2023年考研數(shù)學(xué)三真題及完整解析

２0２３年研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)三試題一、選擇題：1~１0小題，每小題４分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目規(guī)定,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi)．(1）當(dāng)時(shí)，與等價(jià)的無窮小量是（A)（B)（C）（D)[]（2）設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，下列命題錯(cuò)誤的是:（A)若存在,則（B)若存在,則.（B)若存在,則（D）若存在，則.[]（３）如圖，連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周,在區(qū)間的圖形分別是直徑為２的下、上半圓周,設(shè),則下列結(jié)論對的的是：(A)(Ｂ)(C）(Ｄ）[]（４)設(shè)函數(shù)連續(xù)，則二次積分等于(A）(B）(C）（Ｄ）(5)設(shè)某商品的需求函數(shù)為，其中分別表達(dá)需要量和價(jià)格，假如該商品需求彈性的絕對值等于1,則商品的價(jià)格是(Ａ)10．(B)２０（C)30.(D)40.[](６)曲線的漸近線的條數(shù)為（A）０.（B）1．(Ｃ)2．（D)3.[]（7）設(shè)向量組線性無關(guān),則下列向量組線性相關(guān)的是線性相關(guān),則 (A) ?(B)?(C)．?(D).[］(8）設(shè)矩陣，則與（A)協(xié)議且相似(Ｂ）協(xié)議，但不相似．(C）不協(xié)議,但相似.(Ｄ)既不協(xié)議也不相似［］(9)某人向同一目的獨(dú)立反復(fù)射擊，每次射擊命中目的的概率為，則此人第4次射擊恰好第2次擊中目的的概率為(A).(B）.（Ｃ)．(D)[](10）設(shè)隨機(jī)變量服從二維正態(tài)分布，且與不相關(guān)，分別表達(dá)的概率密度，則在的條件下，的條件概率密度為(A)．(Ｂ）．（C).(D）．[]二、填空題：11~1６小題，每小題４分,共24分.把答案填在題中橫線上.(11）____＿_(dá)＿_(dá)__.(１2）設(shè)函數(shù),則__＿＿_(dá)___．（13）設(shè)是二元可微函數(shù)，,則______＿＿＿＿.（1４)微分方程滿足的特解為＿_(dá)___＿_(dá)＿.(15)設(shè)矩陣,則的秩為.(１6)在區(qū)間中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)之差的絕對值小于的概率為.三、解答題:17～24小題,共86分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算環(huán)節(jié).（17)(本題滿分１0分）設(shè)函數(shù)由方程擬定,試判斷曲線在點(diǎn)附近的凹凸性.（1８）（本題滿分11分）設(shè)二元函數(shù)，計(jì)算二重積分，其中.(19)(本題滿分1１分)?設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且存在相等的最大值，,證明:存在，使得．（20)(本題滿分10分)將函數(shù)展開成的冪級數(shù),并指出其收斂區(qū)間.(21)(本題滿分11分）設(shè)線性方程組與方程有公共解,求的值及所有公共解.(22）(本題滿分11分)設(shè)三階對稱矩陣的特性向量值,是的屬于的一個(gè)特性向量，記，其中為3階單位矩陣．（=1\＊ROMＡNI)驗(yàn)證是矩陣的特性向量,并求的所有特性值與特性向量；(=2\*RＯMAＮＩI）求矩陣.（23)(本題滿分11分)設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為.(=１\＊RＯＭANI)求;(=2\*ROＭＡNII)求的概率密度.2023答案1….【分析】本題為等價(jià)無窮小的鑒定,運(yùn)用定義或等價(jià)無窮小代換即可.【詳解】當(dāng)時(shí),,,,故用排除法可得對的選項(xiàng)為（B)．事實(shí)上，，或.所以應(yīng)選(B)【評注】本題為關(guān)于無窮小量比較的基本題型，運(yùn)用等價(jià)無窮小代換可簡化計(jì)算..2…….