2023新高考新教材版數(shù)學(xué)高考第二輪復(fù)習(xí)-8

2023新高考新教材版數(shù)學(xué)高考第二輪復(fù)習(xí)

8.3直線、平面垂直的判定與性質(zhì)

考點(diǎn)直線、平面垂直的判定與性質(zhì)

1.（2015安徽理,5,5分）已知m,n是兩條不同直線,a邛是兩個(gè)不同平面,則下列命題正確的是（）

A.若a,B垂直于同一平面,貝（Ja與。平行

B.若m,n平行于同一平面，則加與n平行

C.若a,B不平行，則在a內(nèi)不存在與0平行的直線

D.若m,n不平行,則m與n不可能垂直于同一平面

答案D若a,B垂直于同一個(gè)平面Y，則a,B可以都過(guò)Y的同一條垂線,即a,6可以相交，故A錯(cuò);若叫n平行于同一個(gè)平面,則m

與n可能平行,也可能相交,還可能異面，故B錯(cuò);若a,B不平行，則a,B相交,設(shè)aC附，在a內(nèi)存在直線a,使a〃1,則a〃,故C

錯(cuò);從原命題的逆否命題進(jìn)行判斷,若m與n垂直于同一個(gè)平面,由線面垂直的性質(zhì)定理知m〃n,故D正確.

2.（2015浙江文,4,5分）設(shè)a,0是兩個(gè)不同的平面,1,m是兩條不同的直線,且lua,mu0.（）

A.若1_L0,貝！|a_LBB.若aJ_p，貝［I1_Lm

C.若1〃B，貝!la〃Ba若?！?貝ul〃m

答案A對(duì)于選項(xiàng)A,由面面垂直的判定定理可知選項(xiàng)A正確:對(duì)于選項(xiàng)B,若aB，lua,mu0,貝！J1與m可能平行,可能相交,

也可能異面,所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C,當(dāng)J平行于a與0的交線時(shí),1//0,但此時(shí)a與B相交，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤：對(duì)于選項(xiàng)D,若

a〃0,則1與m可能平行,也可能異面,所以選項(xiàng)I）錯(cuò)誤.故選A.

3.（2015廣東,6,5分）若直線L和L是異面直線,1,在平面a內(nèi),L在平面。內(nèi)，1是平面a與平面B的交線，則下列命題正確的是

（）

A.1與L,L都不相交

B.1與L,k都相交

C.1至多與I”L中的一條相交

D.1至少與L,L中的一條相交

答案D解法一:如圖1,1與L是異面直線,L與1平行,1與1相交，故A,B不正確;如圖2,1與L是異面直線,L,L都與1

相交，故C不正確，選D.

第1頁(yè)共16頁(yè)

圖1圖2

解法二:因?yàn)椤糠謩e與11,1,共畫(huà)故1與L,k要么都不相交,要么至少與1?中的一條相交若1與I）,k都不相交，則1〃h,1

〃L,從而h〃L,與L,L：是異面直線矛盾，故1至少與L,L中的一條相交，選D.

4.（2014遼寧,4,5分）已知m,n表示兩條不同直線,a表示平面.下列說(shuō)法正確的是（）

A.若m//a,n〃C（，則m〃n

B.若m±a,nca,則m±n

C.若m±a,m_Ln，則n〃a

D.若m//a,m_Ln，貝!Jn±a

答案B若m〃a,n〃a,則m與n可能平行、相交或異面故A錯(cuò)誤;B正確;若mJ_a,m_Ln,則n〃a或nua,故C錯(cuò)誤;若m〃

a,m±n,則n與a可能平行、相交或nca,故D錯(cuò)誤.因此選B.

5.（2014廣東理7,5分）若空間中四條兩兩不同的直線L,12,滿足12±13,13±1.?則下列結(jié)論一定正確的是（）

A.1]_LIt

B.L〃L

C.L與1；既不垂直也不平行

D.L與1；的位置關(guān)系不確定

答案D由L_U2,k_LL可知L與晨的位置不確定，

若L〃h,則結(jié)合L_Lh,得li-L11,所以排除選項(xiàng)B、C,

若1.1U則結(jié)合知L與L可能不垂直,所以排除選項(xiàng)A.故選D.

