第五章 插值法

函數(shù)常被用來描述客觀事物變化的內(nèi)在規(guī)律——數(shù)量關(guān)系，如宇宙中天體的運(yùn)行，地球上某地區(qū)平均氣溫的變化等等，但在生產(chǎn)和科研實(shí)踐中碰到的大量的函數(shù)中，不僅僅是用解析表達(dá)式表示的函數(shù)，還經(jīng)常用數(shù)表和圖形來表示函數(shù)，其中函數(shù)的數(shù)表形式在實(shí)際問題中應(yīng)用廣泛，主要原因是有相當(dāng)一部分函數(shù)是通過實(shí)驗(yàn)或觀測(cè)得到的一些數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)只是某些離散點(diǎn)xi上的值（包括函數(shù)值f(xi)，導(dǎo)數(shù)值f

(xi)等,i=0,1,2,…,n),雖然其函數(shù)關(guān)系是客觀存在的，但卻不知道具體的解析表達(dá)式，因此不便于分析研究這類數(shù)表函數(shù)的性質(zhì)，也不能直接得出其它未列出點(diǎn)的函數(shù)值，我們希望能對(duì)這樣的函數(shù)

用比較簡(jiǎn)單的表達(dá)式近似地給出整體的描述。

如行星在太空中的定位問題：當(dāng)行星在空間運(yùn)行時(shí)，可通過精密觀測(cè)儀器在不同的時(shí)間ti(i=1,2,…)觀測(cè)到行星所在位置S(ti)，無論花費(fèi)多少人力物力，所得到的只是一批離散數(shù)據(jù)(ti,S(ti)),i=1,2,…)，而行星是在作連續(xù)運(yùn)動(dòng)，它在任一時(shí)間t（與ti不同）的位置S(t)，我們只能再去通過觀測(cè)得到，插值逼近是利用這組離散數(shù)據(jù)(ti,S(ti))構(gòu)造一個(gè)簡(jiǎn)單的便于計(jì)算的近似函數(shù)（解析表達(dá)式），用它可求任何時(shí)間的函數(shù)值（稱為插值），對(duì)這個(gè)近似解析表達(dá)式也能求導(dǎo)，討論其各種性質(zhì)。又如：據(jù)資料記載，某地區(qū)每隔10年進(jìn)行一次人口普查，自1930年到1990年的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：

另一方面，有些函數(shù)，雖然有解析表達(dá)式，但因其過于復(fù)雜，不便于計(jì)算和分析，同樣希望構(gòu)造一個(gè)既能反映函數(shù)的特性又便于計(jì)算的簡(jiǎn)單函數(shù)，近似代替原來的函數(shù)。

如在積分中，當(dāng)f(x)很復(fù)雜，要計(jì)算積分I是很困難的，構(gòu)造近似函數(shù)使積分容易計(jì)算，并且使之離散化能上機(jī)計(jì)算求出積分I，都要用到插值逼近。

年份:1930194019501960197019801990人口（百萬）:123132151180203227252通過對(duì)上述數(shù)據(jù)的觀察和分析，我們希望能估計(jì)出這六十年期間任何一年（例如1965年）的人口總數(shù)，或者預(yù)測(cè)2010年該地區(qū)的人口數(shù)量。利用插值方法就可以解決這一類問題。代數(shù)插值

解決上述問題的方法有兩類：一類是對(duì)于一組離散點(diǎn)(xi,f(xi))(i=0,1,2,…,n)，選定一個(gè)便于計(jì)算的函數(shù)形式(x)，如多項(xiàng)式，分段線性函數(shù)，有理式，三角函數(shù)等，要求(x)通過點(diǎn)(xi)=f(xi)(i=0,12,…,n),由此確定函數(shù)(x)作為f(x)的近似。這就是插值法。另一類方法在選定近似函數(shù)的形式后，不要求近似函數(shù)過已知樣點(diǎn)，只要求在某種意義下它在這些點(diǎn)上的總偏差最小。這類方法稱為曲線（數(shù)據(jù)）擬合法，將在下一章介紹。

本章主要討論構(gòu)造插值多項(xiàng)式的幾種常用的方法及其誤差用插值法求函數(shù)的近似表達(dá)式時(shí)，首先要選定函數(shù)的形式?？晒┻x擇的函數(shù)很多，常用的是多項(xiàng)式函數(shù)。因?yàn)槎囗?xiàng)式函數(shù)計(jì)算簡(jiǎn)便，只需用加、減、乘等運(yùn)算，便于上機(jī)計(jì)算，而且其導(dǎo)數(shù)與積分仍為多項(xiàng)式。

用多項(xiàng)式作為研究插值的工具，稱為代數(shù)插值，其基本問題是：已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上n+1個(gè)不同點(diǎn)x0,x1,…,xn處的函數(shù)值yi=f(xi)(i=0,1,…,n),求一個(gè)次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式：使其滿足在給定點(diǎn)處與f(x)相同，即滿足插值條件：

n(x)稱為插值多項(xiàng)式，xi(i=0,1,2,…,n)稱為插值節(jié)點(diǎn)，[a,b]稱為插值區(qū)間。

從幾何上看（如圖5-1所示），n次多項(xiàng)式插值就是過n+1個(gè)點(diǎn)yi=f(xi)(i=0,1,…,n)，作一條多項(xiàng)式曲線y=(x)近似曲線y=f(x):yxy0yny2x0x1x2xny1（圖5-1）因此，所謂插值，即是在x0,x1,…,xn中任意插入一個(gè)x，要求對(duì)應(yīng)的f(x)，具體做法是按上述方法構(gòu)造n(x)以n(x)近似f(x)。

