初二數(shù)學(xué)暑假教材

平方根

【知識(shí)要點(diǎn)】

1.平方根的概念

2.平方根的性質(zhì)

3.平方根的表示方法

4.算術(shù)平方根

5.平方根的求法

6.開平方

7.開平方的小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)規(guī)律

91011121314151617181920

81100121144169196225256289324361400

-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20

【典型例題】

例1填空

(1)81的平方根是_____________________

121的平方根是_____________________

(2)0的平方根是

—的平方根是

49

(3)169的平方根是______________________

169的算術(shù)平方根是

(4)±V25表示的是的平方根

V25表示的是的算術(shù)平方根

(5)土廊表示的是36的

商表示的是36的

(6)64的平方根可表示成

5的平方根可表示成

(7)4的算術(shù)平方根可表示成

3的算術(shù)平方根可表示成

(8)

7121=^/036=

例2計(jì)算下列式子

(1),0.09+Jo.36(2)+后

(3)-7(-3)X(-27)

例3求下列各式中的X。

(1)9/=16(2)—x*2=50(x>0)

2

(3)Vx=-(4)9(/+l)=l()(x<0)

3

(5)3(x+l)2=27(6)25(x+2)2—36=0

例4當(dāng)X為何值時(shí)，下列各式有意義？

(1)J-X(2)Jx-1

r

7X

(3)+3(4)

X

Jx+2

(5)_y/-X(6)

x—2

例5已知9y2—16=0,且y是負(fù)數(shù)，求3y+5的算術(shù)平方根。

例6已知V3J6=1.887,735^6=5.966。

(1)求J0.356、J3.56xl()6的值。

(2)若?=188.7,yfy=59.66,求x、y的值。

肥胖已經(jīng)是一種日益引起人們關(guān)注的流行病，減肥成為當(dāng)前一種時(shí)髦的風(fēng)尚。那么

什么樣的人算肥胖呢？什么樣的人算超重呢？用什么標(biāo)準(zhǔn)來判斷？目前國(guó)際上使用最廣

體重

：體重指數(shù)=-

泛的是體重指數(shù)（BMI）,體重指數(shù)的計(jì)算公式是身高

在①中，體重的單位是公斤，身高的單位是米。1990年，世界衛(wèi)生組織和美國(guó)建議:

體重指數(shù)在18.5至25之間為正常；

體重指數(shù)在25至29.9之間為超重；

體重指數(shù)在30以上則是肥胖。

但這是從西方白種人流行病學(xué)研究中得到的，并不適宜中國(guó)人。中國(guó)人的超重標(biāo)準(zhǔn)

似乎應(yīng)低一點(diǎn)，有人建議當(dāng)體重指數(shù)大于或等于24時(shí)為超重，請(qǐng)你算一算，按照這一標(biāo)

準(zhǔn)，一個(gè)體重50公斤的人，至少應(yīng)該有多高，才不超重？（提示x=,50+24）

【小試鋒芒】

1.當(dāng)加20時(shí)，J/表示()

A、m的平方根B、一個(gè)有理數(shù)C、m的算術(shù)平方根D、一個(gè)正數(shù)

2.若數(shù)。在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置在原點(diǎn)的左側(cè)，則下列各式中有意義的是()

A、y[ciB>J-aC、,yj-a~D>Ja，

3.下列式中，表示算術(shù)平方根的是()

(1)((-2)2=2(2)J(-lX-36)=6(3)-后=5

(5)±Vo.Ol=±0.1(6)=—a[ci<0)

A、(1)(2)(3)B、(1)(3)(6)C、(1)(5)(6)D、(1)(2)(6)

4.下列說法正確的是)

A、任何數(shù)的平方根都有兩個(gè)B、只有正數(shù)才有平方根

C,一個(gè)正數(shù)的平方根的平方仍是這個(gè)數(shù)D、/的平方根是土人

5.下列說法：(1)±3是9的平方根；(2)9的平方根是±3；(3)3是9的平方根；(4)9

的平方根是3,其中正確的有()

A、3個(gè)B、2個(gè)C、1個(gè)D、4個(gè)

