江蘇省連云港市海州實(shí)驗(yàn)中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

江蘇省連云港市海州實(shí)驗(yàn)中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.已知兩條直線和互相平行，則等于（

）

A.1或-3

B.-1或3

C.1或3

D.-1或3參考答案：A因?yàn)橹本€的斜率存在且為，所以，所以的斜截式方程為，因?yàn)閮芍本€平行，所以且，解得或，選A.2.已知函數(shù)，則要得到其導(dǎo)函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)（

）（A）向左平移個單位長度

（B）向右平移個單位長度 （C）向左平移個單位長度

（D）向右平移個單位長度參考答案：A3.某方便面生產(chǎn)線上每隔15分鐘抽取一包進(jìn)行檢驗(yàn)，該抽樣方法為①，從某中學(xué)的40名數(shù)學(xué)愛好者中抽取5人了解學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)情況，該抽樣方法為②，那么①和②分別為A.①系統(tǒng)抽樣，②簡單隨機(jī)抽樣 B.①分層抽樣,②系統(tǒng)抽樣C.①系統(tǒng)抽樣,②分層抽樣 D.①分層抽樣,②簡單隨機(jī)抽樣參考答案：A4.若，則

(

）A．2

B．4

C．

D．10參考答案：A5.函數(shù)的圖象大致是（

）

參考答案：C略6.已知，則=().A.

B.

C.

D.參考答案：C因?yàn)?，所以，所以，，故選C.

7.設(shè)函數(shù)，其中則的展開式中的系數(shù)為（

）A．-360

B．360

C．-60

D．60參考答案：D8.如右圖，在中，，，是邊上的高，則的值等于

（

）A．0 B．

C．4 D．參考答案：B略9.一艘輪船從O點(diǎn)正東100海里處的A點(diǎn)處出發(fā)，沿直線向O點(diǎn)正北100海里處的B點(diǎn)處航行.若距離O點(diǎn)不超過r海里的區(qū)域內(nèi)都會受到臺風(fēng)的影響，設(shè)r是區(qū)間[50,100]內(nèi)的一個隨機(jī)數(shù)，則該輪船在航行途中會遭受臺風(fēng)影響的概率約為(

)（A）20.7% （B）29.3% （C）58.6% （D）41.4%參考答案：C【知識點(diǎn)】幾何概型因?yàn)楣蚀鸢笧椋篊10.函數(shù)f（x）=（log24x+1）﹣2的圖象（）A．關(guān)于x軸對稱 B．關(guān)于y軸對稱 C．關(guān)于原點(diǎn)對稱 D．關(guān)于y=x對稱參考答案：C【考點(diǎn)】3M：奇偶函數(shù)圖象的對稱性．【分析】根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)的奇偶性即可．【解答】解：f（x）=（log24x+1）﹣2=（2x+1）﹣2=，則函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故選：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知腰長為2的等腰直角中，為斜邊的中點(diǎn)，點(diǎn)為該平面內(nèi)一動點(diǎn)，若，則的最小值是

．參考答案：12.由曲線所圍成圖形的面積

..參考答案：13.已知函數(shù)的值域是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________________。參考答案：略14.已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則的模為

．參考答案：515.已知，且，則的最小值為

.參考答案：分析：由題意首先求得a-3b的值，然后結(jié)合均值不等式的結(jié)論整理計算即可求得最終結(jié)果，注意等號成立的條件.詳解：由可知，且：，因?yàn)閷τ谌我鈞，恒成立，結(jié)合均值不等式的結(jié)論可得：.當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.綜上可得的最小值為.

16.已知直線過圓的圓心，且與直線垂直，則直線的方程為

.參考答案：直線化為，所直線與它垂直，所以，所求直線的斜率為：＝1，又圓心為（0,3），由點(diǎn)斜式可得：17.設(shè)函數(shù)f（x）=，函數(shù)y=f[f（x）]﹣1的零點(diǎn)個數(shù)為．參考答案：2【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)；根的存在性及根的個數(shù)判斷．【分析】根據(jù)函數(shù)，根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，我們可以分類討論，化簡函數(shù)函數(shù)y=f[f（x）]﹣1的解析式，進(jìn)而構(gòu)造方程求出函數(shù)的零點(diǎn)，得到答案．【解答】解：∵函數(shù)，當(dāng)x≤0時y=f[f（x）]﹣1=f（2x）﹣1=﹣1=x﹣1令y=f[f（x）]﹣1=0，x=1（舍去）當(dāng)0＜x≤1時y=f[f（x）]﹣1=f（log2x）﹣1=﹣1=x﹣1令y=f[f（x）]﹣1=0，x=1當(dāng)x＞1時y=f[f（x）]﹣1=f（log2x）﹣1=log2（log2x）﹣1令y=f[f（x）]﹣1=0，log2（log2x）=1則log2x=2，x=4故函數(shù)y=f[f（x）]﹣1的零點(diǎn)個數(shù)為2個故答案為：2三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題13分）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，其左、右焦點(diǎn)分別為，短軸長為.點(diǎn)在橢圓上，且滿足的周長為（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，試問在軸上是否存在一個定點(diǎn)，使得恒為定值？若存在，求出該定值及點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.參考答案：：（I）由題意可知：，解得

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（II）設(shè).設(shè)直線的方程為：（存在）

聯(lián)立得:

則

又

=

=

而

=

=

=為定值。

只需，解得：，從而=.