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插值法是求函數(shù)值的一種逼近方法，是數(shù)值分析中的基本方法之一，作為基礎(chǔ)，后面微分，積分，微分方程在進(jìn)行離散化處理時(shí)，要用到，作為一種逼近方法，本身也有廣泛的應(yīng)用價(jià)值，如在拱橋建設(shè)中，拱軸，拱腹的設(shè)計(jì)節(jié)點(diǎn)與具體施工設(shè)計(jì)點(diǎn)常?？赡懿恢睾?。如圖5-2所示。假定：設(shè)計(jì)給出的節(jié)點(diǎn)為xi=2,4,6,8,10，……，施工設(shè)計(jì)拱架點(diǎn)為xi=1.5,3.5,5.5,8,10,……部分節(jié)點(diǎn)不重合，此時(shí)y=f(xi)如何求？這就是插值問題。246810xy（圖5-2）

又如在軟土地區(qū)修建鐵路，公路，將不可避免地會(huì)出現(xiàn)后期沉降（工后沉降）問題，其工后沉降的大小，沉降速率都直接影響鐵路，公路的養(yǎng)護(hù)運(yùn)營(yíng)，行車速度等，因此要對(duì)其進(jìn)行嚴(yán)格控制。通過對(duì)已建成路基面標(biāo)高（路肩）進(jìn)行測(cè)量觀測(cè)，可得到一批數(shù)據(jù)，對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行分析（包括作插值），可推算出：①某一時(shí)刻路基沉降（如3年，5年）的沉降值；②不同時(shí)期路基沉降速率；③最終沉降值。代數(shù)插值應(yīng)用舉例插值用于數(shù)碼相機(jī)增加圖像的分辯率：

如果要將一幅數(shù)碼圖像放大，也就是使其具有更多的像素，而多出來的像素原本是不存在的,需要根據(jù)周圍像素的色值計(jì)算出來，這個(gè)計(jì)算的過程即為插值。實(shí)際中，f(x)多樣，復(fù)雜，通常只能觀測(cè)到一些離散數(shù)據(jù)；或者f(x)過于復(fù)雜而難以運(yùn)算。這時(shí)我們要用近似函數(shù)g(x)來逼近f(x)。自然地，希望g(x)通過所有的離散點(diǎn)概念x0x1x2x3x4xg(x)

f(x)定義：為定義在區(qū)間上的函數(shù)，為區(qū)間上n+1個(gè)互不相同的點(diǎn)，為給定的某一函數(shù)類。求上的函數(shù)滿足問題是否存在唯一如何構(gòu)造

當(dāng)不斯地增加插值節(jié)點(diǎn)，那么插值函數(shù)列是否收斂被插函數(shù)。

注2:一次多項(xiàng)式插值---過兩點(diǎn)直線;二次多項(xiàng)式插值---過三點(diǎn)拋物線;不用待定系數(shù)法---(1)計(jì)算量大;(2)不易討論誤差;注1：如果要求插值多項(xiàng)式的次數(shù)一定要小于n－1，一般不存在。但如果要求插值多項(xiàng)式的次數(shù)超過n次，則存在但不唯一。

上面定理告訴我們，不管用何種方法構(gòu)造插值多項(xiàng)式，次數(shù)不超過n次的滿足插值條件的多項(xiàng)式是同一個(gè)多項(xiàng)式。下面分別介紹幾種構(gòu)造插值多項(xiàng)式的方法。

1：插值多項(xiàng)式的唯一性表明，對(duì)同一組節(jié)點(diǎn)，它們的插值多項(xiàng)式是唯一的，可能由不同的方法，會(huì)得到不同形式的插值多項(xiàng)式，但它們之間一定可以相互轉(zhuǎn)化，一定會(huì)相同，當(dāng)然誤差也一樣。2：n+1組節(jié)點(diǎn)只能確定一個(gè)不超過n次的多項(xiàng)式，若>n

次，如設(shè)為n+1(x)，則有n+2有待定參數(shù)a0,a1,…,an,an+1需確定，而n+1個(gè)組節(jié)點(diǎn)，只構(gòu)成n+1個(gè)插值條件，即構(gòu)成n+1個(gè)方程，只能確定n+1個(gè)變量的方程組。3：上述證明是構(gòu)造性的（給出解決問題的方法）即以通過解線性方程組來確定插值多項(xiàng)式，但這種方法的計(jì)算量偏大，計(jì)算步驟較多，容易使舍入誤差增大。因此實(shí)際計(jì)算中不采用這種方法，而用下面介紹的幾種常用的方法。

§2Lagrange插值公式

對(duì)(xi,yi)(i=0,1,2,…,n)按插值條件（5-2）構(gòu)造n次插值多項(xiàng)式，有幾種方法，可得相應(yīng)的插值多項(xiàng)式，下面從最簡(jiǎn)單的情形開始。

n=1時(shí)，只有兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，x0,x1，對(duì)應(yīng)于y0,y1，由前所述，插值多項(xiàng)式應(yīng)設(shè)為1(x)=a0+a1x，且滿足插值條件：所以，n=1時(shí)兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值多項(xiàng)式為：（緊接下屏）