【分析】本題考察可導(dǎo)的極限定義及連續(xù)與可導(dǎo)的關(guān)系.由于題設(shè)條件具有抽象函數(shù),本題最簡便的方法是用賦值法求解，即取符合題設(shè)條件的特殊函數(shù)去進(jìn)行判斷,然后選擇對的選項(xiàng)．【詳解】取,則，但在不可導(dǎo)，故選（D）.事實(shí)上,在(A），（B）兩項(xiàng)中,由于分母的極限為0,所以分子的極限也必須為０,則可推得.在（Ｃ）中，存在，則，所以(C)項(xiàng)對的,故選（D)【評注】對于題設(shè)條件含抽象函數(shù)或備選項(xiàng)為抽象函數(shù)形式結(jié)果以及數(shù)值型結(jié)果的選擇題,用賦值法求解往往能收到奇效.3……．【分析】本題實(shí)質(zhì)上是求分段函數(shù)的定積分.【詳解】運(yùn)用定積分的幾何意義，可得,，.所以，故選(C)．【評注】本題屬基本題型.本題運(yùn)用定積分的幾何意義比較簡便.4…….【分析】本題更換二次積分的積分順序，先根據(jù)二次積分?jǐn)M定積分區(qū)域,然后寫出新的二次積分.【詳解】由題設(shè)可知，,則，故應(yīng)選（B）.【評注】本題為基礎(chǔ)題型．畫圖更易看出.5…….【分析】本題考察需求彈性的概念.【詳解】選（Ｄ）．商品需求彈性的絕對值等于,故選（D）.【評注】需掌握微積分在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用中的邊際,彈性等概念.６…….【分析】運(yùn)用曲線的漸近線的求解公式求出水平漸近線,垂直漸近線和斜漸近線,然后判斷.【詳解】，所以是曲線的水平漸近線;,所以是曲線的垂直漸近線；,，所以是曲線的斜漸近線.故選(D)．【評注】本題為基本題型,應(yīng)純熟掌握曲線的水平漸近線,垂直漸近線和斜漸近線的求法.注意當(dāng)曲線存在水平漸近線時(shí)，斜漸近線不存在.本題要注意當(dāng)時(shí)的極限不同.7……..【分析】本題考察由線性無關(guān)的向量組構(gòu)造的另歷來量組的線性相關(guān)性.一般令，若,則線性相關(guān)；若，則線性無關(guān).但考慮到本題備選項(xiàng)的特性,可通過簡樸的線性運(yùn)算得到對的選項(xiàng).【詳解】由可知應(yīng)選(A).或者由于，而，所以線性相關(guān)，故選（A).【評注】本題也可用賦值法求解,如取,以此求出（A)，(B）,（C），(Ｄ）中的向量并分別組成一個(gè)矩陣,然后運(yùn)用矩陣的秩或行列式是否為零可立即得到對的選項(xiàng).8……【分析】本題考察矩陣的協(xié)議關(guān)系與相似關(guān)系及其之間的聯(lián)系，只規(guī)定得的特性值,并考慮到實(shí)對稱矩陣必可經(jīng)正交變換使之相似于對角陣,便可得到答案.【詳解】由可得,所以的特性值為3,3,0;而的特性值為1,1,0．所以與不相似,但是與的秩均為２，且正慣性指數(shù)都為2，所以與協(xié)議，故選(B).【評注】若矩陣與相似，則與具有相同的行列式,相同的秩和相同的特性值.所以通過計(jì)算與的特性值可立即排除（A）（C).9…….．【分析】本題計(jì)算貝努里概型，即二項(xiàng)分布的概率．關(guān)鍵要搞清所求事件中的成功次數(shù).【詳解】ｐ={前三次僅有一次擊中目的,第4次擊中目的},故選（C).【評注】本題屬基本題型．10…….【分析】本題求隨機(jī)變量的條件概率密度,運(yùn)用與的獨(dú)立性和公式可求解.【詳解】由于服從二維正態(tài)分布,且與不相關(guān),所以與獨(dú)立，所以．故,應(yīng)選(A）.【評注】若服從二維正態(tài)分布，則與不相關(guān)與與獨(dú)立是等價(jià)的.１１…．【分析】本題求類未定式，可運(yùn)用“抓大頭法”和無窮小乘以有界量仍為無窮小的結(jié)論.【詳解】由于，所以.【評注】無窮小的相關(guān)性質(zhì)：（1)有限個(gè)無窮小的代數(shù)和為無窮小;（2）有限個(gè)無窮小的乘積為無窮小;(3)無窮小與有界變量的乘積為無窮小.12,……．．【分析】本題求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù),運(yùn)用遞推法或函數(shù)的麥克老林展開式.【詳解】,則,故.【評注】本題為基礎(chǔ)題型.1３…….【分析】本題為二元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)，直接運(yùn)用公式即可.