6.下列命題正確的是()

A、V049的平方根是0.7B、0.7是瓦希的平方根

C、0.7是疝④的算術(shù)平方根D、0.7是向希的運(yùn)算結(jié)果

7.下列各數(shù)有平方根的個(gè)數(shù)是()

⑴5；(2)(-4)2；⑶(4)0；

(5)-a2；(6)Ji；⑺5-1

A、3個(gè)B、4個(gè)C、5個(gè)I)、6個(gè)

8.下列敘述中正確的是()

A、(-11)2的算術(shù)平方根是±11

B、大于零而小于1的數(shù)的算術(shù)平方根比原數(shù)大

C、大于零而小于1的數(shù)的平方根比原數(shù)大

D、任何一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方根都是非負(fù)數(shù)

9.一個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根是a,則下一個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根是（）

[a_4a

A、a-y[a^B、4ab=yfa-4b

C、

by/b

D、V12

729

10.X2=—,那么x的值為（）

361

93

11.用數(shù)學(xué)式子表示“一的平方根是±±"應(yīng)是（）

164

33

D

44

12.前10個(gè)正整數(shù)的算術(shù)平方根中，是有理數(shù)的共有（）

A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)

13.一個(gè)正數(shù)有個(gè)平方根，0有個(gè)平方根，負(fù)數(shù)平方根.

14.二9的算術(shù)平方根是,它的平方根是

16

15.一個(gè)數(shù)的平方等于49,則這個(gè)數(shù)是

16.J詁的算術(shù)平方根是，平方根是

17.一個(gè)負(fù)數(shù)的平方等于81,則這個(gè)負(fù)數(shù)是

18.如果一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根是百，則這個(gè)數(shù)是,它的平方根是

19.若一個(gè)正方形的面積為64cm2,則這個(gè)正方形周長(zhǎng)為多少米？

20.計(jì)算

②土卜備

③±，5?+122④_J(4—⑶

21.正方形的面積變?yōu)樵瓉淼?5倍，那么它的周長(zhǎng)變?yōu)樵瓉淼谋丁?/p>

22.五塊同樣大小的正方形木板，總面積是11.25平方米，求木板每邊的長(zhǎng)。

23.如圖，4X4方格的邊長(zhǎng)都是1個(gè)單位，依次連接各邊中點(diǎn)，得到一個(gè)正方形，如圖

陰影部分，求這個(gè)正方形的面積和邊長(zhǎng)。

【大展身手】

1.0.0196的平方根是()

A、0.014B、0.14C、±0.014D、±0.14

2.下列各式中正確的是()

A、1(-12>=-12B、V18xV2

c、7(-12)2=±12D、士"(-12)2=12

3.25的平方根是______________;(-4)2的平方根是o

4.百的算術(shù)平方根是一___________;3々的算術(shù)平方根是?

5.若a的平方根是±5,則及二______

6.若廳^=2.676,\[a=26.76,則。的值等于。

7.灰-8)2=________________,

8.平方根等于本身的數(shù)是__________,算術(shù)平方根等于本身的數(shù)是

9.求下列各數(shù)的平方根.0

324

(1)144(2)——(3)108(4)1.96

25

10.求下列各數(shù)的算術(shù)平方根。

225

(1)121(2)——(3)10/(4)3.61

49

11.求下列各式中的值。

2

(1)后(2)7(-6)(3)(八)2(4)-4^

(5)±J(-6)2(6)—Vo(7)(8)V0.25+V0.36

(9)7172-82(10)