其幾何意義，就是以過兩點(diǎn)(x0,y0)，(x1,y1)的直線y=1(x)近似曲線y=f(x)，故這種插值又稱為線性插值，如圖5-3所示：x圖5-3

x0x1由于1(x)為直線，由過兩點(diǎn)的直線的點(diǎn)斜式可得：

顯然，1(x)，N1(x)與L1(x)都是同一條直線，應(yīng)相同，也可以驗(yàn)證1(x)，N1(x)和L1(x)滿足插值條件（5-2）。線性插值多項(xiàng)式的上述幾種形式中，式（5-6）與式（5-7）由于形式上較簡(jiǎn)單，將以它們?yōu)榛A(chǔ)，推廣到n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的一般情況，分別得到牛頓插值多項(xiàng)式Nn(x)和拉格朗日插值多項(xiàng)式Ln(x)。

為了將兩點(diǎn)插值公式L1(x)推廣到一般情況，引入插值基函數(shù)l0(x)，l1(x)，則：

L1(x)是兩個(gè)函數(shù)值的線性組合，組合系數(shù)為兩個(gè)插值基函數(shù)：

式（5-7）揭示了拉格朗日插值方法的特點(diǎn)，即將插值多項(xiàng)式表示為插值節(jié)點(diǎn)x0，x1對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y0，y1的線性組合，而組合系數(shù)就是插值基函數(shù)l0(x),l1(x)。所以插值問題可分解為基函數(shù)的插值問題。這里，l0(x),l1(x),l2(x)是二次插值基函數(shù)，應(yīng)滿足插值條件：當(dāng)n=2時(shí)，已知函數(shù)表如下，,求滿足插值條件L2(xi)=yi(i=0,1,2,)的二次的插值多項(xiàng)式L2(x)xx0x1x2y(x)y0y1y2

按此插值條件，每個(gè)基函數(shù)的零點(diǎn)都是插值節(jié)點(diǎn)，借助零點(diǎn)構(gòu)造多項(xiàng)式，可寫出三個(gè)插值基函數(shù)。例如，由于x1,x2為l0(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，故可設(shè)：同理可得：所以：L2(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2滿足插值條件（5-2）由多項(xiàng)式插值的唯一性知，L2(x)即為所求的二次插值多項(xiàng)式，由于其幾何意義為以拋物線L2(x)近似曲線y=f(x)，如圖5-4所示，故又稱為拋物插值。

將上述利用插值基函數(shù)求插值多項(xiàng)式的方法推廣到一般情況，當(dāng)節(jié)點(diǎn)增多到n+1個(gè)時(shí)，對(duì)(xi,yi)(i=0,1,2,…,n)

設(shè)n次插值多項(xiàng)式：xx1x2x0y圖5-4即li(x)有n個(gè)零點(diǎn)xj(j=0,1,…,n,j

i)且li(xi)=1，故它必定是以下形式：其中l(wèi)i(x)為插值基函數(shù)(i=0,1,2,…n)，它們的次數(shù)不超過n，且滿足：代入（5-9）式，得:定理２：設(shè)f(x)在［a,b］上存在n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在（a,b）上存在n+1階導(dǎo)數(shù)，是Lagrange插值多項(xiàng)式，則對(duì)任何，插值余項(xiàng)為：

證：設(shè)易知有n+2個(gè)零點(diǎn)由x是(a,b)上的任意一點(diǎn)注:定理2中余項(xiàng)表達(dá)式只有在f(x)存在n+1階導(dǎo)數(shù)時(shí)才能應(yīng)用。由于不能具體給出，故應(yīng)用公式有困難。但如果在(a,b)中有界，則余項(xiàng)誤差容易估計(jì).誤差還與有關(guān).Lagrange插值的優(yōu)缺點(diǎn)無承襲性。增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)，所有的基函數(shù)都要重新計(jì)算優(yōu)點(diǎn)：形式對(duì)稱易編程序

例：例：已知分別利用sinx的1次、2次Lagrange插值計(jì)算sin50并估計(jì)誤差?！?LagrangePolynomial解：n=1分別利用x0,x1以及x1,x2計(jì)算利用這里而sin50=0.7660444…)185(50sin10pL0.77614外推

/*extrapolation*/的實(shí)際誤差0.01001利用sin500.76008,內(nèi)插

/*interpolation*/的實(shí)際誤差0.00596內(nèi)插通常優(yōu)于外推。選擇要計(jì)算的x所在的區(qū)間的端點(diǎn)，插值效果較好。n=2)185(50sin20pL0.76543sin50=0.7660444…2次插值的實(shí)際誤差0.00061高次插值通常優(yōu)于低次插值例[證明]上式的左端為插值基函數(shù)的線性組合，其組合系數(shù)均為1。顯然，函數(shù)f(x)1在這n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)取值為1，即yi=f(xi)1(i=0,1,…,n)由式（5-10）知，它的n次Lagrange插值多項(xiàng)式為：對(duì)任意x，插值余項(xiàng)為：所以：例[證明]對(duì)任意x，插值余項(xiàng)為：3.Newton型多項(xiàng)式插值

Lagrange插值多項(xiàng)式是從直線的對(duì)稱式出發(fā)，利用插值基函數(shù)的方法得到的，但從計(jì)算的角度來說，直線的點(diǎn)斜式（5-6）更為方便，因此，能否由此出發(fā)，構(gòu)造一類計(jì)算簡(jiǎn)單的插值公式呢？

