一起學奧數(shù)填數(shù)陣圖五年級

教育目標認識和了解一些簡單的數(shù)陣圖結構教育重點用代數(shù)思想解決數(shù)陣圖問題教育難點填數(shù)陣圖需要綜合運用各種知識點，包括代數(shù)思想、以數(shù)助形等掌握填數(shù)陣圖的兩種方法：待定系數(shù)法和試驗法學會代數(shù)思想的運用，并能夠用來解決實際問題第1頁/共15頁第一頁，共16頁。第一課基礎部分第2頁/共15頁第二頁，共16頁。例1、如圖，○內(nèi)分別填入1，2，……，7這七個數(shù)，如果6個三角形的頂點處○內(nèi)的數(shù)字之和是64，那么，中間○內(nèi)填入的數(shù)是什么？【分析】在填數(shù)陣圖時，我們要學會代數(shù)思想的運用，左圖是“形”，“形”可以形象的表示對象與對象之間的關系，“數(shù)”可以進行計算并定位。填數(shù)陣圖的過程，也就是對每個圓圈進行準確定位。但我們只知道七個圓圈內(nèi)要填的數(shù)是1~7這七個數(shù)，而不知道哪個數(shù)對應哪個圈。當“數(shù)”與“形”存在不確定關系時，我們可以用代數(shù)思想，用符號來表示某個“形”所代表的數(shù)。設七個圓圈內(nèi)對應的數(shù)分別為a、b、c、d、e、f、g，并隨機的填在七個圓圈中。abcdefg根據(jù)6個三角形頂點處○的數(shù)字之和為64，可以得到一個等式。(a+b+c)+(a+c+d)+(a+d+e)+(a+e+f)+(a+f+g)+(a+g+b)=64即：4a+2（a+b+c+d+e+f+g）=4a+2（1+2+3+4+5+6+7)=64所以，得：a=2思考？1）邊上的六個圓圈內(nèi)的數(shù)是否影響6個三角形的而數(shù)字和；2）如果每個三角形的和為12，該如何填？第3頁/共15頁第三頁，共16頁。例2、請在如下圖所示的8×8表格的每個格子中填入1或2或3，使得每行、每列所填數(shù)的和各不相同?！痉治觥織l件為：1）每個格子中填1或2或3，2）每行每列所填數(shù)的和都不同。分析左邊表格：規(guī)則、每行每列的格子數(shù)相同。我們可以按照規(guī)律填寫，使每次填寫的數(shù)，有一格比上次填的數(shù)大11111111111111121111113111123111133112331133323333333333333333333想一想，還能怎么填？注意填寫規(guī)律。第4頁/共15頁第四頁，共16頁。例3、請將1個1、2個2、3個3……8個8、9個9填入如下圖所示的表格中，使得相同的數(shù)所在的方格都連在一起（相連的兩個方格必須有公共邊）?，F(xiàn)在已經(jīng)給出了其中8個方格的數(shù)，并且知道A、B、C、D、E、F、G各不相同，那么五位數(shù)CDEFG是什么？7ABCDEFG2314589【分析】在左圖能夠填的數(shù)時9個，而A~G共七個字母。1個1已填在左圖上，而5離已填的字母太遠（最近距離超過4個格子），所以A~G代表的數(shù)對應2、3、4、6、7、8、9這七個。從最少的數(shù)開始嘗試。2個2，一個已經(jīng)填好，還有一個必須在七個字母中出現(xiàn)，且與已填的2相鄰，所以D=223個3。從已填的3到填字母這一行，最近距離正好三格，所以C=333從已填的數(shù)去字母這一行，如果先向右走一格，則2的右邊一格無數(shù)可填。所以，4的必須往上走，且E=444此時，已填數(shù)的右邊或下邊填4，就會影響8、9的走向，所以，應該繼續(xù)往上走4現(xiàn)在可以看出，7的右邊兩個只能時7，所以7往下突破，B=7。后邊幾個7不往下走，會影響到與A相連的數(shù)。777777接著，可以設計5的走向與8、9之間的關系，可以得到F=8、G=95555888888899999999666666剩下一個A與6，顯然A=6符合要求所以，這個五位數(shù)為32489.第5頁/共15頁第五頁，共16頁。例4、如下圖的第一行的五個〇內(nèi)填上五個不同的自然數(shù)，然后從第二行開始每個〇內(nèi)的數(shù)都是上一行與它相鄰的兩個數(shù)之和，一直計算到最后一個數(shù)恰好是50，且滿足14個〇內(nèi)的數(shù)也各不相同。50【分析】題目給定了圓圈中數(shù)的相互關系，這就需要我們能夠用“數(shù)”的概念來解決這個數(shù)陣圖。先在每個圈中天上相應的字母符號，以便于計算相互之間的關系。a1a2a3a4a5b1b2b3b4c1c2c3d1d2根據(jù)題目給定條件，可以寫出等式如下：d1+d2=50d1=c1+c2d2=c2+c3則有c1+2c2+c3=50c1=