12.已知25.y2—49=0,且y是負(fù)數(shù)，求J1T二的算術(shù)平方根。

13.已知2a-l的平方根是±3,的平方根是±4,求。+力的平方根。

立方根

德里島上的災(zāi)難

據(jù)說在古希臘時(shí)代,德里群島中有一個(gè)叫杰羅西得小島，有一年,這個(gè)小島上發(fā)生了大瘟

疫.居民驚恐地到神廟去祈求阿波羅神,詢問怎樣才能免除這場(chǎng)災(zāi)難,巫師告訴大家:阿波

羅神給我托夢(mèng)說，你們對(duì)神太不虔誠，我腳下的祭壇這么小就是證明，你們?nèi)绻朊?/p>

除災(zāi)難，必須做一個(gè)新的祭壇，使新祭壇體積是現(xiàn)有祭壇體積的兩倍才行！

居民們覺得神的要求并不過分，是不難做到的。于是他們便動(dòng)手建筑新祭壇，原祭壇是

立方體形狀的，他們認(rèn)為只要把立方體每條邊的長(zhǎng)度都增加一倍，新立方體就是原來立

方體的兩倍了。于是他們按這一方案很快地在阿波羅神的面前筑好了新的祭壇。可是，

新的祭壇筑好之后，瘟疫并沒有停止，反而更加厲害了居民們又去請(qǐng)巫師向神祈求，巫

師說，阿波羅神發(fā)怒了，他要求你們做一個(gè)體積是原來祭壇2倍的新祭壇，可是你們卻

造了個(gè)體積是原來體積倍的祭壇，這不是明明與神作對(duì)嗎？所以阿波羅神不肯幫

忙。居民們仔細(xì)一想也對(duì)呀！你能想到為什么嗎？

【知識(shí)要點(diǎn)】

一、基礎(chǔ)知識(shí)歸納

1.立方根

定義如果一個(gè)數(shù)的立方等于這個(gè)數(shù)就叫做。的立方根（也稱作。的三次方根）.

即：若丁=。，則x稱為a的立方根，記作指，其中a是被開方數(shù)，3是根指數(shù).

2.表示方法

。的立方根表示為“媯”，讀作“三次根號(hào)。"，其中。是被開方數(shù)，3是根指數(shù).

注意：這里的“3”不能省略.

3.性質(zhì)任何數(shù)都有立方根，且只有一個(gè)立方根（這與平方根的性質(zhì)不同）.

正數(shù)有一個(gè)正的立方根，負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根，0的立方根是0.

4.開立方

定義求一個(gè)數(shù)的立方根的運(yùn)算叫做開立方.開立方與立方互為逆運(yùn)算.

開立方的小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)規(guī)律

被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右或向左每移動(dòng)三位，則立方根的小數(shù)點(diǎn)就向右或向左移動(dòng)一位.

5.n次方根

定義如果一個(gè)數(shù)的“次方等于這個(gè)數(shù)叫做。的〃次方根.

性質(zhì)正數(shù)的偶次方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)；負(fù)數(shù)沒有偶次方根；

任何數(shù)a的奇次方根只有一個(gè)，且與a同正負(fù)；

0的任何次方根為0.

二、重點(diǎn)知識(shí)講解

有關(guān)立方根的三個(gè)公式

1.=-V?（。為任何數(shù)），即互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的立方根還是互為相反數(shù)；

2.（Va/=a（a為任何數(shù)）；

3.-a（a為任何數(shù)）.

三、易混知識(shí)辨析

立方根與平方根的區(qū)別

1.正數(shù)有兩個(gè)平方根，但只有一個(gè)立方根；

2.負(fù)數(shù)沒有平方根，負(fù)數(shù)有一個(gè)立方根；

用根號(hào)表示平方根時(shí)，根指數(shù)可以省略，用根號(hào)表示立方根時(shí)，根指數(shù)不可以省略.

【典型例題】

例1.（1）求下列各數(shù)的平方根及立方根:

②729③10-6

64

?“17

④—4—@15-

278

（2）求下列各式的值

①義-8②舊③々_().064

⑤刈3.43x105?V-343+V256

例2下列各式中值為正數(shù)的是（）

A.1（-2.5）5B.-V（-3.4）2C.VOD.正可

例3若—4與必4—3x互為相反數(shù),求土的值.

y

例4計(jì)算:

(1)-216；(2)J——；(3)-0973；

V64

而；⑸一Ki；⑹兩一商;

(8)792+122+V52+102

例5求下列各式中x的值。

(1)8x3+125=0(2)5丁一160=0

(3)(x+5)-3=27(4)729X=7A/8T+1

例6若必43300=35.12,F=0.3512,求x。

例7已知(一2)"=64,[x—2=4,求x的值。

例8疝方=舊，俗—1)3=_’，求2&_缶^_腐+3的值。

8

例9已知我=4,且(y-2z+lf+y—=0,求1x+V+z^的值。

【小試鋒芒】

1.下列各式中正確的是（）.