這是一個(gè)遞推公式，它表明當(dāng)增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，新的插值多項(xiàng)式只在原插值多項(xiàng)式基礎(chǔ)上增加一項(xiàng)，這種情況如果能推廣到n次多項(xiàng)式Nn(x)，則Nn(x)可寫作為：

上述插值多項(xiàng)式的系數(shù)a0,a1,…,an如何求，是否有規(guī)律？事實(shí)上，這些系數(shù)的確定，可利用插值條件：稱為k階差商稱為1階差商定義：差商由歸納：此處用到差商的一個(gè)性質(zhì)：（用歸納法易證）對(duì)稱性：定義關(guān)鍵：找不同的元素相減作分母Newton插值構(gòu)造1、先構(gòu)造差商表例子2、利用差商表的最外一行，構(gòu)造插值多項(xiàng)式誤差性質(zhì)3差商的性質(zhì)（1）各階差商均具有線性性質(zhì)，即若f(x)=a

(x)+b

(x)，則對(duì)任意常數(shù)k，都有：（2）k階差商f[x0,x1,…,xk]可表成f(x0),f(x1)…,f(xk)的線性組合：（3）各階差商均具有對(duì)稱性，即改變節(jié)點(diǎn)的位置，差商值不變，如:（4）若f(x)是n次多項(xiàng)式，則一階差商f[x,xi]是n1次多項(xiàng)式。

事實(shí)上，如果f(x)是n次多項(xiàng)式，則p(x)=f(x)

f(xi)也是n次多項(xiàng)式，且p(xi)=0,xi為其零點(diǎn)p(x)可分解為p(x)=(xxi)pn1(x)，其中pn1(x)為n1次多項(xiàng)式，所以：為n1次多項(xiàng)式。由各階差商的定義，依次可得:記：（緊接下屏）顯然，Nn(x)是至多n次的多項(xiàng)式。而由：即得f(xi)=Nn(xi)(i=0,1…,n)。這表明Nn(x)滿足插值條件（5-2），因而它是f(x)的n次插值多項(xiàng)式。這種形式的插值多項(xiàng)式稱為Newton插值多項(xiàng)式。所需差商為表5-1第一條斜線上的含x0的各階差商。

Newton插值的優(yōu)點(diǎn)是：每增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)，插值多項(xiàng)式只增加一項(xiàng)，即：因此便于遞推運(yùn)算。而且Newton插值的計(jì)算量小于Lagrange插值。由插值多項(xiàng)式的唯一性可知，n次Newton插值多項(xiàng)式與n次Lagrange插值多項(xiàng)式是相等的，即Nn(x)=Ln(x)，它們只是表示形式不同。因此Newton余項(xiàng)與Lagrange余項(xiàng)也是相等的，即：由此可得差商與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：解：先造差商表由Newton公式得四次插值多項(xiàng)式為：

牛頓基本插值公式對(duì)結(jié)點(diǎn)是否等距沒有限制.不過當(dāng)結(jié)點(diǎn)等距時(shí)前述牛頓插值公式可進(jìn)行簡(jiǎn)化.下面我們用差分的方法給出Newton前插和Newton后插的計(jì)算公式，此法特別適宜于用計(jì)算器計(jì)算。首先介紹差分概念.§4差分及其插值公式

為步長(zhǎng)的一階向前差分

1.定義設(shè)一.差分叫步長(zhǎng)為步長(zhǎng)的k階向前差分

為在以為步長(zhǎng)的一階向前差分

……m階叫步長(zhǎng)……一般:一階二階(1)差分可表為函數(shù)值的線性組合

二.性質(zhì):證明:用歸納法

證明:用歸納法

3.差分表(實(shí)用)三等矩結(jié)點(diǎn)插值公式:將Newton插值公式

中的差商用性質(zhì)(2)換為差分,可整理為如下的Newton向前插值公式設(shè)（5.6）截?cái)嗾`差可表示為(5.7)例：給出了y=cosx的函數(shù)表從x=0到此為0.6，h=0.1。計(jì)算cos0.048的值（其真值cos0.048≈0.99884822）。解：利用函數(shù)值表作差分表：

由x=0.048靠近表頭，我們從誤差項(xiàng)中有知道，用靠近0.048的點(diǎn)作為插值節(jié)點(diǎn)較好，此時(shí)t=0.48 現(xiàn)如果我們要計(jì)算cos0.575怎樣算？由于0.575靠近表尾，顯然用后面的節(jié)點(diǎn)作插值節(jié)點(diǎn)比較合理。為了也能象Newton前插公式那樣具有承襲性，為此我們?cè)俳榻BNewton后插公式。在Newton插值公式中，我們已經(jīng)看到節(jié)點(diǎn)的大小順序是不作要求，現(xiàn)對(duì)節(jié)點(diǎn)按如下次序作插值，顯然

稱上公式為Newton后插公式。其中用到的各階差分就是差分表中最下一行上的各對(duì)應(yīng)值

例：給出了y=cosx的函數(shù)表從x=0到此為0.6，h=0.1。計(jì)算cos0.575的值（而真值cos0.575≈0.8391923）。解：利用函數(shù)值表作差分表：

用后插公式

例：已知由插值節(jié)點(diǎn)(0,0),(0.5,y),(1,3)和(2,2)構(gòu)造的3次插值多項(xiàng)式P3(x)的x3的系數(shù)為6，試確定數(shù)據(jù)y.§4Hermite插值不少實(shí)際問題不但要求插值

