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競賽試題選講之六:立體幾何一、選取題某些1.(吉林預(yù)賽)正方體ABCD-A1B1C1D1中,過頂點(diǎn)A1作直線l,使l與直線AC線BC1所成角均為60°,則這樣直線l條數(shù)為(C)A.1B.2C.3D.不不大于32.(陜西賽區(qū)預(yù)賽)如圖2,在正方體中,P為棱AB上一點(diǎn),過點(diǎn)P在空間作直線l,使l與平面ABCD和平面AB均成角,則這樣直線l條數(shù)為(B)A.1B.2C.33.(集訓(xùn)試題)設(shè)O是正三棱錐P-ABC底面是三角形ABC中心,過O動平面與PC交于S,與PA、PB延長線分別交于Q、R,則和式?() A.有最大值而無最小值? ? ?B.有最小值而無最大值?C.既有最大值又有最小值,兩者不等? ?D.是一種與面QPS無關(guān)常數(shù)解:設(shè)正三棱錐P-ABC中,各側(cè)棱兩兩夾角為α,PC與面PAB所成角為β,則vS-PQR=S△PQR·h=PQ·PRsinα)·PS·sinβ。另一方面,記O到各面距離為d,則vS-PQR=vO-PQR+vO-PRS+vO-PQS,S△PQR·d=△PRS·d+S△PRS·d+△PQS·d=PQ·PRsinα+PS·PRsinα+PQ·PS·sinα,故有:PQ·PR·PS·sinβ=d(PQ·PR+PR·PS+PQ·PS),即=常數(shù)。故選D。4.(江蘇)過空間一定點(diǎn)直線中,與長方體12條棱所在直線成等角直線共有(C) A.0條 B.1條 C.4條?D.無數(shù)多條5.(天津)已知為四周體側(cè)面內(nèi)一種動點(diǎn),且點(diǎn)與頂點(diǎn)距離等于點(diǎn)究竟面距離,那么在側(cè)面內(nèi),動點(diǎn)軌跡是某曲線一某些,則該曲線一定是?????? (D)??A.圓或橢圓 ??B.橢圓或雙曲線? C.雙曲線或拋物線???D.拋物線或橢圓6.(南昌市)四棱錐底面是單位正方形(按反時(shí)針方向排列),側(cè)棱垂直于底面,且=,記,則=(C)?A.?B.?C.?D.7.(浙江)正方體截平面不也許是:(1)鈍角三角形(2)直角三角形(3)菱形(4)正五邊形(5)正六邊形;下述選項(xiàng)對的是(B)?A.(1)(2)(5) B.(1)(2)(4)?C.(2)(3)(4)?D.(3)(4)(5)【解】正方體截平面可以是銳角三角形、等腰三角形、等邊三角形,但不也許是鈍角三角形,直角三角形(證明略);對四邊形來講,可以是梯形(等腰梯形)、平行四邊形、菱形,矩形、但不也許是直角梯形(證明略);對五邊形來講,可以是任意五邊形,不也許是正五邊形(證明略);對六邊形來講,可以是六邊形(正六邊形)。選【B】8.()如圖,為正方體。任作平面與對角線垂直,使得與正方體每個(gè)面均有公共點(diǎn),記這樣得到截面多邊形面積為S,周長為.則()A.S為定值,不為定值?B.S不為定值,為定值C.S與均為定值?D.S與均不為定值后,得到一種以平行平面為上、下底面幾何體V,V每個(gè)側(cè)面都是等腰直角三角形,截面多邊形W每一條邊分別與V底面上一條邊平行,將V側(cè)面沿棱剪開,展平在一張平面上,得到一種,而多邊形W周界展開后便成為一條與平行線段(如圖中),顯然,故為定值.?當(dāng)位于中點(diǎn)時(shí),多邊形W為正六邊形,而當(dāng)移至處時(shí),W為正三角形,易知周長為定值正六邊形與正三角形面積分別為與,故S不為定值。選B.9.(浙江省)在正邊形中,與所有邊均不平行對角線條數(shù)為(C)?A. B.?C.?D..解:正2n邊形,對角線共有條.計(jì)算與一邊平行對角線條數(shù),因,與平行對角線端點(diǎn)只能取自2n-4個(gè)點(diǎn),平行線共n-2條。故與某一邊平行對角線共n(n-2)條。由此可得與任何邊都不平行對角線共有n(2n-3)-n(n-2)=n(n-1)條。因而對的選項(xiàng)是C.1,3,510.(四川)如圖,一種立方體,它每個(gè)角都截去一種三棱錐,變成一種新立體圖形。那么在新圖形頂點(diǎn)之間連線中,位于原立方體內(nèi)部有120條.1,3,5解:據(jù)題意新立體圖形中共有24個(gè)頂點(diǎn),每兩點(diǎn)連一條線,?共,其中所有棱都在原立方體表面,有36條.原立方體每個(gè)面上有8個(gè)點(diǎn),除去棱以外,還可以連條,6個(gè)面共120條都在原立方體表面,除此之外直線都在原立方體內(nèi)部.1,3,51,3,5二、填空題某些1,3,51,3,51.(南昌市)棱長為1正四周體在水平面上正投影面積為,則最大值為__.2.(天津)在一種棱長為5正方體封閉盒內(nèi),有一種半徑等于1小球,若小球在盒內(nèi)任意地運(yùn)動,則小球達(dá)不到空間體積大小等于.3.(上海)在△ABC中,已知,過邊AC上一點(diǎn)D作直線DE,與邊AB或者BC相交于點(diǎn)E,使得,且DE將△ABC面積兩等分,則.4.(上海)在直三棱柱中,已知底面積為s平方米,三個(gè)側(cè)面面積分別為m平方米,n平方米,p平方米,則它體積為立方米.5.(陜西賽區(qū)預(yù)賽)用6根等長細(xì)鐵棒焊接成一種正四周體形框架,鐵棒粗細(xì)和焊接誤差不計(jì)設(shè)此框架能容納得下最大球半徑為,能包容此框架最小球半徑為,則等于.6.(江蘇)長方體中,已知,,則對角線取值范疇是.第7題圖7.()如圖,四周體DABC體積為,且滿足
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