（課標(biāo)專用）天津市高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題四 數(shù)列 4.2 數(shù)列的通項(xiàng)與求和

4.2數(shù)列的通項(xiàng)與求和整理ppt-2-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)【例1】根據(jù)下列條件,確定數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式:(1)數(shù)列{an}滿足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n;(3)a1=1,ax+1=3an+2.分析推理(1)根據(jù)式子結(jié)構(gòu)特征,把(2n-1)an看作一個整體,則該問題就看作已知和Sn求通項(xiàng)的問題,根據(jù)項(xiàng)與和的關(guān)系式求解即可;(2)根據(jù)遞推關(guān)系以及對數(shù)運(yùn)算,可以利用累加法求其通項(xiàng);(3)因?yàn)檫f推關(guān)系中兩項(xiàng)的系數(shù)不同,所以應(yīng)該通過變形構(gòu)造等比數(shù)列求解通項(xiàng).整理ppt-3-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三

整理ppt-4-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三又a1=2適合上式,故an=2+lnn(n∈N*).

整理ppt-5-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三(3)方法一(直接變形)由an+1=3an+2,得an+1+1=3(an+1).∵a1=1,知a1+1=2,an+1≠0,∴數(shù)列{an+1}是以2為首項(xiàng),以3為公比的等比數(shù)列.則an+1=2·3n-1,故an=2·3n-1-1.方法二(待定系數(shù)法)由已知,設(shè)an+1+t=3(an+t),則整理得an+1=3an+2t.由已知可得2t=2,解得t=1.∴an+1+1=3(an+1).下同方法一.整理ppt-6-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三【例1】(3)中,若已知an+1=3an+2n-1呢?解法一

(直接變形)

由an+1=3an+2n-1,得an+1+(n+1)=3(an+n).令bn=an+n,則有bn+1=3bn.整理ppt-7-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三解法二

(待定系數(shù)法)

因?yàn)閍n+1與an的系數(shù)不相等,故可構(gòu)造等比數(shù)列.設(shè)an+1+[k(n+1)+t]=3(an+kn+t),整理得an+1=3an+2kn+2t-k.由已知an+1=3an+2n-1,所以an+1+(n+1)=3(an+n).下同解法一.整理ppt-8-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三規(guī)律方法1.由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)的基本思想是轉(zhuǎn)化,常用的方法:(1)an+1-an=f(n)型,采用迭加法;(3)an+1=pan+q(p≠0,p≠1)型,轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列解決;(4)an+1=

(an≠0,p,q為非零常數(shù))型,可用倒數(shù)法轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列解決.2.已知Sn求an的三個步驟:(1)先利用a1=S1求出a1;(2)用n-1替換Sn中的n得到一個新的關(guān)系,利用an=Sn-

(n≥2)便可求出當(dāng)n≥2時an的表達(dá)式;(3)注意檢驗(yàn)n=1時的表達(dá)式是否可以與n≥2的表達(dá)式合并.整理ppt-9-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三即時鞏固1根據(jù)下列條件,確定數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式:

(3)Sn=2an+n.

整理ppt-10-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三(3)Sn=2an+n,當(dāng)n=1時,a1=S1=2a1+1,即a1=-1;當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=(2an+n)-[2an-1+(n-1)]=2an-2an-1+1,即an=2an-1-1,∴數(shù)列{an-1}為首項(xiàng)a1-1=-2,公比q=2的等比數(shù)列,∴an-1=-2×2n-1,即an=1-2n.整理ppt-11-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三裂項(xiàng)求和法(1)求{an}的通項(xiàng)公式;分析推理(1)首先令n=1,求出首項(xiàng),然后根據(jù)Sn與an的關(guān)系,將已知轉(zhuǎn)化為數(shù)列的項(xiàng)之間的關(guān)系,化簡后判斷數(shù)列的性質(zhì),進(jìn)而求其通項(xiàng);(2)根據(jù)第(1)問所求,寫出bn的表達(dá)式,然后將其裂成兩項(xiàng)之差,利用裂項(xiàng)相消法求和.整理ppt-12-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三所以{an}是首項(xiàng)為3,公差為2的等差數(shù)列,通項(xiàng)公式為an=2n+1.整理ppt-13-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三規(guī)律方法裂項(xiàng)相消法的基本思想就是把通項(xiàng)an分拆成an=bn+k-bn(k∈N*)的形式,從而達(dá)到在求和時絕大多數(shù)項(xiàng)相消的目的,在解題時要善于根據(jù)這個基本思想變換數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,使之符合裂項(xiàng)相消的條件.整理ppt-14-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三即時鞏固2(2019湖南岳陽二模)已知數(shù)列{an},a1=3,且nan+1-an=nan,n∈N*.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,求數(shù)列