評(píng)析本題考查了空間直線之間的位置關(guān)系,考查學(xué)生的空間想象能力、思維的嚴(yán)密性.

6.（2014浙江文,6,5分）設(shè)m,n是兩條不同的直線,a,B是兩個(gè)不同的平面.（）

A.若m±n,n〃a,貝Um±a

B.若m〃0,0_La則m_La

C.若m±P，n±P，n_La,則m±a

D.若m±n,n_L0,0J_a,貝！]m_La

答案C對(duì)于選項(xiàng)A、B、D,均能舉出m〃a的反例;對(duì)于選項(xiàng)C,若01_10,n_L0，則田〃11,又門(mén)_10（,故選C.

7.（2013課標(biāo)n理,4,5分）已知m,n為異面直線,mJ_平面an_L平面0.直線1滿足Um,lln,Rd,郵,貝！1（）

A.a〃0且l〃a

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B.a_L0且1_L0

C.a與0相交,且交線垂直于1

D.a與伊目交,且交線平行于1

答案D若a〃因則m〃n,這與叭n為異面直線矛盾,所以A不正確,a與0相交.將已知條件轉(zhuǎn)化到正方體中,易知a與0不一

定垂直，但a與B的交線一定平行于1,從而排除B、C.故選I）.

導(dǎo)師點(diǎn)睛對(duì)于此類題,放入正方體中判斷起來(lái)比較快捷.

8.（2013廣東理,6,5分）設(shè)m,n是兩條不同的直線,a,0是兩個(gè)不同的平面.下列命題中正確的是（）

A.若aJ_0,mea,nc0,則m±n

B.若?！?,mea,nc0,則m〃n

C.若m±n,mea,nc0,則a_L0

D.若mJ_a,m//n,n〃0,則a_L0

答案D若a-LB，mua,nu0,則m與n可能平行，故A錯(cuò);若a〃0,mua,nu0,則m與n可能平行,也可能異面故B錯(cuò);若m

±n,mea,nc自貝！Ja與0可能相交,也可能平行，故C錯(cuò);對(duì)于D項(xiàng),由m±a,m〃n,得n±a,又知n〃自故a邛,所以D項(xiàng)正確.

9.（2011遼寧理,8,5分）如圖,四棱錐S-ABCD的底面為正方形,SD_L底面ABCD,則下列結(jié)論中不正確的是（）

A.AC1SB

B.AB〃平面SCD

C.SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角

D.AB與SC所成的角等于DC與SA所成的角

答案D一.四邊形ABCD是正方形,，AC_LBD.

又底面ABCD,.-.SD1AC.

其中SDCB2D,「.ACJl面SDB,從而AC_LSB.故A正確.易知B正確.

設(shè)AC與DB交于0點(diǎn)，連接S0.

則SA與平面SBD所成的角為NASO,SC與平面SBD所成的角為NCSO,

又OA=OC,SA=SC,.".ZAS0=ZCS0.故C正確.

由排除法可知選1）.

評(píng)析本題主要考查了線面平行與垂直的判斷及線面角、線線角的概念.屬中檔題.

10.（2016浙江,2,5分）已知互相垂直的平面a邛交于直線1.若直線叫n滿足m〃a,n_LB，則（)

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A.m/71B.m//nC.n±lD.m±n

答案Cvanp=l,.\lcp,-/n±p,/.n±l.KiSC.

11.（2016課標(biāo)口，14,5分）a,B是兩個(gè)平面,m,n是兩條直線，有下列四個(gè)命題：

①如果m±n,m±a,n〃0,那么a_L0.

②如果mla,n〃a,那么mln.

③如果a〃0,mea,那么m〃"

④如果m〃n,a//p,那么m與a所成的角和n與0所成的角相等.

其中正確的命題有.（填寫(xiě)所有正確命題的編號(hào)）

答案②③④

解析若m_Ln,m_La,n〃因則a與0可能平行或相交,故①錯(cuò)誤;②顯然成立;若0（〃因mea,則ni與0無(wú)公共點(diǎn),因而m//0,故③

正確;由線面角的定義、等角定理及面面平行的性質(zhì)可知④正確.

