文科考研第六章無窮級(jí)數(shù)課件

第六章

無窮級(jí)數(shù)11、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)的部分和定義級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散2性質(zhì)1:級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù),斂散性不變.性質(zhì)2:收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減.性質(zhì)3:在級(jí)數(shù)前面加上有限項(xiàng)不影響級(jí)數(shù)的斂散性.性質(zhì)4:收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)仍然收斂于原來的和.級(jí)數(shù)收斂的必要條件:收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)3定義2、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法充分必要條件:(1)比較審斂法5比較審斂法的極限形式：,設(shè)?￥=1nnu與?￥=1nnv都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)如果,當(dāng)時(shí);則(1)兩級(jí)數(shù)有相同的斂散性(3)當(dāng)時(shí),若?￥=1nnv發(fā)散,則?￥=1nnu發(fā)散;(2)當(dāng)時(shí)，若收斂,則收斂;6以下兩個(gè)級(jí)數(shù)是常用的比較對(duì)象：

7定義

正、負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù).3、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法9定義正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級(jí)數(shù)稱為任意項(xiàng)級(jí)數(shù).4、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法105、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(1)定義(2)收斂點(diǎn)與收斂域否則稱為發(fā)散點(diǎn).11(1)定義5、冪級(jí)數(shù)13(3)收斂半徑

14(4)和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì)：且收斂半徑仍為R.

156、冪級(jí)數(shù)展開式(1)定義17(2)充要條件(3)唯一性18(3)展開方法a.直接法(泰勒級(jí)數(shù)法)步驟:b.間接法根據(jù)唯一性,利用常見展開式,通過變量代換,四則運(yùn)算,恒等變形,逐項(xiàng)求導(dǎo),逐項(xiàng)積分等方法,求展開式.19(

α

不為正整數(shù))21典型例題題型1：判定數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性例1判別下列級(jí)數(shù)的收斂性：解所以原級(jí)數(shù)發(fā)散．22解例2用比值審斂法,

所以級(jí)數(shù)收斂。23解例3【評(píng)注】25解例4從而原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.

由基本不等式可知，

【答案】應(yīng)選(B).

26解例7【答案】應(yīng)選(D).29解例730解例8所以原級(jí)數(shù)也發(fā)散.

31例9【答案】應(yīng)選(B).

32例9【評(píng)注】應(yīng)了解以下結(jié)論：

33解例10收斂級(jí)數(shù)加括號(hào)仍收斂，故(D)正確.

由性質(zhì)：正項(xiàng)級(jí)數(shù)加括號(hào)或去括號(hào)不改變其斂散性，可判定(C)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的.

34解即原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂．一方面,是條件收斂還是絕對(duì)收斂？例1135由萊布尼茨定理知,另一方面,故原級(jí)數(shù)是條件收斂．36解例1237由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法知,原級(jí)數(shù)收斂.

本題這種放大通項(xiàng)的辦法,有一定的難度.

例1238題型2：求冪級(jí)數(shù)的收斂域例1解【評(píng)注】也可以這樣求解：39解例2【答案】應(yīng)選(A).

40解例341解例4收斂半徑

4243題型3：求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)例1解由一階線性方程的通解得

44于是45例2解逐項(xiàng)求導(dǎo)得

464748例3解兩邊0到x積分，得

導(dǎo)數(shù)左正右負(fù)，

49例4解50所以51例5解525354答案:類題[Ⅰ05(16)12]55題型4：求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和例1解56解例2(Ⅰ93五7)57例3解58xyo59例4解所以考慮冪級(jí)數(shù)

所以60解例5(1)所以級(jí)數(shù)收斂；

(2)用比值判別法，61(2)和函數(shù)

62所以于是63題型5：將函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)例1解64例2解65解例3試將函數(shù)

展開成x的冪級(jí)數(shù),并指出其收斂域.(Ⅰ94三5)

所以66答案:類題(Ⅰ03四12