函數(shù)在節(jié)點(diǎn)上與原來的函數(shù)相等

（滿足插值條件），而且還要求

在節(jié)點(diǎn)上的各階導(dǎo)數(shù)值也相等，

滿足這種要求的插值多項(xiàng)式，稱

為Hermite插值多項(xiàng)式記為H(x)，

本節(jié)主要討論已知節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值

和一階導(dǎo)數(shù)的情形。4.1Hermite插值

設(shè)已知函數(shù)y=f(x)在n+1個(gè)互異節(jié)點(diǎn)x0,x1,…,xn上的函數(shù)值yi=f(xi)

(i=0,1,2,…n)和導(dǎo)數(shù)值yi=f(xi)(i=0,1,2,…n)，要求一個(gè)不超過2n+1次的多項(xiàng)式H(x)，使其滿足：這樣的H(x)稱為

Hermite插值多項(xiàng)式。

引例（續(xù)1）引例（續(xù)2）引例的誤差估計(jì)：

注意到x1是H(x)的二階零點(diǎn)，

x0,x2為其一階零點(diǎn)，所以：為確定(x)，作輔助函數(shù)：∵當(dāng)t=x時(shí)，可選擇(x)，使(x)=0∴t=x,x0,x2為(t)的一階零點(diǎn)，t=x1為二重零點(diǎn)。因此(t)共五重零點(diǎn)，反復(fù)使用羅爾中值定理（對(duì)重零點(diǎn)也適合）可得到：存在x，使(4)(x)=0，即：由于H(t)是t的三次多項(xiàng)式，∴H(4)(x)=0

推廣至n+1個(gè)點(diǎn)的yi,yi時(shí)，利用構(gòu)造插值基函數(shù)的方法，照上述引例，可設(shè)：其中hi(x)和Hi(x)(i=0,1,2,…,n)滿足：（1）hi(x),Hi(x)(i=0,1,2,…,n)都是不超過2n+1次的多項(xiàng)式；下面分別確定hi(x)和Hi(x)：對(duì)hi(x)：x=xj(ji)為其二重零點(diǎn)，故應(yīng)含有因式(xxj)2(ji)，因此可以設(shè)為請(qǐng)注意：直觀上應(yīng)設(shè)hi(x)為：這樣來確定a,b較麻煩，上述引入li(x)后，較簡(jiǎn)單?！遠(yuǎn)i(x)還應(yīng)滿足：對(duì)Hi(x):對(duì)Hi(x):由于x=xj(ji)為其二重零點(diǎn)，xi為一重零點(diǎn)，故可設(shè):這樣，代回去得:特別地，當(dāng)n=1時(shí)，有:兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的三次Hermite插值多因此n=1的三次Hermite插值多項(xiàng)式可用標(biāo)準(zhǔn)化的基函數(shù)表示為：更便于上機(jī)使用，上式中h=x1-x0。

通常稱之為“標(biāo)準(zhǔn)化”的基函數(shù)，而上述三次Hermite插值基函數(shù)可由其表示出：4.2誤差估計(jì)和引例類似，可導(dǎo)出Hermite插值的誤差估計(jì)。定理6.2設(shè)x0,x1,…,xn為區(qū)間[a,b]上的互異節(jié)點(diǎn)，H(x)為f(x)的過這組節(jié)點(diǎn)的2n+1次Hermite插值多項(xiàng)式。若f(x)在[a,b]上2n+2連續(xù)可導(dǎo)，則對(duì)x[a,b]插值余項(xiàng)為：特別地，n=1的三次Hermite插值余項(xiàng)為：注意與引例的誤差估計(jì)式，與Lagrange插值的誤差估計(jì)式相比較。例6按下表求Hermite插值：例7設(shè)：已知函數(shù)f(x)的如下值:f(-1)=-2，f(0)=-1，f(1)=0，f(0)=0，求不超過3次的Hermite插值多項(xiàng)式H(x)4.3Hermite插值的一般形式求一個(gè)不超過n+m+1次的多項(xiàng)式H(x)使得:與前面的討論類似，可以證明這樣的Hermite插值多項(xiàng)式是唯一存在的，其余項(xiàng)為:

這里的一般形式即是在節(jié)點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)值沒有全部給出，與前面引例相似，舉例說明方法。給定(xi,yi)i=0,1,2,…,n及某些節(jié)點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)值（而不是全部導(dǎo)數(shù)值）Hermite插值問題的一般形式是：

例8按下表求Hermite插值多項(xiàng)式：解法一：這里有5個(gè)條件，所以插值多項(xiàng)式不超過4次，用構(gòu)造插值基函數(shù)hi(x)(i=0,1,2)和Hi(x)(i=0,1)的方法，它們分別應(yīng)滿足：解法2：∵x=0為二階零點(diǎn)，故可設(shè)插值多項(xiàng)式為

代入條件：所求四次Hermite插值多項(xiàng)式為：解法3:還可直接設(shè)五次方程求解§5多項(xiàng)式插值的缺陷與分段插值5.1多項(xiàng)式插值的缺陷在插值方法中，為了提高插值多項(xiàng)式的逼近程度，

常常需要增加節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)，即提高多項(xiàng)式的次數(shù)，當(dāng)插