12.（2015陜西18,12分）如圖1,在直角梯形ABCD中,AD〃BC,NBAD=]AB=BC=%D=a,E是AD的中點(diǎn),0是AC與BE的交點(diǎn)將

△ABE沿BE折起到圖2中△ABE的位置,得到四棱錐ArBCDE.

⑴證明:CDJL平面AiOC;

⑵當(dāng)平面ABE平面BCDE時(shí),四棱錐A.-BCDE的體積為36位,求a的值

解析⑴證明:在題圖1中，

1

因?yàn)锳B=BC=-AD=a,E是AD的中點(diǎn)，

ZBAD=2所以BE1AC.

即在題圖2中,BE±A,O,BE±OC,

XA,onoc=o,

從而B(niǎo)E_L平面AiOC,

又CD〃BE,

所以CD_L平面AiOC.

⑵由已知,平面A】BE_L平面BCDE,

第4頁(yè)共16頁(yè)

且平面A,BECl平面BCDE=BE,

又由（1）知,A,01BE,

所以AQ_L平面BCDE,

即AQ是四棱推ALBCDE的高.

由題圖1知,AQ=：AB=￥a,平行四邊形BCDE的面積

S=BC-AB=a2.

從而四棱錐ALBCDE的體積為

V=：xSxAQ=tXax~a='^a',

3326

由^^'=360,得a=6.

6

評(píng)析本題首先借“折疊”問(wèn)題考查空間想象能力，同時(shí)考查線面垂直的判定及面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用.

13.（2015福建,20,12分）如圖,AB是圓0的直徑，點(diǎn)C是圓0上異于A,B的點(diǎn),P0垂直于圓0所在的平面,且PO=OB=1.

⑴若D為線段AC的中點(diǎn)求證:AC1平面PDO;

⑵求三棱推P-ABC體積的最大值；

⑶若BC=VI點(diǎn)E在線段PB上,求CE+OE的最小值.

解析⑴證明:在△AOC中,因?yàn)镺A=OC,I）為AC的中點(diǎn),所以AC1D0.

又P0垂直于圓。所在的平面,

所以PO±AC.

因?yàn)镈onpo=o,

所以AC_L平面PDO.

（2）因?yàn)辄c(diǎn)C在圓0上，

所以當(dāng)CO±AB時(shí),C到AB的距離最大,且最大值為1.

1

又AB=2,所以AABC面積的最大值為2X1=1.

又因?yàn)槿馔芇-ABC的高P0=l,

故三棱錐P-ABC體積的最大值為$1x1=1

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(3)解法一：在APOB中,PO=OB=1,ZP0B=90°,

所以I>B=V12+12=V2.同理,PC=V2,所以PB=PC=BC.

在三棱錐P-ABC中,將側(cè)面BCP繞PB所在直線旋轉(zhuǎn)至平面BCP,使之與平面ABP共面,如圖所示.

當(dāng)0,E,C'共線時(shí),CE+OE取得最小值.

又因?yàn)镺P=OB,C'P=C'B,所以0C,垂直平分PB,

即E為PB中點(diǎn)從而0C'=OE+EC'考半空翌

亦即CE+OE的最小值為與&

解法二:在△POB中,PO=OB=1,ZP0B=90",

所以N0PB=45。,PB=V12+12=V2.同理PC=V2.

所以PB=PC=BC,所以NCPB=60°.

在三棱錐P-ABC中,將側(cè)面BCP繞PB所在直線旋轉(zhuǎn)至平面BC'P,使之與平面ABP共面,如圖所示.

當(dāng)0,E,C共線時(shí),CE+OE取得最小值.

所以在△()(：'P中,由余弦定理得：

0C2=1+2-2x1xV2xcos(45°+60°)

=1+2-26(yX|-yXy)=2+V3.

從而oc=5/2+75=0歲.

所以CE+OE的最小值為亨+半.

評(píng)析本題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、錐體的體積等基礎(chǔ)知識(shí),考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考

查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.

14.(2014福建文，19,12分)如圖,三棱錐A-BCD中,AB_L平面BCD,CD1BD.