A.J-8=—2；B.V9=3；C.V0.0M=0.4；D.V0.064=0.8.

2.V64的立方根是（）

A.±4B.±2C.2D.—2

3.一折=A則。的值是（）.

777343

A.-B.--C.+-I).-----

888512

4.下列四種說法中共有（）個(gè)是錯(cuò)誤的.

（1）負(fù)數(shù)沒有立方根；（2）1的立方根與平方根都是1；

clJ

（3）我的平方根是土血；（4）==2+-=2-.

22

A.1B,2C.3D.4

5.若4/2=（_5『，b3=（-5）3,則a+"的值為（）

A.-10B.0C.0或一10D.0,—10或10

6.若寸x—5+胃y-6=0,則x+y=()

A.9B.10C.11D.12

7.若Va+4=4,那么（a—67丫的值是（）

A.64B.-27C.一343D.343

8.一0的平方根是（）

A.-2B.2C.—5/2D.±72

9.下列說法正確的是()

A.病的平方根是±3；B.1的立方根是±1;

C.=±1;D.4x>0.

10.若代數(shù)式1=在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍為().

A,x>0B.x20C.xWOD.x20且xWl

11.(1)125的立方根等于

-125的立方根等于

(2)0.216的立方根等于

(-1)7的立方根等于

(3)0.16的平方根等于

49的算術(shù)平方根等于

(4)平方根等于本身的數(shù)是

立方根等于本身的數(shù)是

(5)64的平方根的立方根等于

9的立方根可表示成

(6)當(dāng)。<0時(shí)，—%+1可以化簡(jiǎn)為

12.求下列各式中的x的值：

(1)%3=-512；(2)27x3—125=0

(3)(x-2)3=-0.125(4)(x-OS》+10-3=。

13.(1)求625的4次方根:(2)求一128的7次方根;

(3)求'-的6次方根；(4)求0.00001的5次方根。

64

15.如果3x+16的立方根是4,求2x+4的算術(shù)平方根.

16.已知3x+l的平方根是±4,求9x+19的立方根.

17.已知和#1-2尤互為相反數(shù)，求x:y.

18.己知》="痂是用的立方根（加。0,1,—J,而＞=四二%是x的相反數(shù)，且

m=3a-1,求V+V的立方根.

【大展身手】

一、選擇

1.下列說法正確的是（）

A.一個(gè)數(shù)的立方根有2個(gè)，它們互為相反數(shù).

B.非零數(shù)的立方根與這個(gè)數(shù)同號(hào).

C.如果一個(gè)數(shù)有立方根，那么它一定有平方根.

D.一個(gè)數(shù)的立方根是非負(fù)數(shù).

2.下列敘述中正確的是（）

A.V64的立方根是2.B.一3是27的負(fù)的立方根.

1255

C.匕的立方根是±3.D.口的立方根是1.

2166

3.若a是（-3）2的平方根，則為Q=)

A.一3B.V3C.±V3D.±3

4.若-加是〃的立方根，則下列說法正確的是)

A.一加是一〃的立方根B.m是〃的立方根

C.加是-〃的立方根D.〃是m的立方根

5.-8的立方根與4的平方根之和是（)

A.0B.4C.0或4D.0或-4

6.如果一個(gè)數(shù)的平方根與立方根是同一個(gè)數(shù)，那么這個(gè)偶數(shù)是（)

A.8B.4C.0D.16

7.W的值是（)

A.是正數(shù)B.是負(fù)數(shù)C.是零D.以上都可能

二、填空

1.（-葉岫的六次方根為,（-球岫的999次方根為.