當(dāng)不存在時，

此時，當(dāng)時，=

故：存在，使得19.數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，且成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和參考答案：（1）（2）試題分析：（1）由通項(xiàng)與和項(xiàng)關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)公式，需注意分類討論，即，而由得數(shù)列成等比是不充分的，需強(qiáng)調(diào)每一項(xiàng)不為零，這就必須求出首項(xiàng)（2）因?yàn)?，所以一般利用裂?xiàng)求和：，即∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）由（1）知，∴，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考點(diǎn)：由通項(xiàng)與和項(xiàng)關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)相消法求和【方法點(diǎn)睛】給出Sn與an的遞推關(guān)系求an，常用思路是：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系，再求其通項(xiàng)公式；二是轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系，先求出Sn與n之間的關(guān)系，再求an.應(yīng)用關(guān)系式an＝時，一定要注意分n＝1，n≥2兩種情況，在求出結(jié)果后，看看這兩種情況能否整合在一起.20.（本小題滿分12分）已知函數(shù)

的圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為.（1）求值；（2）若，且有且僅有一個實(shí)根，求實(shí)數(shù)的值.參考答案：解：（1）

（2）易知，，21.已知函數(shù)f（x）=（1）當(dāng)a≥1時，求f（x）在[0，e]（e為自然對數(shù)的底數(shù)）上的最大值；（2）對任意的正實(shí)數(shù)a，問：曲線y=f（x）上是否存在兩點(diǎn)P，Q，使得△POQ（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在y軸上？參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）當(dāng)0≤x＜e時，求導(dǎo)函數(shù)，可得f（x）在區(qū)間[0，e]上的最大值；（2）假設(shè)曲線y=f（x）上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求，則點(diǎn)P、Q只能在y軸兩側(cè)．設(shè)P、Q的坐標(biāo)，由此入手能得到對任意給定的正實(shí)數(shù)a，曲線y=f（x）上存在兩點(diǎn)P、Q，使得△POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在y軸上．【解答】解：（1）∵f（x）=，當(dāng)0≤x＜1時，f′（x）=﹣3x2+2x=﹣3x（x﹣），令f'（x）＞0，解得：0≤x＜，令f′（x）＜0，解得：＜x＜1，故f（x）在[0，）遞增，在（，1）遞減，而f（）=，∴f（x）在區(qū)間[0，1）上的最大值為，1≤x＜e時，f（x）=alnx，f′（x）=＞0，f（x）在[1，e]遞增，f（x）max=f（e）=a≥1，綜上f（x）在[0，e]的最大值是a；（2）曲線y=f（x）上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求，則點(diǎn)P，Q只能在y軸的兩側(cè)，不妨設(shè)P（t，f（t））（t＞0），則Q（﹣t，t3+t2），顯然t≠1，∵△POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，∴?=0，即﹣t2+f（t）（t3+t2）=0．（1）是否存在兩點(diǎn)P、Q等價于方程（1）是否有解．若0＜t＜1，則f（t）=﹣t3+t2，代入（1）式得，﹣t2+（﹣t3+t2）（t3+t2）=0，即t4﹣t2+1=0，而此方程無實(shí)數(shù)解，因此t＞1．∴f（t）=alnt，代入（1）式得，﹣t2+（alnt）（t3+t2）=0，即=（t+1）lnt．（*），考察函數(shù)在h（x）=（x+1）lnx（x≥1），則h′（x）=lnx++1＞0，∴h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，∵t＞1，∴h（t）＞h（1）=0，當(dāng)t→+∞時，h（t）→+∞，∴h（t）的取值范圍是（0，+∞）．∴對于a＞0，方程（*）總有解，即方程（1）總有解．因此對任意給定的正實(shí)數(shù)a，曲線y=f（x）上總存在兩點(diǎn)P、Q，使得△POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在y軸上．22.(本小題10分）選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的

正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線的極坐標(biāo)方程

為,過點(diǎn)(-2，-4)的直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線與曲線相交于兩點(diǎn)．（Ⅰ）寫出曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程；（Ⅱ）若，求的值．參考答案：解：(1)由ρsin2θ=2acosθ(a>0)得ρ2sin2θ=2aρcosθ(a>0)∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為y2=2ax(a>0)………2分直線l的普通方程為y=x-2…………………4分(2)將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程y2=2ax中，得t2-2(4+a)t+