b1+b2c2=

b2+b3c3=

b3+b4則有b1+3b2+3b3+b4=50b1=

a1+a2b2=

a2+a3b3=

a3+a4b4=

a4+a5則有a1+4a2+6a3+4a4+a5=50采用確定大系數(shù)項數(shù)（使盡可能的?。?，再用系數(shù)為1的項做調(diào)整的方法。取a2=2，a3=1，a4=4，則有a1+8+6+16+a5=50，即a1+a5=20對20進行拆分，拆分時避免出現(xiàn)已經(jīng)出現(xiàn)過的數(shù)字。則有20=17+3=15+5=14+6=13+7=12+8=11+9共有6組拆分方式，試填這六種方法，可以發(fā)現(xiàn)滿足14個〇內(nèi)的數(shù)各不相同的僅三種a1=14，a2=2，a3=1，a4=4，a5=6；a1=13，a2=2，a3=1，a4=4，a5=7；a1=7，a2=2，a3=1，a4=4，a5=13第6頁/共15頁第六頁，共16頁。例5、將1~10這10個數(shù)填入如下圖的10個〇內(nèi)，要求任意兩個相鄰的數(shù)之差不少于3?！痉治觥恳驗?0不能被3整除，且10÷3>3，所以可以用隔2個填一個數(shù)的方法填數(shù)。27548910613因為10為偶數(shù)，我們也可以采用使相對的兩數(shù)之差足夠小的方法，即讓1和2，3和4，5和6，7和8，9和10相對。43107689215有興趣的小朋友可以嘗試去構建一個類似的數(shù)字圈請問，這兩種方法，哪種填寫更方便？第7頁/共15頁第七頁，共16頁。例6、如下圖中有十三個空白圓圈，要求把1~13這十三個數(shù)填入各空白圓圈內(nèi)（其中3、4已經(jīng)填好），使得上面兩個圓圈內(nèi)數(shù)的和，等于和它相連的下面圓圈內(nèi)的數(shù)，并且最下面四個圓圈中的數(shù)之和等于43。4334【分析】本題與例1和例4類似，都需要用到代數(shù)思想。我們先賦予空白圓圈一個字母，以代表這個圓圈的數(shù)。AFDCBIGKJEH根據(jù)題目給出的條件，我們可以得到如下等式：A+B+C+D=434+E=AH+I=EI+F=B3+J=CJ+K=GG+K=D因為這13個圓圈分別填上1~13這十三個數(shù)，所以A+B+C+D+4+E+H+I+F+G+K+3+J=9143+A+H+B+C+D=9143+43+H=91H=5A=4+E=4+5+I=9+I，因為A≤13，所以I≤4，3、4已經(jīng)給出，則I=1或2J+K=GG+K=D即J+K+K=D≤13，所以K≤6。當K=6時，J=1，則C=4（不符），而3、4、5已經(jīng)給出，所以K=1或2當K=2，I=1，可以按要求填出如圖所示的數(shù)156102911121378當K=1時，G=J+1，D=J+2，C=J+3說明J、G、D、C是連續(xù)自然數(shù)，剔除I、E、H的值，剩余數(shù)為6、8、9、10、12、13，沒有連續(xù)四個自然數(shù)，所以不符。第8頁/共15頁第八頁，共16頁。第二課提高部分第9頁/共15頁第九頁，共16頁。例1、根據(jù)下圖，小偷與警察每人每次走一步，警察先走，問警察最少走幾步能抓住小偷。ABCD小偷警察【分析】說這個是數(shù)陣圖，到不如說更是一個數(shù)陣游戲。按照習慣思維，警察抓小偷，就應該步步緊逼。比如，警察應該先跳到A或D點?？