2.（-2）6的平方根為,立方根為,六次方根為

3.若=(-5)~,/=(-5丫，則a+Z?=

4.y的絕對(duì)值為.，相反數(shù)為倒數(shù)為______

5.若〃z+4=4,那么(a—671=

6.若，〃<0,則帆+y/m2++加=.

7.若%-9有意義,則x的取值范圍是.

8.若.（4-4）3=7_4,貝1」氏=.

9.若一個(gè)數(shù)加的立方根等于它的算術(shù)平方根，則這個(gè)數(shù)是

10.V（Z2）?=_____；（V^2）3=.

三、計(jì)算題

1.如果6%+36的立方根是6,求2x+4的算術(shù)平方根.

13

2.求代數(shù)式w（2x+3）3=25x10中的x的值.

3.求下列各式的值:

⑴fl(2)必？

(4)7144+^^8

(6)^7—^.x^/512

V144

(8)J--V8+J---(-2)3XV0.064

V125V100

4.如果一個(gè)球的體積為原來的8倍，那么它的半徑為原來的多少倍？如果一個(gè)球的體積

變?yōu)樵瓉淼?7倍，那么它的半徑變?yōu)樵瓉淼亩嗌俦?？如果球的體積變?yōu)樵瓉淼?000倍

4

呢？變?yōu)樵瓉淼膸妆赌?？（球的體積公式為V=—7/）。

3

5.一個(gè)正方體木塊的體積是125cm3,現(xiàn)將它鋸成8塊同樣大小的正方體小木塊，求每

個(gè)小正方體木塊的表面積。

解不等式

【知識(shí)要點(diǎn)】

1.不等式：用不等號(hào)（“<”“w”“>”“2”“力”）表示不等關(guān)系的式子.

2.不等式的基本性質(zhì)：（1）不等式的兩邊都加上（或減去）同一個(gè)整式，不等號(hào)的方向

不變.（2）不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變.（3）不等

式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變.

3.不等式的解：能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解.

4.不等式的解集：一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個(gè)不等式的解集.

5.解不等式：求不等式解集的過程叫做解不等式.

6.一元一次不等式：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1,系數(shù)不為零的不

等式叫做一元一次不等式.

7.一元一次不等式的解法.

解一元一次不等式的步驟：①去分母，②去話號(hào)，③移項(xiàng)，④合并同類項(xiàng)，⑤系數(shù)化

為1（不等號(hào)的改變問題）

8.一元一次不等式組的解集表示

一元一次不等式組解集表示

jc>a—I_

ab

?rVa=i——1——>

x<Lbah

xZ>a

a<Zx<Zh-<—l——>

x<Zbab

無解——

T>bab

【典型例題】

例1下列四個(gè)命題中，正確的有()

①若a>b,則a+l>b+l；②若a>b,貝ijaT>b-l③若a>b,則一2a<-2b；

④若a>b,則2a<2b.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

例2解下列不等式及不等式組，并把解集分別表示在數(shù)軸上

3

(1)--x<3；(2)5x-3>7x+2.

4

x—14x—5

(3)9(x—4)+x>8x+25(4)-----<-------

23

x+7]<3x+2

(5)(6)l<3x-2<4

22

2x—l10x+l2x+3

N—x—5(8)<+x

643

6x-2>3x-41+32尤

(9)<2犬+1\-x（10）42

-----------<1

321—3(x—1)<6—x

【小試鋒芒】

1.若根v〃<0,那么下列結(jié)論錯(cuò)誤的是)

11m,

A.m-9<〃-9B.-m>—nC.—>—D.—>1

nmn

2.若x+avy+a,ax>ay,則()

A.xvy.a<0B.x<y,。>0C.x>y,a<0D.x>y,a>0

3.一個(gè)數(shù)x的」與-4的差不小于這個(gè)數(shù)的2倍加上5所得的和，則可列不等式是（）

3

A.—x—4>2x+5B.—x+4N2x+5

33

C.—x—422x+5D.—x+4N2x+5

33

4.用不等式表示:

(1)x的3倍大于或等于1；

(2)x與5的和不小于0；

(3)y與1的差不大于6；

x的L小于或等于2。

(4)

