一可積的必要條件

一、可積的必要條件定理9.2若函數(shù)在上可積，則在上必定有界。證：（用反證法）。在上無界，則對(duì)于的任一分割T，必存在屬于T的某個(gè)小區(qū)間在上無界，在的各個(gè)小區(qū)間上任意取定并記若第1頁/共17頁第一頁，共18頁。，使得：現(xiàn)對(duì)任意大的正數(shù)M，由于在上無界，故存在于是有：這與在上可積相矛盾，從而定理得證。注：任何可積函數(shù)一定是有界的，但有界函數(shù)卻不一定可積。第2頁/共17頁第二頁，共18頁。例1證明狄理克雷函數(shù)在上有界但不可積。證顯然對(duì)于的任一分割，由有理數(shù)和無理數(shù)在實(shí)數(shù)中的稠密性，在屬于的任一小區(qū)間當(dāng)取全為有理數(shù)時(shí)，當(dāng)取全為無理數(shù)時(shí)，第3頁/共17頁第三頁，共18頁。所以無論多么小，只要點(diǎn)集取法不同，全取有理數(shù)或全取無理數(shù)，積分和有不同極限，即在不可積二可積的的充要條件第4頁/共17頁第四頁，共18頁。第5頁/共17頁第五頁，共18頁。第6頁/共17頁第六頁，共18頁。任給顯然有第7頁/共17頁第七頁，共18頁。Riemann可積的第一充要條件

f(x)在[a,b]上Riemann可積其中：xi-1xixi-1xi第8頁/共17頁第八頁，共18頁。Riemann可積的第二充要條件f(x)在[a,b]上Riemann可積其中：xi-1xi第9頁/共17頁第九頁，共18頁。Riemann可積的第三充要條件

f(x)在[a,b]上Riemann可積

注：連續(xù)函數(shù)、只有有限個(gè)間斷點(diǎn)的有界函數(shù)和閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)Riemann可積xi-1xi第10頁/共17頁第十頁，共18頁。三、可積函數(shù)類第11頁/共17頁第十一頁，共18頁。第12頁/共17頁第十二頁，共18頁。第13頁/共17頁第十三頁，共18頁。第14頁/共17頁第十四頁，共18頁。第15頁/共17頁第十五頁，共18頁。第16頁/共17頁第十六頁，共18頁。謝謝您的觀看！第17頁/共17頁第十七頁，共18頁。內(nèi)容總結(jié)一、可積的必要條件。一、可積的必要條件。定理9.2若函數(shù)。的任一分割T，必存在屬于T的某個(gè)小區(qū)間。注：任何可積函數(shù)一定是有界的，但有界函數(shù)卻不一定可積。例1證明狄理克雷函數(shù)。xi-1xi。注：連續(xù)函數(shù)、只有有限個(gè)間斷點(diǎn)的有界函數(shù)