⑴求證:CD1.平面ABD;

(2)若AB二BD=CD=1,M為AD中點(diǎn),求三棱推A-MBC的體積.

第6頁(yè)共16頁(yè)

解析⑴證明:〈AB，平面BCD,CDc平面BCD,/.AB±CD.

又,「CDLBD,ABnBD=B,ABc平面ABD,BDc平面ABD,

「.CD1平面ABD.

⑵解法一：由ABJ_平面BCD,得AB_LBD.

,/AB=BD=1,

???M是AD的中點(diǎn)，

、1,1

24

由（1）知,CDJ_平面ABD,

「?三棱錐C-ABM的高h(yuǎn)=CD二1,

因此VA-MM^VC-ABF-SAAUM?h=—.

解法二:由AB_L平面BCD知,平面ABD_L平面BCD,

又平面ABD0平面BCD=BD,

如圖,過(guò)點(diǎn)M作MN1BD交BI）于點(diǎn)\

則MN_L平面BCD,且\IN=|AB=^,

又CD_LBD,BD=CD=1,

?'?SABCD332-

..?三棱錐A-MBC的體積V,WC=VAK：P-VMIO

第7頁(yè)共16頁(yè)

=#B,SziKI)-^MN?S&KD=~.

15.(2014山東文,18,12分)如圖,四棱錐P-ABCD中,AP_L平面PCD,AD〃BC,AB=BC=1AD,E,F分別為線段AD,PC的中點(diǎn).

⑴求證:AP〃平面BEF;

(2)求證:BE_L平面PAC.

合正B月(l)1gACnBE=0,iS^OF,EC.

由于E為AD的中點(diǎn)，

AB=BC=1AD,AD/7BC,

所以AE/7BC,AE=AB=BC,

因此四邊形ABCE為菱形，

所以0為AC的中點(diǎn).

又F為PC的中點(diǎn)，

因此在APAC中，

可得AP〃OF.

又OFc平面BEF,AP4平面BEF,

所以AP〃平面BEF.

(2)由題意知ED〃BC,ED=BC,

所以四邊形BCDE為平行四邊形,

因此BE/7CD.

又AP_L平面PCD,CDc平面PCD,

所以AP_LCD,因此AP_LBE.

因?yàn)樗倪呅蜛BCE為菱形，

所以BE1AC.

又APnAC=A,AP,ACc平面PAC,

第8頁(yè)共16頁(yè)

所以BE_L平面PAC.

16.(2014廣東文，18,13分)如圖1,四邊形ABCD為矩形,PDJ.平面ABCD,AB=1,BC=PC=2.作如圖2折疊:折痕EF〃DC,其中點(diǎn)E,F

分別在線段PD,PC上，沿EF折疊后點(diǎn)P在線段AD上的點(diǎn)記為M,并且MF1CF.

⑴證明:CF_L平面MDF;

(2)求三棱錐M-CDE的體積.

解析⑴證明:；PD_L平面ABCD,

ADc平面ABCD,.,.PD1AD.

??四邊形ABCI）是矩形,...ADLDC.

X-.'PDnDC=D,.-.AD±S]Z?PCD.

???CFc平面PCD,，AD_LCF.

又?JMFJLCF,MFCAD=M,

平面MDF.

⑵由（1）知CF_LDF,PD±DC,

在ZXPCD在DC2=CF-PC.

CD21

又「EF〃DC,

.PCFC、V5

,'PD'ED^PC~2-V

.?.PE=ME=W乎竽，

11V3V3

.'.SACI?=-DC?ED=-X1X—.

2248

在RtAMDE中,MD=<ME2-ED2=y,

1°“ci6面魚(yú)

x

UCMACM?MD=-x-

?'?V-=□-SOO￡lb

17.（2013廣東文,18,14分）如圖1,在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形ABC中,D,E分別是AB,AC上的點(diǎn),AD=AE,F是BC的中點(diǎn),AF與DE

交于點(diǎn)G.將AABF沿AF折起,得到如圖2所示的三棱錐卜BCF,其中BC=y.

