因式分解高級(jí)篇十字相乘

一、提公因式法

只需找到多項(xiàng)式中的公因式，然后用原多項(xiàng)式除以公因式，把所得的商與公因式相乘即可。往往與其他方法結(jié)合起來(lái)用。提公因式法隨堂練習(xí)：1）15(m–n)+13(n–m)2）4(x+y)+4(x–3y)第1頁(yè)/共24頁(yè)第一頁(yè)，共25頁(yè)。二、公式法

只需發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，再將符合其形式的公式套進(jìn)去即可完成因式分解，有時(shí)需和別的方法結(jié)合或多種公式結(jié)合。接下來(lái)是一些常用的乘法公式，可以逆用進(jìn)行因式分解。第2頁(yè)/共24頁(yè)第二頁(yè)，共25頁(yè)。常用公式1、(a+b)(a–b)=a2–b2（平方差公式）2、(a±b)2=a2±2ab+b2（完全平方公式）3、(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc4、a3+b3=(a+b)(a2–ab+b2)（立方和公式）及

a3–b3=(a–b)(a2+ab+b2)（立方差公式）5、(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3（完全立方和公式）6、(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq7、x2+y2+z2+xy+xz+yz公式推導(dǎo)第3頁(yè)/共24頁(yè)第三頁(yè)，共25頁(yè)。三、十字相乘法①前面出現(xiàn)了一個(gè)公式：(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq我們可以用它進(jìn)行因式分解（適用于二次三項(xiàng)式）例1：因式分解x2+4x+3可以看出常數(shù)項(xiàng)3=1×3而一次項(xiàng)系數(shù)4=1+3∴原式=(x+1)(x+3)暫且稱為p、q型因式分解第4頁(yè)/共24頁(yè)第四頁(yè)，共25頁(yè)。例2：因式分解x2–7x+10可以看出常數(shù)項(xiàng)10=(–2)×(–5)而一次項(xiàng)系數(shù)–7=(–2)+(–5)∴原式=(x–2)(x–5)這個(gè)公式簡(jiǎn)單的說(shuō)，就是把常數(shù)項(xiàng)拆成兩個(gè)數(shù)的乘積，而這兩個(gè)數(shù)的和剛好等于一次項(xiàng)系數(shù)十字相乘法①隨堂練習(xí)：1）a2–6a+52）a2–5a+63）x2–(2m+1)x+m2+m–2特點(diǎn)：二次項(xiàng)系數(shù)為1第5頁(yè)/共24頁(yè)第五頁(yè)，共25頁(yè)。三、十字相乘法②試因式分解6x2+7x+2。這里就要用到十字相乘法（適用于二次三項(xiàng)式）。既然是二次式，就可以寫(xiě)成(ax+b)(cx+d)的形式。(ax+b)(cx+d)=所以，需要將二次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)分別拆成兩個(gè)數(shù)的積，而這四個(gè)數(shù)中，兩個(gè)數(shù)的積與另外兩個(gè)數(shù)的積之和剛好等于一次項(xiàng)系數(shù)，那么因式分解就成功了。acad+bcbd第6頁(yè)/共24頁(yè)第六頁(yè)，共25頁(yè)。=173x2+11x+106x2+7x+223124+3=7∴6x2+7x+2=(2x+1)(3x+2)13522+15=1113255+6∴3x2+11x+10=(x+2)(3x+5)(ax+b)(cx+d)=acad+bcbd第7頁(yè)/共24頁(yè)第七頁(yè)，共25頁(yè)。=–65x2–6xy–8y2試因式分解5x2–6xy–8y2。這里仍然可以用十字相乘法。15–244–10∴5x2–6xy–8y2=(x–2y)(5x+4y)簡(jiǎn)記口訣：首尾分解，交叉相乘，求和湊中。十字相乘法②隨堂練習(xí)：1）4a2–9a+22）7a2–19a–63）2(x2+y2)+5xy第8頁(yè)/共24頁(yè)第八頁(yè)，共25頁(yè)。2課時(shí)第9頁(yè)/共24頁(yè)第九頁(yè)，共25頁(yè)。四、分組分解法

要發(fā)現(xiàn)式中隱含的條件，通過(guò)交換項(xiàng)的位置，添、去括號(hào)等一些變換達(dá)到因式分解的目的。例1：因式分解ab–ac+bd–cd

。解：原式=(ab–ac)+(bd–cd)=a

(b–c)+d

(b–c)=(a+d)(b–c)還有別的解法嗎？第10頁(yè)/共24頁(yè)第十頁(yè)，共25頁(yè)。四、分組分解法

要發(fā)現(xiàn)式中隱含的條件，通過(guò)交換項(xiàng)的位置，添、去括號(hào)等一些變換達(dá)到因式分解的目的。例1：因式分解ab–ac+bd–cd

。解：原式=(ab+bd)–(ac+cd)=b

(a+d)–c

(a+d)=(a+d)(b–c)第11頁(yè)/共24頁(yè)第十一頁(yè)，共25頁(yè)。例2：因式分解x5+x4+x3+x2+x+1。解：原式=(x5+x4+x3)+(x2+x+1)=(x3+1)(x2+x+1)=