的前n項(xiàng)和Tn.得an=3n,所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=3n,n∈N*.整理ppt-15-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三整理ppt-16-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三錯位相減法求和【例3】已知{an}為等差數(shù)列,前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*),{bn}是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列{a2nb2n-1}的前n項(xiàng)和(n∈N*).分析推理(1)等比數(shù)列{bn}已知首項(xiàng),故可直接利用已知“b2+b3=12”列出公比所滿足的方程求解,即可得到其通項(xiàng)公式;然后代入已知列出方程組求出等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)與公差,進(jìn)而求其通項(xiàng).(2)首先根據(jù)第(1)問寫出數(shù)列{a2nb2n-1}的通項(xiàng)公式,根據(jù)等差、等比數(shù)列的性質(zhì)可知,{a2n}為等差數(shù)列,{b2n-1}為等比數(shù)列,故應(yīng)利用錯位相減法求和.整理ppt-17-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三解:(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,等比數(shù)列{bn}的公比為q.由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12,而b1=2,所以q2+q-6=0.又因?yàn)閝>0,解得q=2.所以,bn=2n.由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8.①由S11=11b4,可得a1+5d=16,②聯(lián)立①②,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n-2.所以,數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=3n-2,數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=2n.整理ppt-18-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三(2)設(shè)數(shù)列{a2nb2n-1}的前n項(xiàng)和為Tn,由a2n=6n-2,b2n-1=2×4n-1,有a2nb2n-1=(3n-1)×4n,故Tn=2×4+5×42+8×43+…+(3n-1)×4n,4Tn=2×42+5×43+8×44+…+(3n-4)×4n+(3n-1)×4n+1,上述兩式相減,得-3Tn=2×4+3×42+3×43+…+3×4n-(3n-1)×4n+1整理ppt-19-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三規(guī)律方法錯位相減法適用于求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和,其中{an}為等差數(shù)列,{bn}為等比數(shù)列;所謂“錯位”,就是要找“同類項(xiàng)”相減.要注意的是相減后得到部分等比數(shù)列的和,此時一定要查清其項(xiàng)數(shù).整理ppt-20-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三即時鞏固3(2019江西上饒二模)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知a1=1,an+1=3Sn+1,n∈N*.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)記Tn為數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和,求Tn.解:(1)由題意,an+1=3Sn+1,則當(dāng)n≥2時,an=3Sn-1+1.兩式相減,得an+1=4an(n≥2).所以數(shù)列{an}是以首項(xiàng)為1,公比為4的等比數(shù)列,所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=4n-1(n∈N*).整理ppt-21-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三(2)因?yàn)門n=a1+2a2+3a3+…+nan=1+2×4+3×42+…+n·4n-1,所以4Tn=4×1+2×42+3×43+…+(n-1)·4n-1+n·4n,整理ppt-22-核心歸納預(yù)測演練整理ppt-23-核心歸納預(yù)測演練1.(2019山東泰安上學(xué)期期末)已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=2an+1(n∈N*),Sn為其前n項(xiàng)和,則S5的值為(

)A.57 B.61 C.62 D.63A解析:由條件可得,a1=1,a2=2a1+1=3,a3=2a2+1=7,a4=2a3+1=15,a5=2a4+1=31,所以S5=a1+a2+a3+a4+a5=1+3+7+15+31=57,故選A.整理ppt-24-核心歸納預(yù)測演練{an}的通項(xiàng)公式為(

)A.an=n

B.an=n2B∴an=n2,n∈N*.故選B.整理ppt-25-核心歸納預(yù)測演練3.已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù),其前n項(xiàng)和Sn滿足2Sn=an+

,

n∈N*,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為

.

解析:因?yàn)閿?shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù),其前n項(xiàng)和Sn滿足

整理ppt-26-核心歸納預(yù)測演練4.(2019山東淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)、淄博五中一診)已知等差數(shù)列{an}的公差d>0,其前n項(xiàng)和為Sn,且S5=20,a3,a5,a8成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;所以(a1+4d)2=(a1+2d)(a1+7d),化簡得a1=2d.②聯(lián)立①和②得,a1=2,d=1,所以an=n+1.整理ppt-27-核心歸納預(yù)測演練整理ppt