù)。(1)(2)P(x1<X≤x2)=F(x2)F(x1)

xo

f(x)P(x1<X≤x2)x2x1這條性質(zhì)是密度函數(shù)的幾何意義4第四頁，共四十頁，2022年，8月28日注:對連續(xù)型隨機變量X和任意實數(shù)a,總有P(X=a)=0,

即,取單點值的概率為0

∵a及

>0,有得

P(X=a)=0

{X=a}{a<X≤a}

0≤P(X=a)≤P(a<X≤a)=F(a)F(a)5第五頁，共四十頁，2022年，8月28日故:(1)P(A)=0

A是不可能事件

(2)連續(xù)型隨機變量X落在區(qū)間的概率與區(qū)間是否包含端點無關

即:

P(a<X≤b)=P(a≤X<b)=P(a<X<b)=P(a≤X≤b)

6第六頁，共四十頁，2022年，8月28日例1

設連續(xù)型隨機變量X的概率密度為

f(x)=Ae－|x|,<x<+試求:(1)常數(shù)A

(2)P(0<X<1)

(3)X的分布函數(shù)

解:(1)=2A=17第七頁，共四十頁，2022年，8月28日(3)

x>0x≤0(2)P(0<X<1)

8第八頁，共四十頁，2022年，8月28日

X的分布函數(shù)為:綜合得:9第九頁，共四十頁，2022年，8月28日例2設隨機變量X的概率密度為

試求X的分布函數(shù)

解:當x≤0時,當0<x≤1時,=010第十頁，共四十頁，2022年，8月28日當1<x<2時,當x≥2時,=111第十一頁，共四十頁，2022年，8月28日綜上所述,可得隨機變量X的分布函數(shù):12第十二頁，共四十頁，2022年，8月28日試求:(1)系數(shù)A和系數(shù)B(2)X的概率密度

(3)例3設連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)為

解:(1)F(+)=1=A=1右連續(xù):得:

A=1,B=1=A+B=013第十三頁，共四十頁，2022年，8月28日(2)

f(x)=F(x)(3)

14第十四頁，共四十頁，2022年，8月28日試求X的概率密度.例4設隨機變量X的分布函數(shù)為

解:令則f(x)為非負函數(shù)15第十五頁，共四十頁，2022年，8月28日且對于任意實數(shù)x

有

故X為連續(xù)型隨機變量，其概率密度為f(x)。注：當某一隨機變量的分布函數(shù)F(x)連續(xù)，除有限個點外，導數(shù)F’(x)存在且連續(xù)時，則X為連續(xù)型隨機變量，其概率密度可以按照下面的步驟來求。(1)在F’(x)

存在的點x處，令f(x)=F’(x)

;(2)在F’(x)

不存在的點x處，令f(x)為任意非負數(shù)16第十六頁，共四十頁，2022年，8月28日常見連續(xù)型隨機變量的分布設連續(xù)型隨機變量X具有概率密度則稱X在區(qū)間[a,b]上服從均勻分布。

記為

X～U[a,b]

1.

均勻分布

17第十七頁，共四十頁，2022年，8月28日由上式求得X的分布函數(shù):若X～U[a,b],

[c,d][a,b],有:P(c≤X≤d)即隨機變量X

落在(a,b)內(nèi)任何長為d–c

的小區(qū)間的概率與小區(qū)間的位置無關,只與其長度成正比?？梢?，X落在長度相等的各個子區(qū)間的可能性相等。這正是幾何概型的情形。18第十八頁，共四十頁，2022年，8月28日xf(x)abxF(x)ba概率密度函數(shù)的圖像為分布函數(shù)的圖像為19第十九頁，共四十頁，2022年，8月28日例4設隨機變量X在(2,8)上服從均勻分布,求二次方程y2+2Xy+9=0有實根的概率.解:方程有實根=4X236≥0

X≥3或X≤3

由已知

P{有實根}=P{X≥3}+P{X≤3}

20第二十頁，共四十頁，2022年，8月28日2.