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圖1

圖2

⑴證明:DE〃平面BCF;

⑵證明:CF_L平面ABF;

2

⑶當(dāng)ADq時(shí),求三棱推1-DEG的體積

AnAP

解析⑴證明:在等邊三角形ABC中,AD=AE,.?.市二〒,在折疊后的三棱錐A-BCF中也成立,「.DE〃BC,?「DEQ平面BCF,BCc平面

DBEC

BCF,「.DE〃平面BCF.

⑵證明:在等邊三角形ABC中，卜是BC的中點(diǎn)

.'.AF1BC,BF=CF=i

,.在三麒A-BCF中,BC=y,

.-.BC2=BF2+CF2,/.CF1BF.

；BFCAF=F,"F，平面ABF.

(3)由(I)可知GE//CF,結(jié)合⑵可得GEI平面DFG.

11]11/]]-/2

.,.VK-Dre=VEM,r.=---?DG?FG?GE=-?---?(--—),^=777-

32323\32/3324

評(píng)析本題考查線面平行、線面垂直的證明以及空間幾何體體積的計(jì)算,考查立體幾何中翻折問(wèn)題以及學(xué)生的空間想象能力和

邏輯推理論證能力.抓住翻折過(guò)程中的不變量是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵，第(3)問(wèn)的關(guān)鍵在于對(duì)幾何體的轉(zhuǎn)化.

18.(2012北京文,16,14分)如圖1,在RtAABC中，ZC=90°,D,E分別為AC,AB的中點(diǎn),點(diǎn)1-為線段CD上的一點(diǎn).將AADE沿DE

折起到AADE的位置，使A,F±CD,如圖2.

⑴求證:DE〃平面A￡B;

⑵求證:AF_LBE;

(3)線段A,B上是否存在點(diǎn)Q,使A,C_L平面DEQ?說(shuō)明理由.

第10頁(yè)共16頁(yè)

解析⑴證明:因?yàn)镈,E分別為AC,AB的中點(diǎn),

所以DE/7BC.

又因?yàn)镈E。平面ACB,

所以DE〃平面AiCB.

⑵證明：由已知得AC_LBC且DE〃BC,

所以DE±AC.

所以DE_LARDE_LCD.

因?yàn)锳,DCiCD=D,所以DE_L平面A,DC.

而A,Fc平面A,DC,

所以DE±A,F.

又因?yàn)锳iFICD,CDnDE=D,

所以平面BCDE.

所以A,F±BE.

(3)線段A,B上存在點(diǎn)Q,使AC,平面DEQ.理由如下:

如圖,分別取A,C,A,B的中點(diǎn)P,Q,連接PQ,則PQ〃BC.

又因?yàn)镈E〃BC,

所以DE〃PQ.

所以平面DEQ即為平面DEP.

由⑵知,DEJ_平面AiDC,

所以DE±A,C.

又因?yàn)镻是等腰三角形DA,C底邊A,C的中點(diǎn),

第11頁(yè)共16頁(yè)

所以ACJJ)P.

所以A,CJ_平面DEP.

即A￡_L平面DEQ.

故線段A,B上存在點(diǎn)Q,使得A￡J"平面DEQ.

評(píng)析本題的前兩問(wèn)屬容易題，第(3)問(wèn)是創(chuàng)新式問(wèn)法,可以先猜后證，此題對(duì)于知識(shí)掌握不牢靠的學(xué)生而言，可能不能順利解

答.

19.(2019課標(biāo)HI文，19,12分)圖1是由矩形ADEB,RtAABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形,其中AB=1,BE=BF=2,ZFBC=60".

將其沿AB,BC折起使得BE與BE重合,連接DG,如圖2.

⑴證明:圖2中的A,C,G,D四點(diǎn)共面,且平面ABCJL平面BCGE;

(2)求圖2中的四邊形ACGD的面積.

解析本題考查了線面、面面垂直問(wèn)題，通過(guò)翻折、平面與平面垂直的證明考查了空間想象能力和推理論證能力，考查了直觀

想象的核心素養(yǎng).

(1)由已知得AD〃BE,CG〃BE,所以AD/7CG,故AD,CG確定一個(gè)平面,從而A,C,G,I)四點(diǎn)共面.

