2022-2023學(xué)年江蘇省南通市海安縣、如東縣高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年江蘇省南通市海安縣、如東縣高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用交集的定義即可求解．【詳解】集合，，所以．故選：A．2．復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C．-1 D．1【答案】A【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，然后利用即可求出結(jié)果．【詳解】解：，，故選：A．3．已知點(diǎn)，，若直線與直線垂直，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出直線的斜率，再根據(jù)兩直線垂直斜率乘積為即可求的值．【詳解】依題意可得直線的斜率為，因?yàn)橹本€與直線垂直，且直線的斜率為，所以，解得．故選：B．4．?dāng)?shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一個(gè)數(shù)列，，，，，，其中從第項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于它前面兩項(xiàng)之和，即，，這樣的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)列的特點(diǎn)，每個(gè)數(shù)等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，移項(xiàng)得：

，使用累加法求得，然后將的系數(shù)倍展開(kāi)即可求解．【詳解】由從第三項(xiàng)起，每個(gè)數(shù)等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，，由，得

，所以，，，

，將這個(gè)式子左右兩邊分別相加可得：，所以.所以.故選：C．5．已知雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，漸近線方程為，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件求得，從而求得雙曲線的離心率.【詳解】由題意，雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，由于雙曲線的漸近線方程為，所以，即，所以.故選：A6．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將求導(dǎo)并代入即可得出，即可得到的具體解析式，再代入即可得出答案.【詳解】，，令，則，，則，故選：D.7．已知等差數(shù)列中，記，，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分離常數(shù)可得，設(shè)，當(dāng)，時(shí)，可得，故可得數(shù)列的前項(xiàng)和．【詳解】由等差數(shù)列性質(zhì)得設(shè)，當(dāng)，時(shí)，故故選：C8．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，且是奇函數(shù)，記，若是奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)

是奇函數(shù)，可得

，兩邊求導(dǎo)推得，，再結(jié)合題意可得4是函數(shù)的一個(gè)周期，且，進(jìn)而可求解．【詳解】因?yàn)?/p>

是奇函數(shù)，所以

，兩邊求導(dǎo)得

，即，又，所以

，即，令

，可得

，因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，即．因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以

，又，所以，則，，所以4是函數(shù)的一個(gè)周期，所以．故選：B．二、多選題9．已知圓，點(diǎn)，，則（

）A．點(diǎn)在圓外 B．直線與圓相切C．直線與圓相切 D．圓與圓相離【答案】AB【分析】根據(jù)已知寫出圓心、半徑.代入點(diǎn)坐標(biāo)，即可判斷A項(xiàng)；分別求出圓心到直線的距離，比較它們與半徑的關(guān)系，即可判斷B、C項(xiàng)；求出圓心距，根據(jù)與兩圓半徑的關(guān)系即可判斷D項(xiàng).【詳解】解：由題，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓外，故A正確；對(duì)于B項(xiàng)，圓心到直線的距離為，故直線與圓相切，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，直線的方程為，整理得，則圓心到直線的距離為，所以直線與圓相離，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，則圓心間的距離為，因?yàn)椋詧A與圓相交，故D錯(cuò)誤.故選：AB．10．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值，則滿足的最大的正整數(shù)可能為（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】由題意可得，公差，且，，分別求出，討論的符號(hào)即可求解．【詳解】因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以，公差，且，．所以，，，故時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，則滿足的最大的正整數(shù)為；當(dāng)時(shí)，，則滿足的最大的正整數(shù)為，故滿足的最大的正整數(shù)可能為與．故選：BC．11．已知拋物線的焦點(diǎn)為，為上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，則（

）A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，在點(diǎn)處的切線方程為C．的最小值為D．的最大值為【答案】ACD【分析】當(dāng)時(shí)，求出判斷A；設(shè)切線與拋物線聯(lián)立使求出切線方程判斷B；利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化求解的最小值可判斷C；根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊判斷D．【詳解】因?yàn)閽佄锞€，所以準(zhǔn)線的方程是.對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故A正確;對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，令切線方程為:，與聯(lián)立得，令，解得，即切線方程為:，即，故B錯(cuò)誤;對(duì)于C，過(guò)點(diǎn)分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足為則，所以的最小值為故C正確.對(duì)于D，因?yàn)榻裹c(diǎn)，所以，所以的最大值為故D正確.故選：ACD12．已知，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，計(jì)算出x與y的關(guān)系，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)分析.【詳解】因?yàn)?，即．令，則有，則，令，則，令，可得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，故，所以總有，故單調(diào)遞減；所以，即；對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)，則，故在上單調(diào)遞增，所以，所以，因?yàn)?，所以，故B正確；對(duì)于C，，即．設(shè)，則，則，所以單調(diào)遞增．因?yàn)?，所以，故C正確；對(duì)于D，，即，令，則，因?yàn)?，所以為偶函?shù)，所以即為．則，令，則，所以單調(diào)遞增．又，所以當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤；故選：BC.三、填空題13．已知等比數(shù)列的公比不為，，且，，成等差數(shù)列，則__________．【答案】##0.0625【分析】根據(jù)條件求出公比q，再運(yùn)用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求出.【詳解】根據(jù)題意得