4

5.解下列不等式及不等式組，并把解集分別表示在數(shù)軸上

八、4(x4-1)x+l

(1)---------X<-----FX+8o(2)—(x+15)》———(x—7)

33523

2x+15x-15x—2>3(x+1)

(3)

36x—2K14—3x

【大展身手】

1.己知。一6>0,下面敘述不正確的是()

A、若人=0,則。>0B、若力>0,則。>0

C、若。=0,則b<0D、若。>0,則b>0

2.如果5—2。〈5-25,那么。與b的大小關(guān)系是()

A、a=bB>a<bC>a>hD、不能確定

3.判斷正誤

(1)不等式x-1>0有無數(shù)個(gè)解；

2

(2)不等式2x-3W0的解集為x2一.

3

4.解下列不等式，并把解集分別表示在數(shù)軸上

(3)2(2x-3)<5(x-1)(4)10-3(x+6)W1

xx—2

(5)—(3—x)23(6)1+->5

232

x-3x+62x—1—3x—4

(7)----->------(8)----------&-----------

2536

x+53x4-2y+1y-1y-1

(9)-K(10)

232-6

刨根問底一實(shí)數(shù)的概念

【知識(shí)要點(diǎn)】

1.無理數(shù)的概念無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)，如n=3.1415926…，0=1.414213,

-1.010010001-,都是無理數(shù)。

對(duì)無理數(shù)概念的理解主要抓住以下幾點(diǎn)：

既是無限小數(shù)，又是不循環(huán)小數(shù)，這兩點(diǎn)必須同時(shí)滿足；

無限不循環(huán)小數(shù)與有限小數(shù)、無限循環(huán)小數(shù)的本質(zhì)區(qū)別是：前者不能化成分?jǐn)?shù)，而

后者都可以化成分?jǐn)?shù)；

凡是整數(shù)的開不盡的方根都是無理數(shù)，如血、行等。

2.實(shí)數(shù)有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。

,正有理數(shù)'

有理數(shù)零有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)

實(shí)數(shù)，負(fù)有理數(shù)

無理數(shù)【葉鬟I無限不循環(huán)小數(shù)

［負(fù)無理數(shù)J

3.實(shí)數(shù)的幾個(gè)有關(guān)概念

相反數(shù)：a與一a互為相反數(shù)，0的相反數(shù)是0。a+b=0Oa、b互為相反數(shù)。

倒數(shù)：若則,稱為a的倒數(shù)，0沒有倒數(shù)。ab=loa、6互為倒數(shù)。

a

絕對(duì)值：一個(gè)正實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它本身，一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，0的絕對(duì)值

a{a>0)

是0。即時(shí)=<0(。=0)

-a(a<0)

【典型例題】

例1下列各數(shù)中哪些是有理數(shù)？哪些是無理數(shù)？

0.346,7T-1,3.1415926,血，我，-J6+-,0.323323332…

4V4

例2已知a、b是有理數(shù)，并且滿足5-Ga=2b+2j5-a,求a、b的值。

3

例3化簡(jiǎn)上+3|+上一1|—?dú)w一2|(其中：x=J5)

例4比較下列各組數(shù)的大小。

(1)回與兀(2)一歷+1與一病+1

l21

與

34J\V5-與

-Z48-

vio

★(5)a2,a、-(其中一1VQ<0)

a

例5已知實(shí)數(shù)x、y、z在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖,試化簡(jiǎn)：|九一y|-|y+z|+|x+z|+

xyo

例6求證：、方是無理數(shù)。

【小試鋒芒】

1.(1)2J7的倒數(shù)的平方是

2的立方根的倒數(shù)的立方是

(2)亞的絕對(duì)值是

7131-11的絕對(duì)值是

(3)9的平方根的絕對(duì)值的相反數(shù)是

72+73的相反數(shù)是

V2-V3的相反數(shù)的絕對(duì)值是

(4)V2-V7的絕對(duì)值與V7-V2+V6的相反數(shù)之和的倒數(shù)的平方為

2.比較大小

(1)和(2)-3-^3fl]-2-^7

(3)—和，-.(4)—\[5+3和一

nJlQ2

3.(1)計(jì)算：12-逐卜|6—“|VIO-3|+|VTO-4|

(2)實(shí)數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如下圖，化簡(jiǎn),―。|+忸—d+|c—4