值節(jié)點(diǎn)增多，插值多項(xiàng)式的次數(shù)逐步提高時(shí)，是否逼

近程度也越來越好呢？一般總認(rèn)為L(zhǎng)n(x)的次數(shù)n越高，

逼近f(x)的程度越好，實(shí)際上并非如此。因?yàn)椋海?）節(jié)點(diǎn)的增多固然使插值函數(shù)Ln(x)在更多的地方

與f(x)相等，但另一方面在兩個(gè)插值節(jié)點(diǎn)之間Ln(x)不

一定能很好地逼近f(x)，有時(shí)差異還很大，即高次插

值收斂性得不到保證。（2）從計(jì)算的含入誤差看，高次插值可能會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)

重的誤差積累，即穩(wěn)定性得不到保證。下面分別舉例說明。多項(xiàng)式插值的缺陷舉例

例如，在區(qū)間[-1,1]上給定函數(shù)f(x)=1/(1+25x2)，并將區(qū)間[-1,1]分為n等分，以Pn(x)表n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的n次插值多項(xiàng)式，圖5-4給出了f(x)及P10(x)的圖象，從中可以看出，P10(x)在端點(diǎn)附近，誤差很大，如f(0.95)=0.24244，而P10(0.95)=1.92363，并且還可畫出P4(x)相比較，P10(x)在區(qū)間中間能較好地逼近f(x)，比P4(x)好得多，但在端點(diǎn)附近P10(x)的波動(dòng)很大，可以證明：Pn(x)只在|x|≤0.726內(nèi)收斂于f(x)。在0.726<|x|≤1內(nèi)Pn(x)與f(x)偏離很大，不收斂于f(x)。高次多項(xiàng)式插值產(chǎn)生的這種不收斂現(xiàn)象稱為龍格（Runge）現(xiàn)象。yx0.5圖5-41再以Lagrange插值為例，討論其穩(wěn)定性。不妨設(shè)數(shù)據(jù)yi誤差yi，假定計(jì)算過程中不再產(chǎn)生誤差，此時(shí)，Lagrange插值多項(xiàng)式為：故插值的實(shí)際誤差為：上式中右端第一項(xiàng)即為插值余項(xiàng)，而第二項(xiàng)為：

這就是節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)的誤差yi所引起的插值誤差?？梢姡瑈i通過插值基函數(shù)li(x)而全面擴(kuò)散，而插值基函數(shù)li(x)在基本插值區(qū)間[x0,xn]內(nèi)是上下波動(dòng)的，在區(qū)間外，則按距離的n次冪放大，如圖5-5所示。當(dāng)變大時(shí)，其波動(dòng)頻率與振幅也隨之增大。此時(shí)插值過程對(duì)節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)誤差非常敏感并將其放大，這就是說高次插值不具有數(shù)值穩(wěn)定性。（緊接下屏）多項(xiàng)式插值的缺陷舉例（續(xù)2）x0x1x2x3x4x5x6x7xy圖5-5實(shí)際上在以Ln(x)近似f(x)時(shí)，由誤差估計(jì)式：幾點(diǎn)啟示

（3）因?yàn)楦叽尾逯挡荒苡茫鴮?shí)際情況需要將給定的節(jié)點(diǎn)全部都用上(區(qū)間長(zhǎng)度所需要），此時(shí)常采用分段低次多項(xiàng)式插值。以上分析給我們幾點(diǎn)啟示：（1）增加節(jié)點(diǎn)并不一定能保證在兩節(jié)點(diǎn)之間插值函數(shù)Ln(x)能很好地逼近f(x)，即高次插值（如7，8次上）在實(shí)際應(yīng)用中很少被采用。（2）插值多項(xiàng)式逼近f(x)時(shí)，當(dāng)f(x)為多項(xiàng)式時(shí)效果非常好，誤差為零，而上述Runge現(xiàn)象中f(x)為有理函數(shù)，能否尋求用有理分式（而不用多項(xiàng)式）作插值函數(shù)。啟示（4）（4）由于高次插值可能不收斂，若要精度高，能否考慮尋找一新的逼近函數(shù)P(x)，它不是插值函數(shù)（不滿足插值條件），但卻仍然是一簡(jiǎn)單函數(shù)，比如仍為多項(xiàng)式，但P(x)在xi處不一定等于f(x)，而是要求在整個(gè)區(qū)間上每一點(diǎn)處P(x)都能在誤差允許范圍內(nèi)逼近f(x)，比如要求其在節(jié)點(diǎn)xi處的偏差ri=P(xi)yi(i=0,1,2,…,n)按某種標(biāo)準(zhǔn)最小以反映所給數(shù)據(jù)的總體趨勢(shì)，消除局部波動(dòng)的影響。

由于高次插值不能用而引出了上面幾點(diǎn)討論，對(duì)出現(xiàn)的問題進(jìn)行分析而導(dǎo)致新的方法，新理論的產(chǎn)生，這也正我們?cè)诤竺鎸W(xué)習(xí)中的新起點(diǎn)。5.2分段多項(xiàng)式插值在大范圍且節(jié)點(diǎn)較多的情況下，常采用分段低

次多項(xiàng)式插值，大致可分為兩類，一類為局部化分

段插值，即把插值區(qū)間分段后，在每個(gè)小區(qū)間上直

接構(gòu)造低次插值多項(xiàng)式，也叫簡(jiǎn)單分段插值；另一

類是非局部化分段插值，即在整個(gè)區(qū)間上構(gòu)造分段

插值多項(xiàng)式，如樣條插值。下面介紹幾種簡(jiǎn)單分段插值：以下幾種分段插值都設(shè)為：1、分段線性插值

已知yi=f(xi)