(x+1)(x2–x+1)(x2+x+1)立方和公式分組分解法隨堂練習(xí)：1）xy–xz–y2+2yz–z22）a2–b2–c2–2bc–2a+1第12頁(yè)/共24頁(yè)第十二頁(yè)，共25頁(yè)?；仡櫪}：因式分解x5+x4+x3+x2+x+1。另解：原式=(x5+x4)+(x3+x2)+(x+1)=(x+1)(x4+x2+1)=(x+1)(x4+2x2+1–x2)=(x+1)[(x2+1)2–x2]=

(x+1)(x2+x+1)(x2–x+1)*五、拆項(xiàng)、添項(xiàng)法怎么結(jié)果與剛才不一樣呢？因?yàn)樗€可以繼續(xù)因式分解第13頁(yè)/共24頁(yè)第十三頁(yè)，共25頁(yè)。

拆項(xiàng)添項(xiàng)法對(duì)數(shù)學(xué)能力有著更高的要求，需要觀察到多項(xiàng)式中應(yīng)拆哪一項(xiàng)使得接下來(lái)可以繼續(xù)因式分解，要對(duì)結(jié)果有一定的預(yù)見(jiàn)性，嘗試較多，做題較繁瑣。最好能根據(jù)現(xiàn)有多項(xiàng)式內(nèi)的項(xiàng)猜測(cè)可能需要使用的公式，有時(shí)要根據(jù)形式猜測(cè)可能的系數(shù)。五*、拆項(xiàng)添項(xiàng)法第14頁(yè)/共24頁(yè)第十四頁(yè)，共25頁(yè)。例因式分解x4+4解：原式

=x4

+

4x2+4–4x2=(x2+2)2–(2x)2=(x2+2x+2)(x2–2x+2)都是平方項(xiàng)猜測(cè)使用完全平方公式完全平方公式平方差公式拆項(xiàng)添項(xiàng)法隨堂練習(xí)：1）x4–23x2y2+y42）(m2–1)(n2–1)+4mn第15頁(yè)/共24頁(yè)第十五頁(yè)，共25頁(yè)。配方法

配方法是一種特殊的拆項(xiàng)添項(xiàng)法，將多項(xiàng)式配成完全平方式，再用平方差公式進(jìn)行分解。因式分解a2–b2+4a+2b+3。解：原式=(a2+4a+4)–(b2–2b+1)=(a+2)2–(b–1)2=(a+b+1)(a–b+3)配方法(拆項(xiàng)添項(xiàng)法)分組分解法完全平方公式平方差公式第16頁(yè)/共24頁(yè)第十六頁(yè)，共25頁(yè)。六*、待定系數(shù)法試因式分解2x2+3xy–9y2+14x–3y+20。通過(guò)十字相乘法得到(2x–3y)(x+3y)設(shè)原式等于(2x–3y+a)(x+3y+b)通過(guò)比較兩式同類項(xiàng)的系數(shù)可得：解得：，∴原式=(2x–3y+4)(x+3y+5)待定系數(shù)法，一種求未知數(shù)的方法。將一個(gè)多項(xiàng)式表示成另一種含有待定系數(shù)的新的形式，這樣就得到一個(gè)恒等式。然后根據(jù)恒等式的性質(zhì)得出系數(shù)應(yīng)滿足的方程或方程組，其后通過(guò)解方程或方程組便可求出待定的系數(shù)，或找出某些系數(shù)所滿足的關(guān)系式，這種解決問(wèn)題的方法叫做待定系數(shù)法。

第17頁(yè)/共24頁(yè)第十七頁(yè)，共25頁(yè)。=3=1410+42x2+3xy–9y2+14x–3y+20雙十字相乘法

雙十字相乘法適用于二次六項(xiàng)式的因式分解，而待定系數(shù)法則沒(méi)有這個(gè)限制。因式分解2x2+3xy–9y2+14x–3y+20。21–336–345=–312–15∴原式=(2x–3y+4)(x+3y+5)第18頁(yè)/共24頁(yè)第十八頁(yè)，共25頁(yè)。七*、求根法

設(shè)原多項(xiàng)式等于零，解出方程的解x1、x2……，則原式就可以分解為(x–x1)(x–x2)(x–x3)……更多的方法需要同學(xué)們自己去尋找!多練才能擁有自己的解題智慧!第19頁(yè)/共24頁(yè)第十九頁(yè)，共25頁(yè)。綜合訓(xùn)練(一)第20頁(yè)/共24頁(yè)第二十頁(yè)，共25頁(yè)。綜合訓(xùn)練(二)2、x2y–y2z+z2x–x2z+y2x+z2y–2xyz因式分解后的結(jié)果是()。

A.(y–z)(x+y)(x–z)B.(y–z)(x–y)(x+z)C.(y+z)(x–y)(x+z)D.(y+z)(x+y)(x–z)3、因式分解x3+6x2+11x+6。第21頁(yè)/共24頁(yè)第二十一頁(yè)，共25頁(yè)。綜合訓(xùn)練(三)第22頁(yè)/共24頁(yè)第二十二頁(yè)，共25頁(yè)?？偨Y(jié)訓(xùn)練(一)第23頁(yè)/共24頁(yè)第二十三頁(yè)