【綠色通道】高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 52柯西不等式與排序不等式 A選修4

2．向量形式的柯西不等式：如果α，β是兩個(gè)向量，則|α·β|≤|α||β|，當(dāng)且僅當(dāng)β是零向量，或存在實(shí)數(shù)k，使α＝kβ時(shí)，等號成立．4．一般形式的柯西不等式：如果a1，a2，a3，…an，b1，b2，b3，…，bn都是實(shí)數(shù)，則(a＋a＋a＋…＋a)(b＋b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn)2，

．5．排序不等式：設(shè)a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn為兩組實(shí)數(shù)，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，那么

，當(dāng)且僅當(dāng)a1＝a2＝…＝an，b1＝b2＝…＝bn時(shí)，反序和等于順序和．當(dāng)且僅當(dāng)bi＝ 0(i＝1,2,3，…，n)或存在實(shí)數(shù)k，使ai＝bi(i＝1,2,3，…，n)時(shí)，等號成立a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn6．貝努利不等式：如果x是實(shí)數(shù)，且x>－1，x≠0，n為大于1的自然數(shù)，那么有

.7．貝努利不等式的一般形式：設(shè)x>－1，則(1)當(dāng)

時(shí)，有(1＋x)α≤1＋αx；(2)當(dāng)

時(shí)，有(1＋x)α≥1＋αx；以上兩式當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)，等號成立．(1＋x)n>1＋nx0<α<1α>1或α<01．已知x、y、z∈R＋，且x＋y＋z＝1，則x2＋y2＋z2的最小值是 ()答案：B3．已知實(shí)數(shù)a、b、c、d、e滿足a＋b＋c＋d＋e＝8，a2＋b2＋c2＋d2＋e2＝16，則e的取值范圍是________．解析：∵4(a2＋b2＋c2＋d2)＝(1＋1＋1＋1)(a2＋b2＋c2＋d2)≥(a＋b＋c＋d)2，即4(16－e2)≥(8－e)2,64－4e2≥64－16e＋e2，即5e2－16e≤0，∴e(5e－16)≤0，思路分析：由條件式和待證式的特點(diǎn)，可考慮應(yīng)用柯西不等式．a(chǎn)2b2＝(1－a2)(1－b2)，于是a2＋b2＝1.答案：1

利用柯西不等式求最值，實(shí)質(zhì)上就是利用柯西不等式進(jìn)行放縮，放縮不當(dāng)則等號可能不成立，因此不能忘記檢驗(yàn)等號成立的條件.

變式遷移2

若3x＋4y＝2，試求x2＋y2的最小值．解：由柯西不等式(32＋42)(x2＋y2)≥(3x＋4y)2，

變式遷移3

利用排序不等式證明：若a，b，c∈R＋，則a3＋b3＋c3≥a2b＋b2c＋c2a.證明：不妨設(shè)a≥b≥c>0，則a2≥b2≥c2，故a3＋b3＋c3≥a2b＋b2c＋c2a.1．從形式結(jié)構(gòu)上看，柯西不等式可簡記為“方和積大于積和方”，相比基本不等式而言，不要求各項(xiàng)均是正數(shù)，從而使用更廣泛，在使用柯西不等式證明不等式和求最值時(shí)，要注意與柯西不等式的一般形式比較，根據(jù)需要，構(gòu)造“積和方”或“方和積”．2．柯西不等式等號成立的條件比較特殊，要牢記．3．應(yīng)用排序不等式的技巧在于構(gòu)造兩個(gè)便于排序的數(shù)組，而數(shù)組的構(gòu)造應(yīng)從需要入手來設(shè)計(jì)，根據(jù)所要證的式子的結(jié)構(gòu)觀察分析，特別是