墒?，這樣的話，小偷可以還是能夠跑掉。小朋友一起在紙上演示下吧，看看哪兩個人的方法最好。給大家一個方法：警察先到C——>小偷只能去A——>警察去D——>小偷只能去B警察進入中間位置，這時小偷不管去A還是C，都會被警察抓住。所以，警察最少要走4步才能抓住小偷。上面的游戲啟發(fā)我們，做事情要懂得以退為進。第10頁/共15頁第十頁，共16頁。例2、將1~13這自然數(shù)分別填入下圖的各個○內(nèi)，使每條線段上5個○內(nèi)數(shù)的和相等，并且兩個六邊形6個頂點上○內(nèi)數(shù)的和也相等?！痉治觥坑^察左圖，找出這個圖的特點。這個圖由兩個六邊形和中間一個○，及三條直線組成數(shù)陣圖。顯然，這是一個復合型數(shù)陣圖。具有雙重約束。我們先不考慮六邊形約束，使五條線段上的5個○內(nèi)的數(shù)的和相等。中間交叉位置○是關鍵點，被重復使用三次。假設中間位置上的數(shù)字為a，因為1+2+3……+13=91所以3|91-a又因為兩個六邊形頂點上的數(shù)字和相等，所以2|91-a所以，符合條件的a有1、7、13確定中間數(shù)為1，則每條直線上的數(shù)字之和為（91-1）÷3=30，且每個六邊形上的數(shù)字之和為45.剩下的步驟請大家自己完成，也可以嘗試7或13作為中間位置的數(shù)字觀察圖形，結合之前學過的知識，如何利用位置規(guī)律來填數(shù)第11頁/共15頁第十一頁，共16頁。例3、如下圖所示，試分別填入1、2、3、4、5、6、7、8這八個數(shù)字，使得圖中用線段連結的兩個小圓圈內(nèi)所填的數(shù)字之差（大數(shù)字減小數(shù)字）恰好是1、2、3、4、5、6、7這七個數(shù)字。CAEFGHBD【分析】先問大家一個問題，1、2、3……8，這8個數(shù)中任意兩個數(shù)相減（大數(shù)減小數(shù)），差最大是多少？當然是7。最大的那個數(shù)減去最小的數(shù)，差肯定最大。所以，8和1必須是一對。假設A=8,C=1。第二個問題是，把大數(shù)放在8周圍，得到小差值，是否可行顯然是不行的。如果F=7,E=6，那么剩下的數(shù)2、3、4、5這四個數(shù)沒法得到差為6。所以，A周邊要選盡量小的值因此，E=2,F=3。剩下4、5、6、7，且已經(jīng)有的差是7、6、54、5、6、7這四個數(shù)任意兩個相減，最大可以得到3，最小是1。第三個問題，如果不考慮AB間的差值，把4、5、6、7這四個數(shù)填到B、D、G、H四個圓圈后，7個數(shù)字之差還缺哪個數(shù)？缺少一個4。所以B=4。最后把D、G、H分別天上5、6、7，得到差為1、2、3極端處理，可以幫助我們確定一些關鍵值。（答案不唯一）第12頁/共15頁第十二頁，共16頁。

知識點小結第13頁/共15頁第十三頁，共16頁。數(shù)陣圖的三種類型輻射型數(shù)陣圖封閉型數(shù)陣圖復合型數(shù)陣圖數(shù)陣圖：把一些數(shù)字按照一定的要求，排成的各種各樣的圖形010203區(qū)分數(shù)陣圖中的普通點和關鍵點（方格）通過已得到的信息進行嘗試，或者運用綜合的數(shù)學方法進行填數(shù)在關鍵點上設置未知數(shù)，計算關鍵點與相關點的數(shù)量關系，取得關鍵點的取數(shù)范圍輻射型數(shù)陣圖通過局部到整體，再到