abocx

(3)實(shí)數(shù)a、6在數(shù)軸上的位置如下圖，比較，和-■的大小。

ab------—1——、------：——\—>

Aao1h

4.設(shè)x、y是有理數(shù)，并且x、y滿足Y+2'+夜>=17-40,求x+y的值。

5.若x、y滿足Jx-2+Jx+y-5=0,則［x，+y2等于()。

A.0B.5C.2D.-5

6.右是無理數(shù)，則a是一個(gè)()。

A.非負(fù)實(shí)數(shù)B.正實(shí)數(shù)C.正有理數(shù)D.非完全平方數(shù)

7.設(shè)a、b是有理數(shù)，且滿足。+匕正=(1一后『，求/的值。

8.若|〃z+1|+42九一1=0,求M000—A14的值。

9.已知a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖，求代數(shù)式J/-|a+M+小（0-4+|b+c|的值。

H------------1_I---------1------------->X

b3OC

10.a、b、c三數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，且例=匕|,那么化簡(jiǎn)

【大展身手】

1.判斷（正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“X”）

①帶根號(hào)的數(shù)是無理數(shù)；（）

②J二一定沒有意義；（）

③絕對(duì)值最小的實(shí)數(shù)是0；（）

④平方等于3的數(shù)為百；（）

⑤有理數(shù)、無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)；（）

⑥1的平方根與1的立方根相等；（）

⑦無理數(shù)與有理數(shù)的和為無理數(shù)；（）

⑧無理數(shù)中沒有最小的數(shù)，也沒有最大的數(shù)。（）

2.下列命題中，正確的個(gè)數(shù)是（）

①兩個(gè)有理數(shù)的和是有理數(shù)；②兩個(gè)無理數(shù)的和是無理數(shù)；

③兩個(gè)無理數(shù)的積是無理數(shù)；④無理數(shù)乘以有理數(shù)是無理數(shù);

⑤無理數(shù)除以有理數(shù)是無理數(shù);⑥有理數(shù)除以無理數(shù)是無理數(shù)。

A.0個(gè)B.2個(gè)C.4個(gè)D.6個(gè)

3.代數(shù)式4+1,石，例，（。一1）2中一定是正數(shù)的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

4.-3的負(fù)倒數(shù)是（）

11

A.3B.-3C.-D.一一

33

5.已知，2a+l+M—1|=0,貝ij—/+"=。

6、已知|a+l|=2,|。+3|=1,求a+b的最小值。

化整為零，化零為整

—二次根式的化簡(jiǎn)

【知識(shí)要點(diǎn)】

1.二次根式：式子JZ(a'O)叫做二次根式。

2.二次根式的重要性質(zhì)

(。訓(xùn)

("0)

被開方數(shù)/20,所以?？梢匀∪我鈱?shí)數(shù)；

因?yàn)楸硎镜氖?的算術(shù)平方根，所以因此病=同20.

3.由上述性質(zhì)確定被開方數(shù)中字母的取值范圍

若-\[a^=a,則a20；若=—a,則aW0.

4.最簡(jiǎn)二次根式被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式即被開方數(shù)不含有分母。

被開方數(shù)中不含有能開得盡方的因式或因數(shù)。

5.同類二次根式幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，那么這

幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式。

判斷同類二次根式時(shí)，注意以下三點(diǎn)都是二次根式，即根指數(shù)都是2；

必須先化成最簡(jiǎn)二次根式；

被開方數(shù)相同。

6.二次根式的加減二次根式的加減，與整式的加減相類似，只須對(duì)同類二次根式進(jìn)

行合并.

【典型例題】

例1(1)下列各式J—5,—J*-+2,J^,.Jl——2a+l,

其中是二次根式的是.

(2)若式子.，?=有意義,則x的取值范圍是.