(i=0,1,…,n)，在每個(gè)子區(qū)間[xi,xi+1]上分別作線性插值(i=0,1,…,n1)。P1(x)在[a,b]上為分段一次多項(xiàng)式，它滿足插值條件：P1(xi)=yi(i=0,1,…,n)，在節(jié)點(diǎn)處連續(xù)，P1(x)的圖形為一折線，如圖5-6，其幾何意義就是用折線去逼近曲線f(x)。x0x1x2x3x4xyo圖5-62、分段拋物插值

P2(x)為[a,b]上的分段二次多項(xiàng)式，它滿足插值條件P2(xi)=yi(i=0,1,…,n)，在節(jié)點(diǎn)x2k處連續(xù)。分段線性插值誤差例9構(gòu)造函數(shù)y=lnx在x[1,10]上的等距數(shù)表，應(yīng)如何選取步長(zhǎng)h，才能在利用該數(shù)表進(jìn)行分段線性插值時(shí)，使誤差不超過10-6/2。

分段插值的余項(xiàng)及收斂性和穩(wěn)定性（2）收斂性設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則可以證明，

當(dāng)h0時(shí)，上述分段插值多項(xiàng)式P1(x)，

P2(x)，H(x)等都一致收斂于f(x)。（3）穩(wěn)定性簡(jiǎn)單分段插值具有突出的局部性質(zhì)，

其每個(gè)節(jié)點(diǎn)至多只影響到直接銜接的兩

個(gè)子區(qū)間而不遠(yuǎn)及，因而，節(jié)點(diǎn)的數(shù)據(jù)

誤差基本上不擴(kuò)散，不放大。所以，簡(jiǎn)

單分段插值具有高度的數(shù)值穩(wěn)定性。§6樣條插值

分段插值具有良好的穩(wěn)定性和收斂性，有效地避免了龍格現(xiàn)象的發(fā)生，且算法簡(jiǎn)單，因此在實(shí)際應(yīng)用中占有重要地位，但是，其光滑性較差。前面所介紹的方法只保證函數(shù)連續(xù)或其一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，滿足不了許多工程技術(shù)提出的對(duì)插值函數(shù)的光滑性有較高要求的計(jì)算問題。

例如，船體、飛機(jī)的機(jī)翼外形，內(nèi)燃機(jī)的進(jìn)、排氣門的凸輪曲線，都要求曲線具有較高的光滑程度，不僅要連續(xù)，而且要有連續(xù)的曲率，即二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。對(duì)于分段插值，要增加光滑度，就要采用更高階的導(dǎo)數(shù)值，而這一點(diǎn)實(shí)際應(yīng)用中往往是很難提供的。為解決這一類問題，導(dǎo)致產(chǎn)生了樣條插值。6.1樣條函數(shù)的概念

所謂樣條（Spline）本來是工程設(shè)計(jì)中使用的一種繪圖工具，它是一種富有彈性的細(xì)長(zhǎng)木條，在飛機(jī)或輪船制造過程中，被用于描繪光滑的外形曲線。使用時(shí)，用壓鐵將其固定在一些給定的型值點(diǎn)上，在其它地方任其自然彎曲，并稍作調(diào)整，使樣條具有滿意的形狀（各段接口處呈光滑狀），然后沿樣條畫出曲線，稱為樣條曲線，它實(shí)際上是由分段三次曲線拼接而成，在連接點(diǎn)即型值點(diǎn)上，不僅函數(shù)自身是連續(xù)的，而且它的一階和二階導(dǎo)數(shù)也是連續(xù)的.由此抽象出數(shù)學(xué)模型稱為樣條函數(shù)。給定區(qū)間[a,b]的一個(gè)劃分a=x0<x1<…<xn

=b，如果函數(shù)S(x)滿足（1）在每個(gè)小區(qū)間[xi,xi+1](i=0,1,…,n-1)上S(x)是m次多項(xiàng)式；（2）S(x)在[a,b]上具有m1階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。則稱S(x)為關(guān)于上述劃分的m次樣條函數(shù)。顯然，按此定義，折線是一次樣條函數(shù)。而用“樣條”繪出的圖形為三次樣條函數(shù)曲線，也是最常用的樣條函數(shù)。那么，確定一個(gè)三次樣條函數(shù)需要多少個(gè)條件呢？由上述樣條函數(shù)定義（1）中知，S(x)在每個(gè)小區(qū)間[xi,xi+1]上是一個(gè)三次多項(xiàng)式，因此需要確定4個(gè)待定常數(shù)，一共有n個(gè)小區(qū)間，故應(yīng)確定4n個(gè)參數(shù)。由定義中條件（2），S(x)應(yīng)在n1個(gè)內(nèi)點(diǎn)上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，即應(yīng)滿足條件：共有3(n1)個(gè)條件。因此，要確定一個(gè)三次樣條函數(shù)，還需要另增加4n3(n1)=n+3個(gè)條件。

利用樣條函數(shù)進(jìn)行插值，即取插值函數(shù)為樣條函數(shù)，稱為樣條插值。

例如分段線性插值是一次樣條插值。已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)a=x0<x1<…<xn=b上的值yj=f(xj)(j=0,1,…,n)，求插值函數(shù)S(x)使其滿足：