由已知得AB1BE,AB1BC,故AB_L平面BCGE.

又因?yàn)锳Bc平面ABC,所以平面ABC_L平面BCGE.

⑵取CG的中點(diǎn)M,連接EM,DM.

因?yàn)锳B/ZDE,ABJL平面BCGE,所以1比_1_平面BCGE,故DE_LCG.

由已知,四邊形BCGE是菱形,且NEBC=60°得EM1CG,故CGJ_平面DEM.

因此DMXCG.

在RtADEM中,DE=1,EM=?,故DM=2.

所以四邊形ACGD的面積為4.

第12頁(yè)共16頁(yè)

思路分析（1）翻折問(wèn)題一定要注意翻折前后位置的變化,特別是平行、垂直的變化.由矩形、直角三角形中的垂直關(guān)系,利用

線面垂直、面面垂直的判定定理可證兩平面垂直;而由平行公理和平面的基本性質(zhì)不難證明四點(diǎn)共面.（2）根據(jù)菱形的特征結(jié)合

（1）的結(jié)論找到菱形BCGE的邊CG上的高求解.

解題關(guān)鍵抓住翻折前后的垂直關(guān)系,靈活轉(zhuǎn)化線線垂直、線面垂直和面面垂直，題中構(gòu)造側(cè)棱的特殊"直截面"ADEM,是本

題求解的關(guān)鍵和難點(diǎn).

20.（2018北京文,18,14分）如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,平面PAD_L平面ABCD,PAXPD,PA=PD,E,F分別為AD,PB

的中點(diǎn).

⑴求證:PE_LBC;

（2）求證:平面PABJ_平面PCD;

⑶求證:EF〃平面PCD.

￡1證明（D因?yàn)镻A=PD,E為AD的中點(diǎn),

所以PE±AD.

因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，

所以BC〃AD.

所以PE1BC.

（2）因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，

所以AB_LAD.

又因?yàn)槠矫鍼AD_L平面ABCD,

所以AB_L平面PAD.

所以AB±PD.

又因?yàn)镻A±PD,

所以PD_L平面PAB.

所以平面PABJ"平面PCD.

⑶取PC中點(diǎn)G,連接FG,DG.

第13頁(yè)共16頁(yè)

p

因?yàn)镕,G分別為PB,PC的中點(diǎn)，

所以FG〃BC,FG=^BC.

因?yàn)锳BCD為矩形,且E為AD的中點(diǎn)，

所以DEZ/BC,DE=^BC.

所以DE〃FG,DE=FG.

所以四邊形DEFG為平行四邊形.

所以EF〃DG.

又因?yàn)镋FG平面PCD,DGc平面PCD,

所以EF〃平面PCD.

21.(2017課標(biāo)m文,19,12分)如圖，四面體ABCD中，AABC是正三角形,AD=CD.

(1)證明:AC_LBD;

(2)已知4ACD是直角三角形,AB=BD.若E為棱BD上與D不重合的點(diǎn),且AE_LEC,求四面體ABCE與四面體ACDE的體積比.

解析⑴證明:取AC的中點(diǎn)0,連接DO,B0.

因?yàn)锳D=CD,所以AC1D0.

又由于△ABC是正三角形,所以AC1B0.

因?yàn)镈0nB0=0,

所以AC_L平面DOB,

因?yàn)锽Dc平面DOB,

所以AC_LBD.

⑵連接E0.

由(1)及題設(shè)知NADC=90°,

所以DO=AO.

第14頁(yè)共16頁(yè)

在RtAAOB中，BO2+AO2=AB*.

又AB=BD,所以B02+D02=B0-+A02=AB2=BD2,

故ND0B=90".

由題設(shè)知4AEC為直角三角形，

所以EO=#C.

又aABC是正三角形,且AB=BI),

所以EO=jBD.

11

故E為BI)的中點(diǎn),從而E到平面ABC的距離為I)到平面ABC的距離的5,四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的,即四面

體ABCE與四面體ACDE的體積之比為1:1.

22.(2016江蘇,16,14分)如圖,在直三棱柱AB