例2化簡(jiǎn)二次根式

也V257^37

V12V48V50V54

V98V108715x4576x15

7322-162★y/a2-2a+1★>]a2-2ab+b2(a<b)

例3請(qǐng)問下列兩組二次根式分別是同類二次根式嗎?

⑴以2&、—⑵行、冊(cè)、5M

3

例4若最簡(jiǎn)二次根式〃必2a+5與j44+34是同類二次根式,求a、b的值。

例5計(jì)算

(1)3V2+V3-2V2—3A/3(2)5/54-3V24+5764--V216

2

(3)V8-(V3-1)0+-1|(4)1—11—5^|.

(5)3V12-3V3+-V48-V27(6)(2>/5-V3)2

2

★例6如果最簡(jiǎn)根式'"*"弋2m+4〃和Jl3-〃z是同類根式，求m,n的值。

【小試鋒芒】

1.（2008年武漢市）計(jì)算血的結(jié)果是（）.

A.2B.±2C.-2D.4

2.（2008常州市）若式子JTTM在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）

A.x>-5B.x<-5C.x#-5D.x》-5

3.（2008年湖北省荊州市）下列根式中屬最簡(jiǎn)二次根式的是（）

A.cC+1B.C.y/8D.,27

4.下列根式中，與痘是同類二次根式的是（）

A.>/2B.V3C.75I）.V7

5.在二次根式A，M，樂,夜，向中，與血是同類根式的個(gè)數(shù)為（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

6.已知二次根式J2a-4與&是同類二次根式,則a的值可以是（）

A.2B.3C.4D.5

7.（2008年重慶市）計(jì)算逐一五的結(jié)果是（）

A.6B.V6C.2D.72

8.（2008年大連市）若％=〃'一“產(chǎn)=八+石，則燈的值為（）

A.2&B.2后C.a+hD.a-b

9.若"一了?。，則x滿足（）

A.不為零B.任意數(shù)C.非負(fù)數(shù)D-非正數(shù)

10.若2?a?4,則|。一5|+河由7的值是（）

A.2a-7B.7~2aC.3D.-3

11.J而是整數(shù)，則正整數(shù)"的最小值是（）

A.4B.5C.6D.7

12.隨地震波而來的是地底積蓄已久的能量.因?yàn)槔锸险鸺?jí)并不像攝氏溫度一樣是等分

性的指標(biāo)，因此每?jī)杉?jí)地震所釋放的能量也相差巨大.根據(jù)里克特在1953年提出的公式

計(jì)算，每一級(jí)地震釋放的能量都是次一級(jí)地震的J麗倍.這意味著，里氏震級(jí)每高出

0.1級(jí)，就會(huì)多釋放出0.4125倍的能量（如7.8級(jí)比7.7級(jí)會(huì)多釋放出0.4125倍的能

量）.那么5月12日下午2時(shí)28分四川汶川地區(qū)發(fā)生的8.0級(jí)大地震與5月25日下午4

時(shí)21分四川青川一帶發(fā)生的6.4級(jí)余震相比，前次所釋放的能量約是后次的（）

A.22倍B.34倍C.40倍D.251倍

★13.化簡(jiǎn)J（/〃―5）2（4■?間,結(jié)果為（）

A.（m-5）v4-n?B.（5-in）\jA-m

C.（zM—5）＞/m—4D.（5—m）Vm—4

14.（2008嘉興市）使J仁有意義的x的取值范圍是.

15.（2008年安徽省）化簡(jiǎn)B。

16.（2008年南京市）計(jì)算Ji工一百的結(jié)果是.

17.若最簡(jiǎn)二次根式Jx+2y、J2x+3y+l為同類二次根式,則x+y=

18.已知最簡(jiǎn)二次根式11,和,2b-a+2是同類二次根式,則2=，b=

19.代數(shù)式3二日有意義,則x的范圍是-------

x-1

★20.已知出?<0，化簡(jiǎn)）法=---------

21.計(jì)算

（1）78（2）V20（3）V27（4）夜

(5)V56(6)V60(7)V64(8)屈

(10)V125

⑼y/15

(12)(1+擊

(11)#x#-5