指數(shù)分布

設連續(xù)型隨機變量X具有概率密度則稱X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。由上式可得X的分布函數(shù)為記作21第二十一頁，共四十頁，2022年，8月28日xF(x)0xf(x)0概率密度函數(shù)的圖像為分布函數(shù)的圖像為22第二十二頁，共四十頁，2022年，8月28日用指數(shù)分布描述的實例有：(1)隨機服務系統(tǒng)中的服務時間(2)電話問題中的通話時間(3)電子元件的壽命(4)動物的壽命指數(shù)分布常作為各種“壽命”分布的近似23第二十三頁，共四十頁，2022年，8月28日例5某儀器裝有三只獨立工作的同型號電子元件,其壽命(單位:小時)都服從同一指數(shù)分布,概率密度為試求:在儀器使用的最初200小時內(nèi),至少有一只電子元件損壞的概率解:以Xi(i=1,2,3)表示第i只元件的壽命,則Xi的概率密度為

24第二十四頁，共四十頁，2022年，8月28日

以Ai(i=1,2,3)表示事件“在最初200小時內(nèi),第i只元件損壞”,則A1,A2,A3相互獨立,

且

P(Ai)=P(0≤Xi≤200)(i=1,2,3)

故所求概為:P(A1∪A2∪A3)

=1[1P(A1)][1P(A2)][1P(A3)]=1e125第二十五頁，共四十頁，2022年，8月28日3.正態(tài)分布

設連續(xù)型隨機變量X具有概率密度則稱X服從參數(shù)為

,

的正態(tài)分布。記為

X～N(

,

2)

其中

,

(

>0)為常數(shù)。

26第二十六頁，共四十頁，2022年，8月28日棣莫佛最早發(fā)現(xiàn)了二項概率的一個近似公式，這一公式被認為是正態(tài)分布的首次露面。在十九世紀前葉高斯(Gauss)又將正態(tài)分布加以推廣，所以正態(tài)分布也通常稱為高斯分布。由密度函數(shù)可求得X的分布函數(shù)為

正態(tài)分布是實踐中應用最為廣泛，在理論上研究最多的分布之一，它在概率統(tǒng)計中占有特別重要的地位。27第二十七頁，共四十頁，2022年，8月28日正態(tài)分布的圖形特點正態(tài)分布的密度曲線是一條關于對稱的鐘形曲線特點是“兩頭小，中間大，左右對稱”28第二十八頁，共四十頁，2022年，8月28日正態(tài)分布的圖形特點

決定了圖形的中心位置，決定了圖形中峰的陡峭程度?！?/p>

位置參數(shù)—

形狀參數(shù)29第二十九頁，共四十頁，2022年，8月28日正態(tài)分布下概率密度函數(shù)f(x)的性質(zhì)(1)圖形關于直線x=對稱：f(+x)=f(-x)(2)在x=時,

f(x)取得最大值:(3)在x=±時,曲線y=f(x)在對應的點處有拐點(4)曲線y=f(x)以x軸為漸近線(5)曲線

y=f(x)的圖形呈單峰狀30第三十頁，共四十頁，2022年，8月28日應用場合

若隨機變量X

受到眾多相互獨立的隨機因素的影響，而每一個別因素的影響都是微小的，且這些影響可以疊加,則X

服從正態(tài)分布。可用正態(tài)變量描述的實例：各種測量的誤差；工廠產(chǎn)品的尺寸；海洋波浪的高度；熱噪聲電流強度等

人的生理特征；農(nóng)作物的收獲量；

學生們的考試成績；

31第三十一頁，共四十頁，2022年，8月28日一種重要的正態(tài)分布

N(0,1)—

標準正態(tài)分布其分布函數(shù)為如果隨機變量X～N(0,1),則其密度函數(shù)為課本附有標準正態(tài)分布表P351，可查表求得F(x)32第三十二頁，共四十頁，2022年，8月28日(2)N(

,

2)的分布函數(shù)F(x)與N(0,1)的分布函數(shù)(x)的關系:N(0,1)的性質(zhì)(1)對稱性:

(x)=(x)(x)=1(x)xo-x(x)33第三十三頁，共四十頁，2022年，8月28日(3)(4)

a<b,X～N(,

2),有:34第三十四頁，共四十頁，2022年，8月28日例2已知且P(2<X<4)=0.3,求P(X<0)。解I:例1課本P6935第三十五頁，共四十頁，2022年，8月28日解II:圖解法由正態(tài)分布的圖形特點可知0.20.336第三十六頁，共四十頁，2022年，8月28日例3

設X～N(3,4),試求:(1)P(2<X≤5)(2)P(2<X<7)

(3)若P(X>c)=P(X≤c),求c的值

解:又

=3,

=2(1)P(2<X≤5)=0.5328=F(5)F(2)=(1)(0.5)=(1)[1(0.5)]37第三十七頁，共四十頁，2022年，8月28日(2)P(2<X<7)

=F(7)F(2)=(2)(2.5)=0.9710=(2)[1(2.5)](3)P(X>c)=1P(X≤c)=P(X≤c