【詳解】運(yùn)用求導(dǎo)公式可得,,所以.【評注】二元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)時(shí)，最佳設(shè)出中間變量，注意計(jì)算的對的性.1４….．【分析】本題為齊次方程的求解,可令．【詳解】令，則原方程變?yōu)椋畠蛇叿e分得,即,將代入左式得,故滿足條件的方程的特解為,即，.【評注】本題為基礎(chǔ)題型.15………．【分析】先將求出，然后運(yùn)用定義判斷其秩.【詳解】．【評注】本題為基礎(chǔ)題型．1６……….【分析】根據(jù)題意可得兩個(gè)隨機(jī)變量服從區(qū)間上的均勻分布,運(yùn)用幾何概型計(jì)算較為簡便．【詳解】運(yùn)用幾何概型計(jì)算.圖如下：AA1/2111Oyx所求概率.【評注】本題也可先寫出兩個(gè)隨機(jī)變量的概率密度，然后運(yùn)用它們的獨(dú)立性求得所求概率．17…….．【分析】由凹凸性判別方法和隱函數(shù)的求導(dǎo)可得.【詳解】方程兩邊對求導(dǎo)得,即,則．上式兩邊再對求導(dǎo)得則,所以曲線在點(diǎn)附近是凸的．【評注】本題為基礎(chǔ)題型.１８……．【分析】由于積分區(qū)域關(guān)于軸均對稱，所以運(yùn)用二重積分的對稱性結(jié)論簡化所求積分．【詳解】由于被積函數(shù)關(guān)于均為偶函數(shù)，且積分區(qū)域關(guān)于軸均對稱,所以,其中為在第一象限內(nèi)的部分.而.所以.【評注】被積函數(shù)包含時(shí)，可考慮用極坐標(biāo),解答如下:..19…….【分析】由所證結(jié)論可聯(lián)想到構(gòu)造輔助函數(shù),然后根據(jù)題設(shè)條件運(yùn)用羅爾定理證明．【詳解】令,則在上連續(xù),在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且.(1）若在內(nèi)同一點(diǎn)取得最大值,則,于是由羅爾定理可得，存在,使得.再運(yùn)用羅爾定理,可得存在，使得,即．（2）若在內(nèi)不同點(diǎn)取得最大值,則,于是,于是由零值定理可得，存在,使得于是由羅爾定理可得，存在，使得.再運(yùn)用羅爾定理,可得,存在,使得,即．【評注】對命題為的證明，一般運(yùn)用以下兩種方法:方法一：驗(yàn)證為的最值或極值點(diǎn),運(yùn)用極值存在的必要條件或費(fèi)爾馬定理可得證;方法二：驗(yàn)證在包含于其內(nèi)的區(qū)間上滿足羅爾定理?xiàng)l件..20….【分析】本題考察函數(shù)的冪級數(shù)展開，運(yùn)用間接法.【詳解】,而,，所以，收斂區(qū)間為.【評注】請記住常見函數(shù)的冪級數(shù)展開.2１….．【分析】將方程組和方程合并，然后運(yùn)用非齊次線性方程有解的鑒定條件求得.【詳解】將方程組和方程合并，后可得線性方程組其系數(shù)矩陣．.顯然，當(dāng)時(shí)無公共解.當(dāng)時(shí),可求得公共解為，為任意常數(shù)；當(dāng)時(shí),可求得公共解為.【評注】本題為基礎(chǔ)題型,考察非齊次線性方程組解的鑒定和結(jié)構(gòu)．22……【分析】本題考察實(shí)對稱矩陣特性值和特性向量的概念和性質(zhì).【詳解】（=1\＊RＯＭAＮＩ），則是矩陣的屬于－2的特性向量.同理可得，.所以的所有特性值為2，１,１設(shè)的屬于1的特性向量為,顯然為對稱矩陣，所以根據(jù)不同特性值所相應(yīng)的特性向量正交,可得.即，解方程組可得的屬于1的特性向量，其中為不全為零的任意常數(shù).由前可知的屬于-2的特性向量為，其中不為零.（=2\*ＲOMＡNＩＩ）令,由（Ⅰ)可得，則.【評注】本題重要考察求抽象矩陣的特性值和特性向量,此類問題一般用定義求解，要想方設(shè)法將題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為的形式.請記住以下結(jié)論:(1)設(shè)是方陣的特性值,則分別有特性值可逆),且相應(yīng)的特性向量是相同的．（2）對實(shí)對稱矩陣來講,不同特性值所相應(yīng)的特性向量一定是正交的23…….【分析】（=１\*ROＭＡNI)可化為二重積分計(jì)算；（=2\*ＲＯMANＩI)運(yùn)用卷積公式可得.【詳解】(=１\*RＯＭANI).(=２＼*ＲＯMANＩI)運(yùn)用卷積公式可得.【評注】(=2\*ROMANＩI)也可先求出分布函數(shù)，然后求導(dǎo)得概率密度