，，且，解得，，；故答案為：.14．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，為奇函數(shù)，且則不等式的解集為_(kāi)_________．【答案】【分析】設(shè)，由導(dǎo)數(shù)法可得單調(diào)遞減，可轉(zhuǎn)化為，根據(jù)單調(diào)性即可求解．【詳解】設(shè)，則，故單調(diào)遞減．因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，定義域?yàn)?，所以，故．可轉(zhuǎn)化為，即．因?yàn)閱握{(diào)遞減，所以，解得．故答案為：．15．已知點(diǎn)，，點(diǎn)滿足直線，的斜率之積為，則的面積的最大值為_(kāi)_________．【答案】20【分析】根據(jù)條件，運(yùn)用斜率公式求出P點(diǎn)的軌跡方程，再根據(jù)軌跡確定面積的最大值.【詳解】設(shè)，由題意可知，，整理得；得動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以，為長(zhǎng)軸頂點(diǎn)的橢圓除去，兩點(diǎn)，顯然當(dāng)點(diǎn)位于上下頂點(diǎn)時(shí)面積取得最大值，因?yàn)?，，所以；故答案為?0.16．已知實(shí)數(shù)，，，滿足，，，則的最大值是__________．【答案】##【分析】由已知得A，B在圓分別在圓和圓上，利用數(shù)形結(jié)合法，將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為A，B兩點(diǎn)到直線和的距離和的倍，再利用三角函數(shù)求出其最大值即可．【詳解】由，可知，點(diǎn)，分別在圓和圓上，由得如圖，作直線，過(guò)B作于D，過(guò)A作于E，設(shè)，因?yàn)?，所以從而，故，其中，，故?dāng)時(shí)，的取最大值而其中表示A到直線的距離，表示B到直線的距離，因?yàn)榕c，平行，且與的距離為，與的距離為，所以，，從而，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想，關(guān)鍵是利用幾何意義將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題．四、解答題17．已知中，．(1)求；(2)若，，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】由正弦定理得，再由余弦定理得，可得，從而得出；由正弦定理得，得出，再得出，由三角形面積公式可得的面積．【詳解】（1）設(shè)，，對(duì)邊長(zhǎng)，，因?yàn)橛烧叶ɡ?，所以?/p>

所以，即，所以，因?yàn)?，所以；?）中，，，，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以．?8．已知數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，記，．(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)證明見(jiàn)解析，(2)．【分析】（1）對(duì)遞推公式變形，求出的通項(xiàng)公式，再求出的通項(xiàng)公式；（2）運(yùn)用錯(cuò)位相減法求和.【詳解】（1）因?yàn)榍耶?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)?，即，所以是以為首?xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，所以；（2）由知，則…①…②，①-②得所以；綜上，，

.19．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最大值；(2)記，．若函數(shù)既有極大值，又有極小值，求的取值范圍．【答案】(1)2(2)【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，研究函數(shù)的單調(diào)性，從而可得函數(shù)的最值；（2）條件等價(jià)于方程在區(qū)間上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，列關(guān)于的不等式，求解即可．【詳解】（1）由函數(shù)，則其定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)；在區(qū)間為減函數(shù)，所以；（2）由，則，因?yàn)榧扔袠O大值，又有極小值，即等價(jià)于方程在區(qū)間上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即，解得，所以所求實(shí)數(shù)的取值范圍是．20．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)積為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式(2)記區(qū)間內(nèi)整數(shù)的個(gè)數(shù)為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求使得的最小正整數(shù)．【答案】(1)(2)5【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系，類比與的關(guān)系求通項(xiàng)即可；（2）根據(jù)定義求出的通項(xiàng)，再由公式法求和，最后解不等式即可.【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)積，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，除以得，又時(shí)，滿足，所以.（2）因?yàn)閰^(qū)間內(nèi)整數(shù)的個(gè)數(shù)為，所以，所以.由，得，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)殡S的增大而增大，所以的最小整數(shù)為．21．已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，，左、右頂點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為，的周長(zhǎng)為點(diǎn)，異于兩點(diǎn)且在上，直線，，的斜率分別為，，，且(1)證明為定值(2)求點(diǎn)到直線距離的最大值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用題意得到關(guān)于的等式，聯(lián)立方程組即可求得，設(shè)，代入橢圓方程可得到，然后利用兩點(diǎn)斜率公式即可求證；（2）先推斷出直線斜率必不為，設(shè)其方程為，與橢圓進(jìn)行聯(lián)立得到二次方程，可得到代入即可算出答案【詳解】（1）設(shè)橢圓焦距為，由題知，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，依題意，，設(shè)橢圓上任一點(diǎn)，則，所以；（2）設(shè)，若直線的斜率為，則，關(guān)于軸對(duì)稱，必有，不合題意，所以直線斜率必不為，設(shè)其方程為，與橢圓聯(lián)立，整理得：，所以，且由（1）知，即，即，即，即，即，所以，此時(shí)，故直線恒過(guò)軸上一定點(diǎn)，所以點(diǎn)到直線的最大距離為【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.22．已知函數(shù)，其中，(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(2)若，函數(shù)有兩個(gè)相異的零點(diǎn)，，求證：．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）不妨令，用分析法對(duì)進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，最后可構(gòu)造函數(shù)即可證明結(jié)論成立．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，所以，，所以，時(shí)，在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令得，所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，綜上，時(shí)，在上單調(diào)遞增，時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）由題知，，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)相異零點(diǎn)，，且，所以且，，即，所以，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，令，則，故當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，所以，在，上單調(diào)遞