（1）S(xj)=yj(j=0,1,…,n)；（2）在每小區(qū)間[xj,xj+1](j=0,1,…,n-1)上S(x)是三次多項(xiàng)式，記為Sj(x)；（3）S(x)在[a,b]上二階連續(xù)可微。則S(x)稱為f(x)的三次樣條插值函數(shù)，它通過上述給定點(diǎn)，為二階連續(xù)可導(dǎo)的分段三次多項(xiàng)式函數(shù)。（1）給定兩端點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值S(a)=y0，S(b)=yn，特別地，當(dāng)y0=yn=0時(shí)，樣條曲線在端點(diǎn)處呈水平狀。（2給定兩端點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)S(a)=y0，S(b)=yn，

特別地，當(dāng)y0=yn=0時(shí)，稱為自然邊界條件。（3）如果f(x)是以b

a為周期的周期函數(shù)，則S(x)也是應(yīng)具有同樣周期的周期函數(shù)，在端點(diǎn)處應(yīng)滿足S(a+0)=S(b0)，S(a+0)=S(b0).由定義，這里增加了n+1個(gè)插值條件，要確定S

(x)還需要補(bǔ)充兩個(gè)條件。通常會(huì)根據(jù)問題的具體情況。在區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)處給出條件，稱為邊界條件。常用的邊界條件有以下三種：可以證明，在上述三種邊界條件下，三次樣條插值問題的解是存在且唯一的。三種邊界條件都有它們的實(shí)際背景和力學(xué)意義。三次樣條插值舉例已知函數(shù)f(x)在三個(gè)點(diǎn)處的值為f(1)=1,f(0)=0,

f(1)=1，在區(qū)間[1,1]上，求f(x)在自然邊界條件下的三次樣條插值多項(xiàng)式。例10三次樣條插值舉例（續(xù)）這種解法稱為待定系數(shù)法，當(dāng)n較大時(shí)，由于要解4n階的線性方程組，工作量太大，因此，一般不采用待定系數(shù)法，而考慮另外的較簡(jiǎn)單的方法，即取節(jié)點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)或二階導(dǎo)數(shù)值為參數(shù)，來導(dǎo)出三次樣條插值函數(shù)的表達(dá)式。1.以節(jié)點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)值為參數(shù)的三次樣條插值函數(shù)

其中積分常數(shù)c1,c2可由插值條件Sj(xj)=yj，Sj(xj+1)=yj+1確定：（緊接下屏）

這就是在每個(gè)小區(qū)間Sj(x)的表達(dá)式（M表達(dá)式）建立M表達(dá)式

建立關(guān)于M的關(guān)系式

下面建立關(guān)于M的關(guān)系式（等式，即方程組）確定Mj，插值條件已用，假定二階導(dǎo)數(shù)已知，即二階連續(xù)條件已用，因此要用一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)來建立等式。對(duì)Sj(x)求一次導(dǎo)得：因?yàn)槭窃赱xj,xj+1]上，所以可代入x=xj，x=xj+1

（緊接下屏）建立關(guān)于M的關(guān)系式（續(xù)1）Sj-1是xj的左邊區(qū)間[xj1,xj]上的函數(shù)，故有等式：建立關(guān)于M的關(guān)系式（續(xù)2）整理得：式（5-22）稱為M關(guān)系式，對(duì)于所有內(nèi)點(diǎn)j=1,2,…,n1成立。式（5-22）展開后為n

1個(gè)方程含有n+1個(gè)參數(shù)M0,M1,…Mn,按其力學(xué)意義，稱為三彎矩方程，系數(shù)j,j,cj可預(yù)先求出來。M關(guān)系式的三種邊界條件

要由上述M關(guān)系式確定所有參數(shù)，需要根據(jù)問題的具體情況，利用邊界條件補(bǔ)充兩個(gè)方程。下面就三種邊界條件，分別進(jìn)行討論。1）如果問題要求S(x)滿足邊界條件（1）由式（5-20）得

化簡(jiǎn)得：M關(guān)系式的三種邊界條件（續(xù)1）

式（5-25）與（5-23）聯(lián)立，即得到關(guān)于n+1個(gè)參數(shù)M0,M1,…,Mn的n+1階線性方程組，其矩陣形式為：（2）如果問題要求S(x)滿足連界條件（2）即給出了：此時(shí)方程組（5-23）實(shí)際上只有n

1個(gè)未知數(shù)，這仍是三對(duì)角方程組，可直接用追趕法求解。M關(guān)系式的三種邊界條件（3）如果問題要求S(x)滿足周期邊界條件（3），f(x)以b

a為周期，則S(x)也以b

a為周期，即在端點(diǎn)處應(yīng)滿足：可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)方程，補(bǔ)充到（5-23）中。

以上式作為最后一個(gè)方程進(jìn)行整理，注意到M0=Mn有：（緊接下屏）M關(guān)系式的三種邊界條件（續(xù)3）并且因M0=Mn所以將（5-23）中第一個(gè)方程

1M0+2M1+2M2=c1改寫為這樣，將式（5-27）代回（5-23）中并與（5-26）聯(lián)立，得到n階方程組：

在上述三種情況下的線性方程組是三對(duì)角或廣義三對(duì)角的，其系數(shù)矩陣均為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，因此方程組有唯一的一組解M0,M1,…,Mn，求出后代入“M表達(dá)式”（5-19），即得三次樣條函數(shù)，方程組中每個(gè)方程都連系三個(gè)Mi，參數(shù)Mi在力學(xué)上的意義為細(xì)梁在xi截面處的彎矩，因此上述方法又稱為三彎矩插值法。2.以節(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為參數(shù)的三次樣條插值函數(shù)

同前面討論類似，也可以假定[xj,xj+1]上的一階導(dǎo)數(shù)S